Методика обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы. Монография

Вдедуктивных схемах используем следующие условные графические средства: прямоугольные рамки (далее – рамки) и стрелки разного формата.

Врамки заключаем предложения – члены доказательства и, в случае косвенных доказательств, вспомогательные рассуждения. Члены доказательства

взависимости от их статуса заключаем в рамки различного формата: в двойные рамки заключаем допущения, принятые на некотором шаге доказательства; в точечные рамки – предложения, верные в силу определения; в пунктирные рамки – аксиомы и ранее доказанные утверждения. В обычные сплошные одинарные рамки заключаем предложения, которые являются следствиями из непосредственно предшествующих предложений и/или вспомогательных рассуждений.

Математические рассуждения бывают – прямые и косвенные. В косвенных рассуждениях вывод делается не из предложений, как в прямых, а из вспомогательных рассуждений и, быть может, предложений. Каждое вспомогательное рассуждение заключаем в обычную рамку с затемненной внутри нее областью. Поскольку в одно вспомогательное рассуждение могут быть вложены еще несколько вспомогательных рассуждений, увеличиваем интенсивность затемнения областей внутри рамок, в которые заключены вложенные вспомогательные рассуждения. Увеличение интенсивности затемнения позволяет наглядно отразить "степень вложенности" вспомогательных рассуждений.

Стрелки отражают взаимосвязи между предложениями – членами доказательства, и вспомогательными рассуждениями: они указывают, какое предложение из чего следует. Для отражения логических шагов (т.е. шагов, соответствующих некоторому логическому правилу) и переходов энтимемного типа используем стрелки, различные по формату. Сплошная стрелка отражает шаг доказательства согласно какому-либо логическому правилу: соединяет посылки элементарного рассуждения с непосредственным следствием. Пунктирная стрелка отражает энтимемный переход: соединяет предложение с теми предложениями и/или вспомогательными рассуждениями, из которых оно может быть получено в несколько логических шагов.

Отметим, что в данной работе предлагается черно-белый вариант представления дедуктивных схем. Однако при построении дедуктивных схем на уроках, особенно при использовании компьютера, считаем целесообразным вместо ис-

41

пользования различных типов рамок закрашивать области внутри этих рамок разными ненасыщенными цветами.

Итак, построение на уроке дедуктивной схемы доказательства позволяет наглядно отразить структуру доказательства и проанализировать дедуктивные средства, используемые в рассматриваемом доказательстве, а также отразить статус исходных предложений. Использование дедуктивных схем способствует формированию логико-дедуктивной рефлексии учащихся и пониманию сути математических доказательств. Использование дедуктивных схем доказательства на уроке целесообразно при организации работы учащихся с текстом доказательства, предложенным в учебнике. Такая работа способствует повышению мотивации учащихся к восстановлению пропусков в доказательстве, что развивает способность учащихся ксамостоятельномуразборудоказательств, приводимыхвучебнике.

Сущность доказательства заключается именно в логических взаимосвязях между его членами [163]. Логическая структура является отражением этих взаимосвязей. При традиционной форме записи содержательных доказательств в виде текста эти связи устанавливаются мысленно, без опоры на наглядные образы. Особая форма представления доказательства – в виде дедуктивной схемы, позволяет визуализировать логические взаимосвязи между предложениями – членами доказательства. В дедуктивной схеме члены доказательства явным образом упорядочиваются в виде дерева в соответствии с их логическими взаимосвязями. Наш опыт подтверждает, что использование в обучении такой формы представления доказательств, как дедуктивные схемы, удачно дополняет традиционную форму записи доказательств, способствуя повышению эффективности формирования дедуктивной деятельности учащихся.

Следует отметить, что в методической литературе (например, [5], [160], [178, 179]) уже предлагалось использовать схемы в обучении доказательству. Однако предлагаемые в работах [5], [160], [178, 179] схемы отличаются от дедуктивных схем и не являются моделями доказательств.

А.А. Столяр предлагает использовать в обучении доказательству схемы, которые он называет "структурными схемами доказательств" [160, с. 195]. Всякое представление доказательства в виде схемы подразумевает упорядочивание предложений – членов доказательства. В структурных схемах порядок предложений не является ни линейным, ни древовидным – допускается ветвление и "вверх", и "вниз". Кроме того, в структурных схемах допускаются

42

самопересечения стрелок. Таким образом, структурные схемы доказательств не являются ни линейными моделями доказательств, ни их древовидными моделями.

