Методика обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы. Монография

поиск и построение доказательства, опровержение предложенных рассуждений.

Е. Тоцки [171] исследовал методические основы локально-дедуктивного обучения геометрии в средней школе. В своих работах он обосновывает, что с помощью локально-дедуктивной организации процесса обучения математике можно освободиться от таких свойств глобальной организации, которые становятся помехой и существенно осложняют понимание дедуктивного рассуждения. "Локально-дедуктивная организация может убедительно показать ученикам различие между истинностью и доказуемостью теорем… Другим важным аргументом в пользу рассматриваемого способа обучения является … введение и применение законов правильного рассуждения " [171, с.73].

Начиная с 2000 г. проблемой обучения доказательству учащихся средних школ занимались О.В. Алексеева, И.В. Воинова, Е.С. Ветошкина, Е.В. Костромитина, М.С. Маскина, Н.Б. Мурадова и др.

И.В. Воинова [30] разработала методику обучения учащихся основной школы логическим приемам мышления в процессе изучения курса алгебры. В основу выделения содержания логических приемов мышления положено "единство специфики алгебраического материала, логических операций с понятиями, суждениями и умозаключениями, возрастных возможностей школьников подросткового возраста и соответствующих задач как средства их формирования" [30, с. 8].

В исследовании Е.С. Ветошкиной разработана методика обучения учащихся проведению доказательств на уроках геометрии в основной школе с учетом пси- холого-педагогических особенностей и способностей школьников на базе использования и формирования приемов мыслительной деятельности. Е.С. Ветошкина считает, что "целенаправленное обучение учащихся 7 9-х классов проведению геометрических доказательств с опорой на аналитикосинтетическую деятельность позволит повысить результативность обучения доказательствам в курсе геометрии основной школы, а предложенная на этой основе система геометрических задач будет способствовать успешному изучению геометриивосновнойшколе" [27, с. 11].

Следует отметить, что в разработанной Е.С. Ветошкиной методике практически не уделяется внимания дедуктивным средствам, которые используются в до-

21

казательстве, аргументация шага доказательства сводится к ссылке на соответствующиеопределения, аксиомы, теоремы, задачи.

Е.В. Костромитина [85] исследовала вопросы, связанные с обучением учащихся средней школы так называемому "опровержению доказательств". Считаем, что термин "опровержение доказательств", который использует Е.В. Костромитина и многие другие, не совсем удачен. Под доказательством принято понимать правильное рассуждение, т.е. рассуждение, построенное согласно логическим правилам, поэтому опровергнуть можно только неправильное (содержащее ошибки) рассуждение, а не доказательство. Судя по всему, когда говорят об опровержении доказательств, имеют в виду обучение поиску ошибок в рассуждениях. Однако, излагая взгляды Е.В. Костромитиной, будем использовать термин, которым пользуется она.

Обучение опровержению доказательств, по мнению Е.В.Костромитиной, надо рассматривать как естественный компонент деятельности по обучению школьников математическим доказательствам на всех ее этапах. Под обучением "опровержению доказательств" математических утверждений Е.В.Костромитина понимает [85,с.8]: обучение учащихся нахождению и исправлению ошибок в предложенных рассуждениях и в своих собственных; разбор готовых опровержений предложенных рассуждений; обучение восстановлению неполных доказательств; обучение приемам опровержения отдельных частей доказательства; самостоятельноепроведениеопроверженийпредложенныхрассуждений.

Однако, на наш взгляд, восстановление неполных доказательств не следует относить к опровержению, поскольку опровержение предполагает, что рассматриваемое рассуждение имеет ошибку, но далеко не все неполные рассуждения ошибочны. Более того, практически все доказательства, предложенные в школьных учебниках, представлены в сокращенном, т.е. неполном виде.

В диссертационном исследовании Н.Б. Мурадовой [122] предлагаются методические рекомендации по формированию у учащихся 5 7-х классов умений и навыков доказательных рассуждений. Н.Б. Мурадова считает, что "основной акцент в обучении математике учащихся 5 7-х классов должен быть сделан на формирование обобщённых моделей фигур и стандартов логических рассуждений. Достигнуть этого можно путём использования обычных арифметических упражне-

22

ний, а также упражнений на распознавание объектов, принадлежащих понятию и не принадлежащих ему. Именно на этом материале можно формировать логические правила заключения и отрицания" [122, с.88]. Однако автор не поясняет, что такое правило отрицания и почему его не относят к правилам заключения, непонятнотакжеокаких"стандартахлогическихрассуждений" идетречь.

