Методика обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы. Монография

УДК 373(077):51 ББК 74.262.21

Л844

Рецензенты:

Н. И. Гусева, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии Московского педагогического государственного университета

Е. В. Неискашова, кандидат педагогических наук, доцент, заведующая кафедрой высшей математики Российского государственного аграрного университета – Московской сельскохозяйственной академии им. К.А. Тимирязева

Л844 Лукьянова Е. В. Методика обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы: Монография. – М.: МПГУ, 2013. – 134 с.

даннойработепредставленаметодикаобучениядоказательствууча и ся основной школы на базе кон еп ии обучения школьников доказательству с использованием средств естественного вывода. Понятие доказательства адаптированокшкольномукурсуматематикиввидедерева-дедуктивнойс емы доказательства. азработана методика использования ти с ем при обучении анализу логической структуры доказательств и построени доказательств. Приведен комплекс спе иальны логико-ориентированны (дедуктивны) задач и вопросов, направленны на формирование дедуктивной деятельности уча и ся.

Монография предназначена для студентов и преподавателей математически факультетов вузов.

ISBN 978-5-7042-2438-9

© МПГУ, 2013 © Издательство «Прометей», 2013

2

3

ВВЕДЕНИЕ

Одной из наиболее актуальных задач современной общеобразовательной школы является интеллектуальное развитие учащихся. Уровень развития мыслительных способностей учащихся неразрывно связан с умением правильно рассуждать, то есть рассуждать в соответствии с логическими правилами. Это дает основание полагать, что одной из основных задач обучения, в первую очередь обучения математике, является логическая подготовка учащихся, развитие их дедуктивного мышления.

Специалисты в области методики преподавания математики сходятся во мнении, что изучение математики имеет исключительное значение в развитии дедуктивного мышления учащихся в силу той особой роли, которую играют доказательства в математике и в обучении математике. Однако обучение доказательству без объяснения того, как мы доказываем, не позволяет в полной мере использовать возможности этого обучения. Для повышения эффективности обучения доказательству должна быть организована специальная работа по разъяснению того, что такое доказательство и как оно устроено. Несмотря на большое количество работ, посвященных обучению доказательству, возможности использования логических средств в этом обучении недостаточно исследованы. Среди немногих работ, в которых при обучении доказательству предлагается использовать средства математической логики, можно назвать работы А.А. Столяра

иИ.Л. Тимофеевой.

ВисследованияхА.А. Столяраопределенкомплекспроблем, названныхим"логическими проблемами преподавания". Особое внимание в работах А.А. Столяра уделяется обучению дедуктивным выводам, умению осуществлять цепочки дедуктивных умозаключений и т.п. А.А. Столяр предложил методику формирования понятия доказательства, однако, как отмечают многие специалисты в области методики преподавания математики, например Г.И. Саранцев и Л.А. Калужнин, указаннаяметодиканепривелакуспеху. ОднойизпричиннеудачпомнениюЛ.А. Калужнина, И.Л. Тимофеевой и др., было использование понятия линейного доказательства. В линейном доказательстве предложения – члены доказательства – упо-

4

рядочены в виде последовательности. Такое упорядочивание членов доказательства не отражает логических взаимосвязей между ними. Л.А. Калужнин высказал предположение: возможно, чтодляобучениядоказательствувшколеследовалобы адаптироватьнечтоблизкоеестественномувыводу, разработанномуГ. Генценом.

В настоящее время в математической логике разработаны два основных типа математических моделей доказательств, соответствующих двум типам логических исчислений. Модели первого типа – линейные выводы (выводы в виде последовательности) в аксиоматических исчислениях гильбертовского типа. Модели второго типа – деревья вывода (выводы в виде дерева) в исчислениях генценовского типа (в первую очередь, в системах естественного вывода). В соответствии с этими моделями разработаны дидактические модели понятия доказательства – понятие линейного доказательства (А.А. Столяр) и понятие доказательства в виде дерева (И.Л. Тимофеева).

И.Л. Тимофеевой разработаны приложения теории естественного вывода к обучению доказательству: предложена дидактическая модель понятия доказательства – понятие доказательства в виде дерева; проведен анализ методов доказательства и логической структуры доказательства средствами естественного вывода; разработаны логические эвристики построения доказательств. Однако исследования И.Л. Тимофеевой в направлении обучения доказательству учащихся средней школы имеют в основном теоретический характер и их полная проверка в средней школе не проводилась.

Несмотря на большое внимание специалистов в области методики преподавания математики к проблеме обучения школьников доказательству, владение учащимися соответствующими умениями и навыками находится, в целом, на недостаточно высоком уровне, что отмечается в многочисленных публикациях. Многие выпускники средней школы: не понимают, что такое доказательство, нередко сводят изучение предложенного доказательства к заучиванию его наизусть; не осознают, какие методы используются при построении доказательств, и не могут объяснить их сути; не умеют строить доказательство: не знают, с чего начать, или, начавпостроениедоказательства, недоводятегодоконца.