Е.Б. Арутюнян в своей диссертационной работе [5] предлагает использовать на уроках геометрии в основной школе оформление доказательств в виде схем, которые она называет блок-схемами. Порядок предложений в блоксхемах, также как и в структурных схемах А.А. Столяра, не является ни линейным, ни древовидным. В блок-схемах не допускаются самопересечения, но допускается ветвление как "вверх", так и "вниз". Таким образом, блоксхемы также не являются ни линейными, ни древовидными моделями доказательств. Считаем, что предлагаемые Е.Б. Арутюнян блок-схемы можно назвать "кратким конспектом доказательства в виде схемы".

К.Я. Хабибуллин в своем диссертационном исследовании предлагает использовать так называемые граф-схемы, которые являются аналогом блок-схем. В своей работе К.Я. Хабибуллин отмечает, что граф-схема отражает те мысленные действия, которые ученик выполняет, решая задачу на доказательство, т.е. является внешним выражением внутренних действий. "Возможность воплотить свои внутренниедействияиихрезультатвовнешнюю, нагляднуюопоруслужитдля многих учащихся той самой необходимой ступенью, поднявшись на которую они могут двигаться дальше" [179, с. 35]. Кроме того, К.Я. Хабибуллин считает, что наличие схемы на доске или в индивидуальной карточке помогает решать задачу даже слабымучащимся.

Поскольку схемы, предлагаемые Е.Б. Арутюнян, А.А. Столяром и К.Я. Хабибуллиным, несущественно отличаются друг от друга, в дальнейшем будем использовать термин "граф-схема" относительно всех трех видов схем.

В предложенных нами дедуктивных схемах доказательств, как и в графсхемах, используются графические средства – прямоугольники и стрелки. Однако при некоторой "визуальной похожести" дедуктивные схемы имеют ряд существенных отличий от граф-схем. Перечислим их.

1. С помощью граф-схем можно представить только прямые рассуждения, в то время как с помощью дедуктивных схем можно представить как прямые, так и косвенные рассуждения. Представление доказательств в виде дедуктивных схем дает возможность продемонстрировать структуру косвенных рассуждений, в частности наличие вспомогательных рассуждений, – они заключа-

43

ются в рамки с затемненной внутренней областью. Кроме того, в доказательствах нередко в одно косвенное рассуждение вложено другое косвенное рассуждение, и даже не одно. В дедуктивных схемах степень вложенности отражается интенсивностью затемнения внутренней области рамки, в которую помещено вспомогательное рассуждение.

2.В граф-схемах доказательств из исходных предложений присутствуют только предложения, которые являются условиями теорем, причем статус этих предложений никак не отражается. В дедуктивных схемах могут быть отражены (в зависимости от полноты схемы) исходные предложения всех видов, при этом статус каждого предложения – члена доказательства, отражает формат рамки, в которую оно заключено (или цветовая заливка области внутри рамки).

3.В граф-схемах стрелки показывают, какое предложение из каких может быть получено, при этом различный характер перехода (логический, т.е. в соответствии с логическим правилом, или энтимемный) не отражается, поскольку по сути в граф-схемах все переходы имеют только энтимемный ха-

рактер. В дедуктивных схемах формат стрелки отражает характер перехода логический или энтимемный. Более того, при желании рядом с каждой сплошной стрелкой в дедуктивной схеме можно записать логическое правило (или его название), согласно которому сделан шаг в доказательстве. В графсхемах такой возможности нет.

4. Граф-схемы не отражают ни линейный, ни древовидный порядок членов доказательства. Поэтому их нельзя рассматривать как адаптацию к школьному курсу математических и соответствующих им дидактических моделей доказательств – линейных или древовидных выводов в логических исчислениях. В то же время, дедуктивные схемы отражают древовидный порядок членов предложения, т.е. являются моделями доказательств в виде дерева.

Таким образом, в дедуктивной схеме отражены все характерные черты доказательства, а граф-схема отражает только одну черту доказательства – наличие определенных связей между предложениями – членами доказательства.