В исследованиях И.Л. Тимофеевой [164], в первую очередь связанных с логической подготовкой будущих учителей математики, разработаны логикоматематическиеосновыобучениядоказательствунабазеестественноговывода: разработана дидактическая модель понятия математического доказательства – доказательство в виде дерева (см. §3. гл.1.); выявлены преимущества этой модели по сравнению с традиционной линейной моделью; средствами естественного вывода проведен анализ прямых и косвенных методов рассуждений; предложено применение эвристических средств естественного вывода в обучении доказательств. И.Л. Тимофеевой проведена теоретическая разработка логико-математических основ использования средств естественного вывода в обучении доказательству в школеивузе.

Наше исследование представляет собой продолжение исследований И.Л. Тимофеевой в области обучения доказательству в школе.

§2. Психолого-педагогические основы обучения доказательству

2.1.Деятельностный подход к обучению

Вконце ХХ века изменились главные ценности образования: от формирования знаний и умений происходит переход к развитию способностей, что невозможно без реализации деятельностного подхода в обучении. Понятию деятельности в философии, психологии, педагогике и дидактике посвящены многие исследования, в которых дано определение этого понятия, выявлены наиболее существенные характеристики человеческой деятельности, ее структура, предложены различные классификации видов деятельности.

Всамом общем виде деятельность рассматривают как форму человеческой активности, содержанием которой является целесообразное изменение и преобразование окружающего человека мира [20]. В психолого-педагогической науке положение о ведущей роли деятельности в развитии человека исследовали Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, А.Н. Леонтьев, С.Л. Рубинштейнидр.

23

Согласно теории П.Я. Гальперина, учение предполагает собственную активность учащегося по выполнению некоторой последовательности действий, ведущих к усвоению им содержания обучения и преобразования полученной информации в знания, умения и навыки: учебная информация при организации соответствующей деятельности учащегося преобразуется в знания, а последовательность действий– вумения, которыевдальнейшемстановятсянавыками [162].

Согласно Д.Б. Эльконину, "учебная деятельность – это деятельность, имеющая своим содержанием овладение обобщенными способами действий в сфере научных понятий … Такая деятельность должна побуждаться адекватными мотивами. Ими могут быть … мотивы приобретения обобщенных способов действий, или, проще говоря, мотивы собственного роста, собственного совершенствования" [184, с. 245]. Иными словами, учебная деятельность рассматривается в данном контексте как деятельность учащегося по решению учебных задач, специально смоделированных учителем так, чтобы направить поисковую активность школьников на "открытие" общих способов решения конкретно-практических и познавательных задач.

Существенное влияние на цели обучения оказывает содержание этого обучения, его структура. В соответствии с разработанной теорией учебной деятельности (Л.С. Выготский, В.В. Давыдов, Е.Н. Кабанова-Меллер, А.Н. Леонтьев, Д.Б. Эльконин и др.) главным содержанием обучения должно быть овладение учебной деятельностью по решению широкого класса задач. Значительный вклад в теорию обучения математике с использованием учебных задач внесли О.Б. Епишева, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Г.И. Саранцев, Л.М. Фридман и др.

Термин математическая деятельность, применительно к определенного рода мыслительной, познавательной деятельности в процессе обучения математике используют Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин, В.А. Крутецкий, А.А. Столяр и др. Существуют различные подходы к выявлению особенностей математического знания и определению структуры математической деятельности (А.Д. Александров, В.Г. Болтянский, А.Н. Колмогоров, Д. Пойа и др.).

Во многих работах математическая деятельность рассматривается только с точки зрения ее математического содержания, т.е. как деятельность, направленная на получение нового математического знания и на решение математических задач. Другого мнения придерживается А.А. Столяр, который рас-

24

сматривает математическую деятельности в первую очередь как "мыслительную деятельность с набором общих приемов мышления" [160, с. 9] и только потом "как специфическую для математики познавательную деятельность" [160, с. 51].

Вобучении математике особую роль играет дедуктивная1 деятельность учи-

теля и учащихся. Термины дедуктивное мышление, дедуктивная составляющая мышления широко используются в работах Г.В. Дорофеева. Термин дедуктивная деятельностьвведенвдиссертационномисследованииИ.Л. Тимофеевой[169].

Вкачестве основных видов дедуктивной деятельности И.Л. Тимофеева выделяет следующие [169]:

репродуктивную (осознанное воспроизведение готового доказательства);

аналитическую (логический анализ доказательства как готовой конструкции с целью выявления его логической структуры; анализ фрагментов доказательства с целью выявления используемых дедуктивных средств);

эвристическую и продуктивную (поиск и построение доказательства);

контрольно-диагностическую (контроль правильности рассуждения, выявление в нем ошибок, объяснение сути логических ошибок);

рефлексивную (осознание дедуктивных средств, используемых в процессе построения математического доказательства).

