Методика обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы. Монография

Перейдем к организации повторения с учащимися косвенных правил построения доказательства (см. гл.1 §3). В первую очередь целесообразно повторить правило доказательства общих утверждений и правило доказательства введением вспомогательной гипотезы, поскольку согласно этим правилам проводятся первые два шага большинствадоказательств курса геометрии.

Действительно, многие теоремы имеют вид "Всякий объект, обладающий свойством А, обладает свойством В", что символически записывается так:х(А(х) В(х)). Первые шаги в доказательстве теорем, имеющих такую логическую структуру, должны быть сделаны согласно методам доказательства общих утверждений и доказательства введением вспомогательной гипотезы. А именно, во-первых, зафиксировать произвольный объект, про который предстоит доказать, что если он обладает свойством А, то он обладает и свойством В (первый шаг). Вовторых, принятьдопущение, чтозафиксированныйобъектобладаетсвойствомА, и далее, исходя из этого допущения вывести, что этот элемент обладает свойством В (второй шаг). Схема, соответствующая этим шагам доказательства, имеет вид

[A(x)]

B(x)

Авторы учебников обычно опускают эти два шага доказательства и приво-

дят только вспомогательное рассуждение [A(x)] .

B(x)

Отметим, что и учитель на уроке редко произносит соответствующие первые слова доказательства: "Пусть t – произвольный объект. Допустим, что он обладает свойством А, и докажем, что он обладает свойством В". Учителя опускают эти слова, вероятно, потому что эти слова практически всегда отсутствуют в тексте доказательства, приведенном в учебнике.

Отсутствие в доказательстве первых предложений, связанных с использованием правила введения квантора общности, скорее всего вызвано тем, что авторы учебников обычно опускают "внешние" кванторы общности, стоящие в начале уточненной формулировки доказываемого утверждения. Однако они не считают такой шаг лишним в принципе. Действительно, в аналогичных ситуациях, хотя в формулировке утверждения кванторы общности опущены, авторы учебника [7] иногда все же начинают доказательство со слов: "Рассмотрим произвольный…",

71

то есть обсуждаемый шаг доказательства присутствует. Например, доказательство утверждения "Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон" начинается со слов: "Рассмотрим произвольный треугольник ABC …" [7, С. 69], несмотря на то что соответствующий квантор общности в формулировке рассматриваемого утверждения опущен: "Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон". Восстановить в этом утверждении опущенный квантор можно так: "Каждая сторона всякого треугольника меньше суммы двух другихсторон".

Что касается использования правила введения вспомогательной гипотезы, как отмечено в статье [166], обычно применение этого правила неявно выражается в форме: «Дано: … Доказать: …». Этот шаг доказательства часто выносится за рамки доказательства. Заметим, что в учебнике [7] в доказательствах некоторых утверждений этот шаг не опущен. Например, в доказательстве утверждения "Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны" этот шаг выражается в форме: "Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны… . Докажем, что a||b" [7, с.53]. Это дает основание полагать, что такой шаг авторы учебника [7] в принципе также не считают лишним.

Возникает ряд вопросов: Почему рассмотренные два первых шага доказательства теорем вида "Всякий объект, обладающий свойством А, обладает свойством В", проводимые в соответствии с правилами введения квантора общности и введения импликации, в одних случаях опускаются, а в других – нет? Не запутывает ли это учащихся? Не способствует ли это тому, что учащиеся часто испытывают большие трудности при совершении первых шагов доказательства, не зная с чего же начать? Считаем, что если бы эти шаги не опускались, то есть стали бы традиционными первыми шагами доказательства, то начинать доказательство учащимся было бы легче.

На наш взгляд, обсуждаемые два шага доказательства учителю необходимо восстанавливать на уроке всегда, чтобы предотвратить ошибки учащихся, связанные с использованием этих правил (подробнее см. [101]), а также помочь им избежать трудностей при поиске доказательства. Однако подробно разобрать и записать первые два шага доказательства с учащимися достаточно один-два раза (в зависимости от подготовки учащихся), чтобы в дальнейшем только напоминать о рассматриваемых шагах, например, проговаривая их устно, без записи.

72

Мы считаем целесообразным в первую очередь повторить с учащимися два косвенных правила – правило доказательства общих утверждений и правило доказательства введением вспомогательной гипотезы. Остальные косвенные правила построения доказательства целесообразно повторять по мере их использования в доказательствах. Сделать это можно с учетом следующих рекоменда-

ций.

1.Сформулировать утверждение, которое предстоит доказать, и при необходимости уточнить его, восстановив опущенные кванторы.

2.Обсудить с учащимися, какой метод доказательства можно использовать, и напомнить им суть этого метода.

3.Записать на доске соответствующее правило доказательства. Прочитать это правило "сверху вниз" и "снизу вверх" (см [166]).

4.Записать дедуктивную схему рассуждения, в которой отражен только тот шаг, который сделан согласно рассматриваемому правилу. Отметим, что при построении дедуктивной схемы целесообразно разъяснять/напоминать учащимся используемые в схеме обозначения.

Например, при изучении теоремы о параллельных прямых по учебнику А.В. Погорелова [135] можно организовать повторение правила доказательства приведением к нелепости следующим образом.