5

В настоящее время имеется ряд противоречий, связанных с обучением доказательству учащихся средней, в частности основной, школы. Выделим, прежде всего, следующие противоречия:

между потребностями современного общества в интеллектуально развитых, способных логично мыслить и доказательно рассуждать выпускниках средней школы и недостаточно высоким реальным уровнем развития у них указанных качеств;

между исключительным значением доказательств в обучении математике и недостаточной сформированностью у учащихся соответствующих знаний и умений;

между большим значением логической составляющей обучения доказательству и недостаточным вниманием к ней при традиционном обучении;

между существованием естественных логических средств обучения доказательству и отсутствием методики их использования в обучении математике в средней школе.

Таким образом, можно сформулировать следующую проблему: какой должна быть методика обучения доказательству учащихся основной школы, использующая средства естественного вывода. В данной работе представлен один из возможных путей решения поставленной проблемы.

6

ГЛАВА 1. Теоретические основы обучения доказательству в основной школе

Доказательства в школьном курсе математики играют огромную роль. Это связано, прежде всего, с тем, что именно доказательства являются важнейшим средством развития логического мышления учащихся.

На огромную роль доказательств в обучении математике указывал А.А. Столяр: "Учить доказывать означает прежде всего учить рассуждать, а это – одна из основных задач обучения вообще" [160, с 112].

Я.С. Дубнов отмечал, что "доказательства даются не только с познавательной целью (овладение новыми фактами), но и с образовательно-воспитательной (упражнение в рассуждениях, выяснение связей между фактами)" [53, с. 43]. Такого же мнения придерживался Н.М. Бескин: "доказательства теорем приводятся не для того, чтобы убедить учеников в справедливости этих теорем… они приводятся, чтобы ученики овладели методом… доказательств и могли самостоятельно строить доказательства" [14, с.103].

Доказательства служат средством развития логического мышления. Они являются способом систематизации учебного материала, поскольку с их помощью устанавливается связь между доказываемой теоремой и ранее доказанными теоремами. "Доказательства образуют соединительную ткань, благодаря которой математика является живым организмом, а не просто грудой предложений", – отмечает А.Х. Назиев [125, с.81].

Доказательства являются средством повышения мотивации познавательной деятельности учащихся. В процессе доказательств развиваются важнейшие интеллектуальные и учебные умения. Велико и общекультурное значение доказательств. Уместно привести такие слова Д. Пойа: "Строгие доказательства – это отличительный признак математики; он представляет собой существенную часть вклада математики как науки в общую культуру. Учащийся, на которого математическое доказательство ни разу не оказало впечатляющего влияния, упустил одно из важнейших интеллектуальных переживаний" [138].

7

§1. Обучение доказательству как предмет исследования

Проблема обучения учащихся доказательству всегда была одной из центральных в методике преподавания математики.

Проблемой обучения доказательству в школьном курсе математики занимались многие отечественные и зарубежные специалисты в области методики преподавания математики. В научно-методической литературе отражены различные аспекты этой проблемы. Крупнейшие математики подчеркивали особую роль доказательств в обучении, в их работах уделяется большое внимание наиболее важнымаспектамобучениядоказательству.

Проблеме обучения поиску и построению доказательства с использованием содержательных эвристик посвящены известные книги Д. Пойа, И. Лакатоса. Этой проблеме уделялось немалое внимание также в работах Г.Д. Балка, В.Г. Болтянского, М.Б. Воловича, В.А. Гусева, В.А. Далингера, Г.И. Саранцеваидр.

Проблемы аксиоматического изложения математики в школе исследовали Н.М. Бескин, А.Н. Колмогоров, Е. Тоцки и др.

На особую роль обучения учащихся анализу математических доказательств указывали В.А. Далингер, Г.И. Саранцев, З.И. Слепкань, А.А. Столяр, И.Л. Тимофеева и др. Обучение учащихся логическим методам доказательства рассматривается в работах Э.И. Айвазяна, В.А. Далингера, Г.И. Саранцева, А.А. Столяра, И.Л. Тимофеевой и др.

Возможности использования в обучении доказательству средств, предоставляемых математической логикой, исследовали в своих работах Л.А. Калужнин, Д. Пайсон, А.А. Столяр, И.Л. Тимофеева и др. Особенности формирования понятия доказательства, связанные с математическими моделями указанного понятия, на которые опирается это формирование, исследовали А.А. Столяр и И.Л. Тимофеева.