Многие специалисты (например, А.А. Столяр, Г.И. Саранцев, И.Л. Тимофеева и др.) отмечают, что учителя в учебном процессе организуют в основном репродуктивную дедуктивную деятельность учащихся. Вследствие этого воспроизведение готового доказательства учащимися чаще всего происходит неосознанно. Неосознанность проявляется в том, что учащиеся заучивают доказательство наизусть, не понимая как, почему и зачем сделан той или иной шаг в доказательстве, не понимая структуры доказательства и т.д. Без понимания того, как и на основании чего осуществляются шаги дедуктивных рассуждений, учащиеся беспомощны при самостоятельном построении доказательства.

2.2. Дедуктивная рефлексия учащихся

Анализ некоторых проблем, возникающих перед школьниками при реше-

1 Дедукция (от лат. deductio – выведение) – переход от посылок к заключению, опирающийся на логический закон, в силу чего заключение необходимостью следует из принятых посылок. Характерная особенность дедуктивного умозаключения проявляется в том, что в нем, исходя из истинных посылок, всегда получаем только истинное заключение [67, с. 365].

25

нии задач на доказательство, показывает, что эти проблемы связаны с недостаточной способностью к рефлексии и самоконтролю.

Многие специалисты отмечают, что в процессе организации учебной деятельности особое внимание следует уделять развитию рефлексивных способностей учащихся. П.Г. Щедровицкий подчеркивает, что освоение какого-либо вида деятельности происходит только тогда, когда в дело включается направляемая рефлексия, за счет которой и выделяются сами схемы деятельности – способы решения задач или рассуждения. Освоение выступает как прямой продукт такого рефлексивного процесса.

В словарях понятие рефлексии определяют обычно следующим образом. Рефлексия (от позднелат. reflexio – обращение назад) – это форма теоретической деятельности человека, направленная на осмысление своих собственных действий и их законов.

Само понятие "рефлексия" ввел великий французский ученый Р. Декарт. Он явился основателем рационалистической теории самосознания, рассматривающей сознание, прежде всего как мышление. Р. Декарт писал, что быть сознающим значит мыслить и рефлексировать над собственным мышлением. Он отождествлял рефлексию со способностью индивида сосредотачиваться на содержании своих мыслей, абстрагировавшись от внешнего, телесного.

В психологии и педагогике исследовалась проблема изучения рефлексии, сопровождающей собственную индивидуальную деятельность человека по решению задач. Такую рефлексию называют интеллектуальной.

Проблемами рефлексии в учебной деятельности занимались разные специалисты, такие как В.П. Зинченко, Г.П. Щедровицкий, О.Б. Епишева. О.Б. Епишева исследовала и выделила уровни ее сформированности.

С помощью рефлексии осуществляется осмысление трех сторон деятельности субъектов обучения: практической (что сделано? что является результатом?); технологической (каким способом? этапы деятельности и др.); мировоззренческой (зачем я это делаю? соответствует ли полученный результат поставленным задачам? и т.д.) [57].

Важнейшим для учебной деятельности является интеллектуальная рефлексия – осмысление, осознание собственных мыслительных действий и оснований для этих действий (см., напр., [169, с. 61]).

В интеллектуальной рефлексии можно выделить такой важный вид рефлек-

26

сии как логическая рефлексия. Проблемы развития логической рефлексии изучены в диссертационном исследовании Е.В. Морозовой [120].

Е.В. Морозова считает, что "результативность интеллектуальной рефлексии зависит в первую очередь от уровня мышления субъекта, в частности от уровня развития его логического мышления, от степени сформированности таких мыслительных операций, как анализ, синтез, сравнение, обобщение, классификация" [120, с. 52]. Понятие логической рефлексии Е.В. Морозова определяет так: "Логическая рефлексия – это способность школьника к осмыслению своих мыслительных действий, к занятию аналитической позиции по отношению к своему мышлению, выяснению оснований того выбора логических операций и форм мышления, всоответствиискоторымиондействует" [120, с. 53].

О логической рефлексии пишет и И.Л.Тимофеева, выделяя в ней логикоязыковую и дедуктивную рефлексии. Отмечая при этом, что "предметом осознания дедуктивной рефлексии являются дедуктивная математическая деятельность, ее основания и результаты – дедуктивные рассуждения, математические доказательства" [169, с. 61].