Вместе с тем отметим, что для сложных по своей логической структуре доказательств целесообразно строить только краткие дедуктивные схемы, которые достаточно близки к соответствующим граф-схемам.

44

В своей работе Е.Б. Арутюнян [5] отмечает, что для эффективного усвоения учащимися доказательства учителю необходимо выбрать такую форму записи доказательства, которая наиболее полно отражает структуру этого доказательства. В работе [5] сформулированы требования к форме записи доказательства, которая может быть использована учителем при построении доказательства на уроке.

1.При построении доказательства на уроке должна быть возможность достраивания доказательства как "снизу" (синтетический способ доказательства), так и "сверху" (аналитический способ доказательства) [5].

2.Связи между отдельными предложениями – членами доказательства должны легко просматриваться, с тем чтобы в случае потери нити рассуждения можно было легко ее восстановить (особенно это важно при аналитикосинтетическом построении доказательства) [5].

3.Построенное доказательство должно быть легко читаемо в последовательном порядке от условия доказываемой теоремы к ее заключению и наоборот [5].

Мы считаем целесообразным дополнить этот список требованиями к различным представлениям доказательства в виде схемы.

4.Схема доказательства должна быть информативной (т.е. должна отражать наиболее полно информацию о том, как устроено доказательство, его логическую структуру, статус членов) и в тоже время доступной для учащихся (в частности, не слишком громоздкой).

5.Краткая схема доказательства должна предусматривать возможность при необходимости детализировать доказательство или его фрагмент (восстановить опущенные предложения, развернуть энтимемные переходы, доведя их до переходов по логическим правилам).

6.Схема доказательства должна наглядно отражать логическую структуру доказательства и представлять собой модель понятия доказательства, адаптированную к школьному курсу математики.

7.Необходимо иметь возможность отражать в схеме структуру косвенных доказательств – наличие вспомогательных рассуждений в косвенных доказательствах.

Дедуктивные схемы, как форма представления доказательства, удовлетворя-

ют всем перечисленным требованиям.

45

Заметим, что доказательство может быть записано не только в виде схемы (как это предлагают Е.Б. Арутюнян, К.Я. Хабибуллин и др.), но и в виде таблицы (как предлагают А.А. Столяр, Г.И. Саранцев и др.). Однако запись доказательства в виде таблицы, по сути, представляет собой линейное доказательство с комментариями.

§4. Некоторые логические проблемы обучения доказательству

в школе и возможный путь их решения

4.1.Дедуктивная компонента содержания основных школьных учебников по геометрии

Прежде чем приступить к анализу дедуктивной компоненты учебников по геометрии, остановимся на образовательных стандартах.

Изучение государственного стандарта основного общего образования [175] показало, что элементы логики в качестве объекта изучения явно входят в содержание курса математики основной школы (5 9-й классы).

В стандарте основного общего образования в обязательном минимуме содержания основных образовательных программ имеется раздел "Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей" [175, с. 19]. В

этом разделе выделим следующее: "Определения, доказательства, аксиомы и теоремы, следствия … Контрпример. Доказательство от противного. Прямая и обратная теоремы. Понятие об аксиоматике и аксиоматическом построении геометрии…" [175, с. 19] (выделение п/ж курсивом сделано нами).

К сожалению, комментарии к стандарту отсутствуют, поэтому остаются без ответа следующие вопросы: Почему указан только один из известных методов доказательства? Следует ли специально формировать у учащихся перечисленные понятия, в частности понятие доказательства? Или же учащиеся должны усвоить сущность этих понятий без их специального изучения? На наш взгляд, специальное разъяснение учащимся сущности указанных понятий необходимо для успешного изучения математики.

Что касается требований к уровню подготовки выпускников, в стандарте выделяются следующие: знать/понимать "существо понятия математического доказательства; примеры доказательств" [175, с. 20], уметь "проводить доказательные рассуждения при решении задач (геометрия), используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования; проводить несложные доказа-

46

тельства, получать простейшие следствия из известных или ранее полученных утверждений, оценивать логическую правильность рассуждений, использовать примеры для иллюстрации и контрпримеры для опровержения утверждений" [175, с. 23].

