Линейная алгебра. Учебное пособие-1
.pdf
V. Линейные, билинейные и квадратичные функции и формы
Следовательно, коэффициент c формы (47.6) оказался положительным. Наконец, последнее преобразование переменных
|
1 |
t |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
1 ... |
0 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... |
... |
|
|
||
|
n 1 |
|
t |
n 1 |
, |
|
|
|
det |
|
... 1 |
|
|
0 |
||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 ... |
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
||
окончательно приводит форму к виду
(t1 )2 ... (tn 1 )2 (tn )2 ,
что и доказывает положительную определенность этой формы.
▲
Замечание. Так как отрицательно определенные квадратичные формы приводятся к нормальному виду
( y1 )2 ( y2 )2 ... ( yn )2 ,
то очевидно, что главные миноры нечетных порядков таких форм отрицательны, а главные миноры четных порядков положительны. Можно доказать, что эти условия являются критерием отрицательной определенности квадратичных форм.
§ 48. Распадающиеся квадратичные формы
Рассмотрим линейные формы
f |
(x1 , x2 ,..., xn ) b x1 |
b x2 |
... b |
xn b xi , |
(48.1) |
||
|
1 |
1 |
2 |
n |
i |
|
|
f |
2 |
(x1 , x2 ,..., xn ) c x1 |
c x2 |
... c |
xn c |
x j |
(48.2) |
|
1 |
2 |
n |
j |
|
|
|
с произвольными комплексными или действительными коэффициентами. Здесь и в дальнейшем, как обычно, i, j 1, n .
Найдем произведение этих форм
f |
f |
2 |
(b xi ) (c |
j |
x j ) (b c |
j |
)xi x j a xi x j , |
(48.3) |
1 |
|
i |
i |
ij |
|
141
Линейная алгебра
где aij bi cj . Из формулы (48.3) следует, что произведение
двух линейных форм от n переменных x1 , x2 ,..., xn принимает
вид квадратичной формы от тех же переменных, но матрица A (aij ) этой формы не является симметрической, так как
aij bi cj bj ci aji .
Это легко исправить, переобозначив коэффициенты:
aij aji 2aij , aij aji .
Определение. Квадратичная форма от n переменных называется распадающейся, если ее можно представить в виде произведения двух линейных форм. В противном случае фор-
ма называется нераспадающейся.
Теорема. Квадратичная форма (x1 , x2 ,..., xn ) с комплекс-
ными коэффициентами тогда и только тогда является распадающейся, когда rang 2 . Квадратичная форма
(x1 , x2 ,..., xn ) с действительными коэффициентами тогда и только тогда распадается, когда rang 1 или rang 2 , sign 0 .
Необходимость. Пусть форма (x1 , x2 ,..., xn ) a xi x j |
|||
|
|
|
ij |
— распадающаяся, т. е. ее можно представить в виде |
|
||
(x1 , x2 ,..., xn ) f |
f |
, |
(48.4) |
1 |
2 |
|
|
где f1 и f2 — линейные формы, заданные, например, форму-
лами (48.1) и (48.2). Если по крайней мере одна из этих форм нулевая, то все коэффициенты формы тоже равны нулю,
следовательно, rang 0 .
Предположим теперь, что обе формы f1 и f2 ненулевые, но пропорциональны одна другой: f1 tf2 , t 0 . Хотя бы один из коэффициентов ненулевой формы f2 отличен от нуля, например c1 0 . Тогда невырожденное преобразование переменных
142
V. Линейные, билинейные и квадратичные функции и формы
y1 |
ci xi , |
c |
c |
... |
c |
|
|
|
||||
|
2 |
|
2 |
|
|
1 |
2 |
|
n |
|
|
|
y |
|
x |
|
, |
det |
0 |
1 |
... |
0 |
c |
0 |
|
|
|
|
|
|
... ... |
... |
... |
1 |
|
|||
... |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
, |
0 |
0 |
... |
1 |
|
|
|
||||
y |
|
|
|
|
||||||||
приводит форму к виду
f1 f2 t ( f2 )2 t( y1 )2 ,
являющемуся каноническим и содержащему квадрат только одной переменной, т. е. rang 1 .