Дедуктивной рефлексией И.Л.Тимофеева называет осознание мыслительных действий, обеспечивающих отдельные шаги рассуждения в процессе дедуктивной деятельности, осознание дедуктивных средств, используемых в том или ином доказательстве, а также логической структуры доказательства в целом или его фрагмента [169, с. 61]. И.Л. Тимофеева различает два вида дедуктивной рефлексии: репродуктивную и продуктивную, в зависимости от вида дедуктивной деятельности, в процессе которой происходит осознание мыслительных действий

[169, с. 61].

Опираясь на исследования И.Л. Тимофеевой и О.Б.Епишевой, выделим следующие диагностические признаки дедуктивной рефлексии (табл. 1).

Таблица 1. Диагностические признаки дедуктивной рефлексии

27

Дидактически выверенное использование наглядных образов в обучении математике может превратить наглядность из вспомогательного, иллюстрирующего средства, в ведущее, продуктивное методическое средство, способствующее математическому развитию учащихся. [45, с. 8]

В.А. Гусев, говоря о роли математических знаний в развитии дедуктивного мышления, отмечает, что "следует постоянно помнить о наглядности изучаемого материала, о практической и теоретической целесообразности его изучения" [42, с. 267]. Реализацией принципа наглядности изложения учебного материала В.А. Гусев считает наличие большого числа рисунков, помогающих усвоению материала, а также показ динамики развития построения чертежа, наблюдения, рассуждения.

Проблема реализации принципа наглядности в обучении дедуктивной деятельности получает принципиально новое решение при использовании элементов теории естественного вывода. Прежде всего, это выражается в возможности выявить и зафиксировать форму элементарных рассуждений в виде логических правил наглядных графических объектов.

Использование понятия доказательства в виде дерева как модели понятия математического доказательства позволяет наглядно отразить не только логические связи между членами доказательства, но логическую структуру доказательства в целом, например, при анализе готового доказательства. Использование дедуктивных схем доказательств, как формы представления доказательства в виде дерева (см. §3 гл.1), позволяет отразить с помощью графических средств и цвета статус исходных предложений в изучаемом доказательстве. Кроме того, с помощью компьютера появляется возможность: наглядно продемонстрировать динамику процесса построения доказательства, выявить шаги процесса построения доказательства, зафиксировать каждый шаг этого процесса, что позволяет проследить и зафиксироватьходрассужденияприпоискедоказательства(см. §3 гл.2).

§3. Логико-математические средства обучения доказательству

3.1. Понятие доказательства и его дидактические уточнения

Прежде чем чему-то учить, необходимо разобраться в сущности предмета обучения. Перед тем как рассматривать логико-математические средства обу-

29

чения доказательству, выясним сущность самого понятия "доказательство", а также тесно связанных с ним понятий "аксиома" и "теорема".

Известный российский логик и математик В.А. Успенский считает, что понятие доказательства принадлежит не математике (математике принадлежит только его математическая модель), а скорее психологии, поскольку доказательство – это рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы способны убеждать других [174]. Кроме того, В.А. Успенский отмечает, что, восприняв доказательство, мы приобретаем "готовность убеждать других с помощью этого воспринятого нами рассуждения. Если же мы не приобретаем такой готовности, это значит, что мы еще не восприняли предъявленное нам рассуждение как доказательство, и если даже признали его доказательством, то просто, чтобы отмахнуться" [174, с. 140].

Вматематическойэнциклопедиидано следующееописаниепонятиядоказательства: "Доказательство в широком смысле этого слова есть способ обоснования истинности того или иного суждения" [111, т. 2, с. 367-368]. Однако такое представление о доказательстве в широком смысле недостаточно для понимания сущности математическогодоказательства, когдаречьидетобобучениидоказательству.

Вучебной и справочной литературе для учащихся часто встречаются следующие разъяснения этого понятия. Например, А.В. Погорелов в своем учебнике [135] пишет: "Правильность утверждения … устанавливается путем рассуждения, это рассуждение называется доказательством" [135, с. 17].

Отметим, что вероятнее всего, используя термин "правильное утверждение" автор, [135] имел в виду "истинное утверждение", а под "истинным умозаключением" понимали "правильное умозаключение" (если ориентироваться на общепринятуютерминологию).

Возникает сразу несколько вопросов: Что такое "рассуждение", и как с помощью рассуждения можно установить "истинность утверждения"? Что такое "правильное умозаключение"? Всякое ли рассуждение является доказательством, и если нет, как отличить доказательство от не доказательства? В связи с этим при обучении доказательству понятие "доказательство" необходимо уточнить, даже если речь идет об уточнении на интуитивном (неформальном) уровне.

Прежде чем переходить к уточнению понятия доказательства отметим, что

далее, употребляя термин доказательство, будем иметь в виду не процесс обос-

30