Отметим, что неясно, что понимать под "примерами доказательств", но хочется надеяться, что речь идет о доказательствах основных теорем.

В стандарте также отмечается, что выпускники должны уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. А именно для "выстраивания аргументации при доказательстве (в форме монолога и диалога); распознавания логически некорректных рассуждений; записи математических утверждений, доказательств" [175, с. 24] (выделение курсивом наше).

Все сказанное дает основание полагать, что формирование дедуктивной деятельности должно проходить на всех ступенях среднего образования. Более того, необходимость целенаправленного формирования дедуктивной деятельности обусловленастандартамисреднегообразования.

Проанализируем теперь основные действующие школьные учебники по математике, чтобы выявить материал, направленный на формирование дедуктивной деятельности учащихся. Ответим на следующие вопросы: 1) в каких учебниках по математике рассматриваются вопросы логического характера, связанные с дедуктивной деятельностью? 2) как в учебниках по математике представлен материал, разъясняющий учащимся суть понятия доказательства, методы доказательстваит.п.?

Для получения ответов на поставленные вопросы нами был проведен анализ основных действующих учебников по алгебре для 7 9-х классов: [9], [105], [121], [130]; учебников по геометрии для 7 9-х классов: [3], [7], [135], [183], [153], а также учебников по математике для 5 6-х классов [49, 50], [28].

Из всех учебников по математике для 5 6-х классов, которые мы изучили, только в учебниках Г.В. Дорофеева и Л.Г. Петерсон [49, 50] содержится материал по логике, позволяющий начать пропедевтический этап обучения дедуктивной деятельности учащихся. В учебниках Г.В. Дорофеева и Л.Г. Петерсон [49, 50] уже в 5 классе разбираются вопросы, связанные с доказательством математических утверждений, а именно общих утверждений и утверждений о сущест-

47

вовании. В учебниках Г.В. Дорофеева и Л.Г. Петерсон для 6-го класса разбирается понятие логического следования, однако как проверить, имеет ли место логическое следование, не объясняется. Аналогично дело обстоит и с равносильностью.

В рассматриваемых учебниках вместо заключения предложен раздел "Как мы рассуждаем" [50, с. 174], в котором говорится о правилах логики и о необходимости их соблюдения (сами правила не указываются и не разъясняются). Отметим, что в этом разделе упоминается аксиоматический метод, но в чем он состоит, не разъясняется. В разделе "Как мы рассуждаем" используются понятия логический вывод, индукция, дедукция. Смысл этих понятий, на наш взгляд, не разъяснен.

Теперь проанализируем учебники по математике для 5 6-х классов авторов Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд [28]. В этих учебниках вопросы, так или иначе связанные с логикой, не рассматриваются. Однако присутствует несколько задач, позволяющих учителю поднять вопросы, связанные с доказательством.

Вучебнике математики для 5-го класса Н.Я. Виленкина и др. [28] слово доказать впервые появляется на с. 51. Однако суть этого требования не объясняется. Такимобразом, пояснить, чтоозначаеттребование"доказать", должен учитель.

Вучебнике [28] есть задачи, в которых нужно выяснить, верно ли данное утверждение. Эти задачи можно использовать для объяснения учащимся, каким образом можно доказать условное утверждение или опровергнуть его. Среди предлагаемых утверждений и вопросов в этих задачах встречаются предложения с кванторными словами, что позволяет обсудить с учащимися, как можно доказывать и опровергать утверждения с кванторами. Соответствующая методика работы с предложениями, содержащими кванторы, предложена А.В. Камышовым [73]. На наш взгляд, именно в 5-м классе следует начать изучение кванторов, а также методы доказательства утверждений с кванторами (кванторными словами). Более того, в учебнике [28] присутствует вопрос, явно содержащий кванторное слово: "Существует ли натуральное число, которое равно сумме всех предшествующих ему натуральных чисел?" [28].

Вучебнике для 6-го класса этих же авторов [28] вопросы логического харак-

тера также не рассматриваются, нет и соответствующих этому материалу задач.

48

Однако все же присутствует несколько задач, которые можно использовать в процессе пропедевтического обучения учащихся дедуктивной деятельности – взять за основу при обсуждении с учащимися строения простейших рассуждений. Например, задача № 13: "Докажите, что произведение двух натуральных чисел кратно каждому из множителей" [28]. Однако, что означает доказать, не пояснено, и нет примеров подобных рассуждений.