Наконец, рассмотрим общий случай, когда формы f1 и f2 не пропорциональны, т. е.
rang b1 |
b2 |
... |
bn 2 . |
c1 |
c2 |
... |
cn |
Это значит, что в данной матрице существует хотя бы один минор второго порядка, отличный от нуля. Для определенности пусть
|
|
|
|
|
b1 |
b2 |
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
c |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда невырожденное преобразование переменных |
|
|
|
|||||||||||||||
y1 |
b xi , |
|
b |
b |
b |
... |
b |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
i |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
y2 |
cj |
x j , |
|
c1 |
c2 |
c3 |
... |
cn |
|
|
b |
b |
|
0 |
||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
3 |
x |
3 |
, |
det 0 |
0 |
1 |
... |
0 |
|
1 |
2 |
|
|||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
c |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
... ... ... |
... |
... |
|
|
1 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
... |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
|
n |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
приводит форму к виду
f1 f2 y1 y2 .
143
Линейная алгебра
Еще одно преобразование переменных
y1 |
z1 |
z2 , |
|
|
|
|
1 |
1 |
0 ... |
0 |
|
|
||
|
|
z1 |
z2 , |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 ... |
0 |
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
, |
|
|
det |
0 |
0 |
1 ... |
0 |
|
2 |
|||
y |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... |
... |
|
|||||
y |
n |
|
|
|
z |
n |
, |
|
0 |
0 |
0 ... |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
позволит получить канонический вид формы : |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
(z1 z2 )(z1 z2 ) (z1 )2 (z2 )2 . |
|
|
|
||||||||
Следовательно, rang 2 . Если форма задана над полем действительных чисел, то sign 0 .
Достаточность. Пусть сначала rang 0 , т. е. все коэффициенты aij формы равны нулю. Тогда можно представить в виде
|
|
|
f1 f2 , |
|
|
|
|
|
|
где |
f 0 x1 0 x2 ... 0 xn |
— нулевая линейная форма, а |
|||||||
f2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
— произвольная, а значит, форма распадающаяся. |
|||||||||
|
Пусть теперь rang 1 . Тогда существует преобразование |
||||||||
переменных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
p1 xi , |
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
pi2 xi , |
det ( pi |
j |
) 0 , |
|
|
(48.5) |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn |
pn xn , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
приводящее форму к каноническому виду |
|
|
|
||||||
|
|
t( y1 )2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим две линейные формы |
|
f |
p1 xi и |
f |
2 |
tf . Оче- |
||
|
|
|
|
|
1 |
i |
|
1 |
|
видно, что форму можно представить в виде |
f1 f2 , т. е. |
||||||||
она является распадающейся. |
|
|
|
|
|
|
|
||
144 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V.Линейные, билинейные и квадратичные функции и формы
Инаконец, рассмотрим случай, когда rang 2 , sign 0 .
Тогда существует преобразование переменных, например (48.5), приводящее форму к нормальному виду
( y1 )2 ( y2 )2 .
Для форм с комплексными коэффициентами это один из ее канонических видов. В этом случае форма также является
распадающейся:
( y1 y2 )( y1 y2 ) f1 f2 ,
где
f1 ( pi1 pi2 )xi , f1 ( pi1 pi2 )xi .
Теорема доказана. ▲
145
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Учебники и учебные пособия
1.Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. СПб.: Лань, 2009. (НА, ЧЗ)*
2.Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1998. (НА, ЧЗ)
3.Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А. Алгебра. М.:
Гелиос-АРВ, 2003. Т. 1, 2. (КБ)
4.Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и геометрия. М.: Изд-во МГУ, 1998. (УБ, ЧЗ)
5.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1984. (НА, УБ, ЧЗ)
6.Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Физматлит., 2000. Ч. 1: Основы алгебры; Ч. 2: Линейная алгебра. (ЧЗ)
7.Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. СПб.: Лань, 2008. (ЧЗ)
8.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. СПб.: Лань, 2008. (НА, УБ, ЧЗ)
9.Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. СПб.: Лань, 2009. (НА, УБ)
10.Окунев Л.Я. Высшая алгебра. СПб.: Лань, 2009. (НА, УБ, ЧЗ)
11.Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Линейная алгебра и ана-
литическая геометрия. Минск: Вышэйшая школа, 1976. (НА, УБ, ЧЗ)
* Здесь и далее НА — научный абонемент; ЧЗ — читальный зал №3; КБ — кафедральная библиотека; УБ — учебная библиотека.