Проблемы, связанные с логическими ошибками учащихся в рассуждениях, рассмотренывработахВ.М. Брадиса, Я.С. Дубнова, Д.А. Скрыпника, А.И. Уемоваидр.

1.1. Понятие «обучение доказательству»

Г.И. Саранцев отмечает [149], что в теории и методике преподавания математики существуют разные точки зрения на содержание понятия "обучение доказательству". Одни специалисты считают необходимым специально организовывать прежде всего обучение школьников поиску и самостоятельному построению до-

8

казательств, другие ставят на первое место обучение анализу готового доказательства. "Существующие точки зрения на обучение доказательству определяют соответствующие им направления в исследовании этой проблемы: логические аспекты обучения доказательству и эвристические аспекты этой проблемы" [149, с.14]. Сам Г.И. Саранцев считает, что целесообразно сочетать обучение поиску и построениюдоказательствасобучениеманализуготовогодоказательства.

Приведем несколько подходов известных специалистов в области методики преподавания математики в понимании того, что такое "обучение доказательству".

Среди работ, в которых на первое место поставлено обучение учащихся самостоятельному поиску доказательства, особо следует отметить книги Д. Пойа. Им разработана методика использования методов научного познания в решении задач. В своих книгах Д. Пойа в основном пишет об обучении учащихся эвристическим приемам поиска доказательств, во главу угла он ставит развитие эвристического мышления учащихся. Такой акцент в обучении доказательству значительно стимулировал разработки различных методик обучения решению задач на доказательство (в частности, обучения поиску способа решения задачи на доказательство), формирования эвристических приемов и т.п.

Особую роль обучения учащихся открытию теоремы, эвристическим приемам построения доказательства отмечает И. Лакатос. В его книге [90] детально описываетсяработасучащимисянадпоискомипостроениемдоказательства.

З.И. Слепкань под обучением доказательству понимает обучение учащихся готовым доказательствам и обучение самостоятельному поиску доказательств. З.И. Слепкань считает, что "при надлежащей постановке обучения готовым доказательствам, можно формировать у школьников необходимые компоненты самостоятельного поиска и построения доказательств. Готовые доказательства должны выступать как модели, на которых школьники обучаются приемам умственной деятельности, лежащим в основе умения доказывать, применять различные методы доказательств, самостоятельно искать доказательства по аналогии с изученными" 152, с. 83 .

А.А. Столяр под обучением доказательству понимает "обучение мыслительным процессам поиска, открытия и построения доказательства, а не обучение воспроизведению и заучиванию готовых доказательств" 160 с. 112 .

9

А.А. Столяр призывает к обучению учащихся логическим средствам, используемым при построении доказательств, к разъяснению учащимся того, что такое доказательство.

По мнению В.М. Туркиной [172] умение доказывать включает в себя: умение искать доказательство (процесс поиска действий и последовательности их выполнения); умение проводить доказательство (процесс, где требуется выполнить действия в определённой последовательности); умение оформить доказательство (доказательство как результат). В.М. Туркина [172] выделяет следующие уровни умения искать доказательство: репродуктивноалгоритмический (характеризует умение учащегося воспроизводить ранее изученное доказательство); продуктивно-алгоритмический (характеризует умение учащегося реконструировать деятельность по воспроизведению доказательства, например, воспроизводить доказательство утверждения в новой ситуации); репродуктивно-эвристический (характеризует умение ученика найти действия, необходимые для проведения доказательства); продуктивноэвристический (характеризует умение находить доказательство).

В.А. Далингер [46, с. 5], соглашаясь с З.И. Слепкань, отмечает, что проблему обучения доказательствам целесообразно разделить на следующие дидактические задачи: изучение готовых доказательств, умение воспроизводить их; самостоятельное построение доказательства по образцу; поиск доказательств указанным учителем методом; самостоятельный поиск доказательств.

Следует заметить, что В.А. Далингер не уточняет, что означает "построение доказательствапообразцу", вероятно, имеяввидупроведениедоказательствапоаналогии. Отметим также, что З.И. Слепкань и В.А. Далингер не выделяют в качестве дидактических задач обучения доказательству формирование понятия доказательства и обучение логическим методам доказательства, а также логическим эвристическимприемам, используемымвдоказательствахматематическихпредложений.

В своем диссертационном исследовании И.Л. Тимофеева [169, с. 274] отмечает, что термин "обучение доказательству" не вполне удачен, поскольку термин "доказательство" часто используется в двух смыслах: как особая деятельность по обоснованию истинности какого-либо утверждения и как результат этой деятельности, зафиксированный, например, в виде специального (особого) текста. И.Л. Тимофеева считает, что термин "обучение дедуктивной деятельности" более точен и однозначен, а под дедуктивной деятельностью

10