Линейная алгебра. Учебное пособие-1

IV. Евклидовы пространства

В силу равенства (34.4) можно положить a11 cos , a12 sin .

Система уравнений (34.6), (34.7) в этом случае приводится к виду

a1 cos a2 sin 0,

2 2

a12 sin a22 cos 1

и имеет единственное решение a12 sin , a22 cos . Урав-

нение (34.5) найденными значениями удовлетворяется тождественно. Таким образом, матрица оператора f имеет вид

и является частным случаем матрицы (34.3).

Пусть теперь det A 1 . Рассмотрим характеристический многочлен оператора f :

Характеристические корни 1 и 2 в этом случае действи-

тельны, а значит, являются собственными значениями этого оператора. По формулам Виета 1 2 1, откуда в силу ор-

тогональности оператора f находим 1 1, 2 1. Рассмот-

рим собственный вектор, относящийся к собственному значению 1 1, и подпространство L , порожденное этим векто-

ром. Подпространство L инвариантно относительно оператора f , следовательно, его ортогональное дополнение L также

инвариантно. Так как dim L dim L 1, то оба подпространства состоят из собственных векторов оператора f , причем

101

IV. Евклидовы пространства

динив эти векторы, получим ортонормированный базис e1 ,e2 ,...,en всего пространства En , относительно которого опе-

И наконец, рассмотрим случай, когда оператор f не имеет ни

одного действительного характеристического корня. Напомним, что это возможно только в пространстве четной размерности. Тогда существует двумерное подпространство L2 , ин-

вариантное относительно оператора f . Ортогональное дополнение L2 также инвариантно, причем dim L2 n 2 . Как и в предыдущем случае, рассмотрим сужения оператора f на подпространства L2 и L2 . Для них теорема справедлива. Это значит, что существует ортонормированный базис e1 ,e2 подпространства L2 , относительно которого сужение оператора f на это подпространство задается матрицей (34.8). Существует также ортонормированный базис e3 ,...,en подпространства L2 , относительно которого сужение оператора f на L2 задается матрицей An 2 порядка n 2 , имеющей вид (34.3). Впрочем, следует отметить, что матрица An 2 в этом случае не

содержит элементов 1 и 1.

Объединив все векторы, получим ортонормированный базис e1 ,e2 ,e3 ,...,en всего пространства En , относительно которо-

го оператор f задается матрицей

Теперь теорема доказана полностью. ▲

103

Линейная алгебра

Перенумеровав в условии (35.1) векторы и воспользовав-

шись коммутативностью скалярного произведения, получим f2 (x1 ) x2 x1 f1 (x2 ) ,

а значит, оператор f2 также сопряжен оператору f1 . Таким образом, операторы f1 и f2 оказались взаимно сопряжены. В

Отсюда следуют два теперь уже очевидных утверждения:

1)( f * )* f ;

2)оператор f тогда и только тогда сопряжен самому себе,

IV. Евклидовы пространства

формул (35.3), (35.4) следует равенство (35.1), т. е. операторы

f1 и f2 сопряжены.

Наоборот, если операторы сопряжены, то из соотношений

(35.3), (35.4) получим

Согласно правилу умножения прямоугольных матриц находим

X1t A1t X 2 X1t PX2 pij , X1t A2 X 2 X1t QX 2 qij .

Из равенства (35.5) тогда следует pij qij . Это значит, что

P Q , откуда A1t A2 . ▲

Следствие 1. Для каждого оператора f существует единственный сопряженный ему оператор f * .

Следствие 2. Для двух произвольных операторов f1 и f2 евклидова пространства En справедливо

( f2 f1 )* f1* f2* .

Это свойство следует из равенства

105

Линейная алгебра

Теорема. Если подпространство L евклидова пространства En инвариантно относительно оператора f , то его

§36. Разложение линейного оператора

впроизведение симметрического

иортогонального операторов

Теорема I. Произведение любого оператора евклидова пространства En на сопряженный ему оператор является

симметрическим оператором, все собственные значения которого неотрицательны.

Доказательство. Если f — произвольный линейный оператор, а f * — сопряженный ему, то

( f * f )* f * ( f * )* f * f .

Это значит, что оператор f * f сопряжен самому себе, т. е.

является симметрическим. Пусть 0 — собственное значение оператора f * f , а c 0 — относящийся к нему собственный

вектор:

( f * f )(c) 0 c .

106

IV. Евклидовы пространства

Умножив обе части последнего равенства скалярно на вектор

c и преобразовав левую часть, получим

( f * f )(c) c ( f * ( f (c)) c f (c) f (c) 0 c c .

Так как f (c) f (c) 0 и c c 0 , то 0 0 . ▲

Следствие. Для всякого оператора f евклидова пространства En существуеттакой симметрическийоператор , что

на главной диагонали которой расположены его неотрицательные собственные значения (характеристические корни). Рассмотрим действительную матрицу

иоператор , заданный в базисе E этой матрицей. Оператор

окажется симметрическим, поскольку в ортонормирован-

ном базисе задается симметрической матрицей. Так как

A B B , то f * f . ▲

107

Линейная алгебра

Замечание 1. Точно так же можно доказать, что оператор f f * является симметрическим, все его собственные значения неотрицательны и существует такой симметрический опе-

Теорема II. Для любого невырожденного оператора f существуют такие симметрический оператор и ортогональный оператор , что

тор евклидова пространства En , тогда сопряженный ему оператор f * также невырожден. Рассмотрим симметрический оператор , определяемый равенством (36.1), разумеется, тоже невырожденный. Положим

f 1 ,

тогда

( f 1 ) f ( 1 ) f f .

Символом здесь, как и ранее, обозначен тождественный оператор.

IV. Евклидовы пространства

При выполнении этих преобразований применялись определение произведения операторов, свойства сопряженных операторов, формула (36.1), а также учитывался факт, что оператор, обратный симметрическому, также является симметри-

ческим. Теорема доказана. ▲

Следствие. Всякая невырожденная матрица может быть представлена в виде произведения ортогональной матрицы на симметрическую.

Замечание 2. Воспользовавшись формулой (36.1 ' ), аналогичным образом можно доказать, что для каждого невырожденного оператора f существуют такие симметрический опе-

ратор и ортогональный оператор , что

Справедливо также и следствие, что любая невырожденная матрица есть произведение симметрической матрицы на ортогональную.

Замечание 3. Аналогичные теоремы и следствия можно доказать для произвольного вырожденного оператора и произвольной вырожденной матрицы.

109