146
Список рекомендуемой литературы
Сборники задач
1.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. СПб.: Лань, 2008. (НА, УБ, ЧЗ)
2.Сборник задач по алгебре / под ред. А.И. Кострикина. М.: Факториал, 1995. (УБ, ЧЗ)
3.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгеб-
ре. СПб.: Лань, 2008. (НА, УБ, ЧЗ)
4.Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии / под ред. А.С. Феденко. Минск: Изд-во «Университетское», 1989. (НА, УБ, ЧЗ)
147
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Введение ................................................................................. |
3 |
|
I. Векторные пространства ............................................... |
5 |
|
§ 1. Понятие векторного пространства ....................... |
5 |
|
§ 2. Линейная зависимость векторов .......................... |
8 |
|
§ 3. |
Базис векторного пространства. Координаты |
|
|
вектора .................................................................... |
12 |
§ 4. |
Теоремы о базисах. Размерность векторного |
|
|
пространства .......................................................... |
15 |
§ 5. |
Формулы преобразования базиса. Формулы |
|
|
преобразования координат ................................... |
18 |
§ 6. Изоморфизм векторных пространств .................. |
20 |
|
§ 7. Подпространства векторного пространства ........ |
22 |
|
§ 8. Сумма и пересечение подпространств ................. |
24 |
|
§ 9. |
Линейная оболочка векторов. Ранг системы |
|
|
векторов ................................................................ |
29 |
II. Системы линейных уравнений ................................... |
31 |
|
§ 10. Ранг матрицы ........................................................ |
31 |
|
§ 11. Теоремы о ранге матрицы ................................... |
34 |
|
§ 12. Критерий совместности системы линейных |
|
|
|
уравнений .............................................................. |
36 |
§ 13. Подпространство решений системы линейных |
|
|
|
однородных уравнениий ...................................... |
40 |
§ 14. Теорема о фундаментальных решениях системы |
|
|
|
линейных однородных уравнений....................... |
41 |
148 |
|
|
III. Линейные операторы векторных пространств ...... |
45 |
§ 15. Понятие линейного оператора ............................ |
45 |
§ 16. Матрица линейного оператора ............................ |
47 |
§ 17. Действия над линейными операторами .............. |
51 |
§ 18. Образ и ядро линейного оператора ..................... |
54 |
§ 19. Теоремы о ранге и дефекте линейного |
|
оператора ............................................................... |
57 |
§ 20. Собственные векторы и собственные значения |
|
линейного оператора ............................................ |
61 |
§ 21. Характеристический многочлен и характери- |
|
стические корни линейного оператора .............. |
64 |
§ 22. Теорема о характеристических корнях |
|
исобственныхзначенияхлинейногооператора .... |
65 |
§ 23. Подпространства, инвариантные относительно |
|
оператора .............................................................. |
68 |
§ 24. Разложение векторного пространства в прямую |
|
сумму инвариантных подпространств ............... |
72 |
IV. Евклидовы пространства ............................................ |
77 |
§ 25. Определение евклидова пространства. |
|
Скалярное произведение векторов ..................... |
77 |
§ 26. Процесс ортогонализации векторов ................... |
79 |
§ 27. Ортонормированные базисы ............................... |
81 |
§ 28. Ортогональные матрицы ..................................... |
84 |
§ 29. Изоморфизм евклидовых пространств ............... |
86 |
§ 30. Ортогональное дополнение подпространства ... |
86 |
§ 31. Симметрические операторы ................................ |
89 |
§ 32. Критерий симметричности оператора ................ |
94 |
§ 33. Ортогональные операторы .................................. |
96 |
§ 34. Каноническая матрица ортогонального |
|
оператора .............................................................. |
98 |
§ 35. Сопряженные операторы ..................................... |
105 |
§ 36. Разложениелинейногооператоравпроизведение |
|
симметрическогоиортогональногооператоров ... |
106 |
|
149 |
V. Линейные, билинейные и квадратичные |
|
|
функции и формы ............................................................... |
110 |
|
§ 37. Линейные функции и формы ............................... |
110 |
|
§ 38. |
Сопряженное векторное пространство ............... |
112 |
§ 39. Билинейныеиквадратичныефункциииформы .... |
115 |
|
§ 40. |
Ранг билинейной функции и квадратичной |
117 |
|
формы .................................................................... |
|
§ 41. |
Канонический вид квадратичной формы ........... |
119 |
§42. Приведение квадратичной формы
кканоническому виду методом элементарных
преобразований .................................................... |
123 |
§43. Приведение квадратичной формы
кканоническому виду ортогональным
|
преобразованием переменных ............................ |
126 |
§ 44. Нормальный вид квадратичной формы .............. |
128 |
|
§ 45. |
Закон инерции квадратичных форм |
131 |
|
с действительными коэффициентами ................ |
|
§ 46. |
Положительно определенные квадратичные |
134 |
|
функции и формы ................................................. |
|
§ 47. |
Критерий Сильвестра положительной |
138 |
|
определенности квадратичной формы ............... |
|
§ 48. |
Распадающиеся квадратичные формы ............... |
141 |
Список рекомендуемой литературы ............................... |
146 |
|
150