Анализируя учебники по алгебре для 7 9-х классов, мы установили, что в учебниках [105], [130] отсутствует логический материал, позволяющий разъяснить учащимся какие-либо логические методы доказательства и сущность математических доказательств. Вместе с тем в этих учебниках имеются доказательства некоторых утверждений и задачи на построение доказательства (содержащие требование "Докажите…").

Вучебнике по алгебре для 9-го класса М.И. Башмакова [9] представлен материал, позволяющий разъяснить учащимся суть логических связок и кванторов. В этом же учебнике приведены правила преобразования отрицаний утверждений, представлены задания, позволяющие организовать работу учащихся по преобразованию отрицаний утверждений. Кроме того, разъясняется правило силлогизма

иправило доказательства от противного. Следует отметить, что М.И. Башмаков под правилом доказательства от противного подразумевает правило контрапози-

ции[9].

Вучебнике М.И. Башмакова под теоремой понимается "высказывание, истинность которого требуется доказать или опровергнуть" [9, с.262] (курсивное выделение слова "опровергнуть" наше. Е.Л.). Понятие "доказательство теорем" в этом учебнике разъясняется следующим образом: "проверка истинности утверждений

спомощью определенных правил" [9, с.263]. Отметим, что эти разъяснения расходятсясобщепринятымпониманиемтерминов"теорема" и"доказательство".

Вучебниках А.Г. Мордковича [121] разъясняется только один логический метод построения доказательства – метод доказательства от противного. "Метод доказательства, который мы применили только что, называют в матема-

тике методом доказательства от противного. Суть его состоит в следую-

щем. Нам нужно доказать некоторое утверждение, а мы предполагаем, что оно не выполняется (математики говорят: "предположим противное" – не в смысле "неприятное", а в смысле "противоположное тому, что требуется").

Если в результате правильных рассуждений приходим к противоречию с ус-

49

ловием, то делаем вывод: наше предположение не верно, значит, верно то, что требовалось доказать" [121, с. 43]. К сожалению, что такое "правильные рассуждения" автор учебника [121] не поясняет. Кроме того, не разъясняется, что надо делать в том случае, когда в результате правильных рассуждений мы приходим к противоречию не с условием, а, например, с ранее доказанной теоремой.

Теперь перейдем к анализу учебников по геометрии для 7 9-х классов.

Вучебнике И.М. Смирновой и В.А. Смирнова [153] о доказательстве сказано следующее: "Используя аксиомы, путем логических рассуждений выводятся (доказываются) свойства геометрических фигур, называемые теоремами. Особую роль при этом играют логические рассуждения – доказательства. Несмотря на то, что некоторые свойства геометрических фигур могут показаться вытекающими из рисунка, тем не менее, они нуждаются в доказательстве. Рисунок помогает найти доказательство, но не заменяет его" [153, с. 8]. Авторы учебника [153] более к разъяснению понятия доказательства не возвращаются.

Вучебнике по геометрии для 7 9-го класса И.Ф. Шарыгина [183] понятию доказательства и методам доказательства посвящен целый параграф "Доказательства в геометрии" в конце последней главы для 7-го класса. В этом параграфе из 13ти разделов 8 имеют отношение к вопросам логического характера: теоремы и доказательства; метод от противного; перебор вариантов; контрпример; прямая и обратная теоремы; прямая и обратная теоремы в одной; теорема как частный случайдругойтеоремы [183].

Процитируем текст из учебника И.Ф. Шарыгина [183], в котором разъяс-

няются понятия теорема, аксиома, доказательство.

"Под теоремой в математике понимают любое математическое утверждение, справедливость которого устанавливается с помощью доказательства… Математическое доказательство проводится по четко определенным правилам. Исходя из ранее известных фактов и теорем, в соответствии с законами логики устанавливается справедливость новой теоремы… Математики называют принимаемые без доказательств утверждения аксиомами" [183, с.98].

На наш взгляд, этот текст не вполне разъясняет учащемуся, что такое доказательство. Действительно, во-первых, неясно, о каких законах логики идет речь,

50