Теорема. Две прямые, параллельные третьей, параллельны [135, с. 49]. Первые шаги доказательства этой теоремы будут следующими: "Пусть а, b и с

– произвольные прямые и пусть а и b параллельны прямой с. Докажем, что а и b параллельны". После записи на доске первых шагов доказательства целесообразно вспомнить, какие прямые называются параллельными: "Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются" [135, с. 16]. Значит, для того чтобыдоказатьтеорему, достаточнодоказать, чтопрямыеаиb непересекаются.

Учителю при записи на доске предложения "прямые а и b не пересекаются" полезно выделить частицу "не". Затем можно спросить у учащихся, какой метод доказательства полезно использовать для доказательства предложения вида "не А", и, если они не ответят, объяснить, почему в доказательстве следует использовать метод доказательства приведением к нелепости. Далее целесообразно напомнить учащимся суть используемого метода: если из допущения А мы выводим противоречие (т.е. пару предложений В и "не В" для некоторого

предложения В), то считаем, что обосновано "не А".

73

Затем учителю целесообразно записать на доске дедуктивную схему, соответствующую этому методу (рис. 9).

Рис. 9. не А

Если дедуктивная схема косвенного рассуждения записывается впервые, то следует разъяснить учащимся обозначения, которые используются в этой схеме. При этом учителю параллельно с записью схемы на доске полезно читать эту схему. В данном случае записывать и одновременно читать правило доказательства приведением к нелепости удобно "снизу вверх". В таблице4 приведена последовательностьзаписиэтогоправилаисопровождающиеэтузаписьслова.

74

Разъяснить учащимся обозначения, которые используются при построении дедуктивной схемы, можно и после построения этой схемы. Отметим, что схемы можно также строить, прочитывая их "сверху вниз". Считаем, что целесообразно демонстрироватьучащимсяобавариантапрочтенияизучаемыхправил.

После того как построена дедуктивная схема, соответствующая методу доказательства приведением к нелепости, возвращаемся к доказательству изучаемой теоремы. Шаг доказательства теоремы, который делается согласно методу доказательства приведением к нелепости, можно отразить с помощью дедуктивной схемы, представленной на рис.10.

Рис. 10. а и b не пересекаются

Далее учитель вместе с учащимися (например, в форме фронтальной беседы) проводит вспомогательные рассуждения, ведущие к противоречию. Мы не будем подробно останавливаться на том, как организовать дальнейший поиск доказательства.

Процитируем текст доказательства, приведенный в учебнике: "… прямые а и b … пересекаются в некоторой точке С. Значит, через точку С проходят две прямые, параллельные прямой с. Но это невозможно, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой параллельной данной …" [135, с. 49].

Таким образом, в качестве противоречия автор учебника [135] использует аксиому о параллельных и ее отрицание. После того, как противоречие найдено, считаем целесообразным вернуться к дедуктивной схеме (рис. 10) и заменить букву "В" на соответствующее предложение (см. рис.11). Причем, если учитель не использует компьютер на уроке, то вместо формулировки аксиомы в схеме можно записать ее название – "аксиома о параллельных".

75

Учителю полезно обратить внимание учащихся на то, что допущение использовалось только в одном вспомогательном рассуждении. Более того, одно из вспомогательных рассуждений состоит из единственного предложения – аксиомы о параллельных. Для того чтобы подчеркнуть, что это предложение является аксиомой, заключаем его в рамку с пунктирной границей.

При объяснении нового материала полезно предлагать учащимся дедуктивные вопросы (см. §3 этой главы) для того, чтобы вовлекать их в процесс построения доказательства, обращая внимание на используемые методы доказательства. Отметим, что в 7 классе полезно строить на уроке дедуктивные схемы, отражающие только обсуждаемые шаги доказательства. Однако дедуктивные задачи, которые мы предлагаем использовать для закрепления материала и коррекции знаний учащихся, могут содержать более подробные дедуктивные схемы.

В завершение отметим, что именно с 7-го класса учителю необходимо формировать у учащихся следующие умения, необходимые при построении доказательств: чёткоформулироватьпосылкиизаключениедоказываемойтеоремы; при необходимости восстанавливать опущенные кванторы в формулировке доказываемой теоремы; выделять каждый шаг доказательства; аргументировать все шаги доказательства (в энтимемных переходах в виде ссылок на соответствующие определения, аксиомы, теоремы, ранее решенные задачи, а в логических шагах указывать, согласно каким правилам доказательства они сделаны); при необходимостивосстанавливатьопущенныечленыдоказательства.

76

§2. Методика использования дедуктивных схем при обучении доказательству учащихся 7 8-х классов

2.1.Методика использования дедуктивных схем при формировании понятия доказательства

Изучение доказательств теорем в начале систематического курса геометрии представляет собой трудную задачу для учащихся. С появлением заданий "Докажите, что …", с началом проведения дедуктивных рассуждений, начинается переломный этап в изучении математики. В зависимости от того, как ученик преодолеет этот этап, он или полюбит математику, или начнет накапливать непонимание и неприязнь к ней. Поэтому особенно важно, чтобы учитель помог ученику осознать роль доказательств и формировал у него навыки дедуктивной деятельности.

О роли доказательств в математике впервые целесообразно говорить с учащимися уже в 5 6-м классе. Учащимся необходимо прививать мысль, что на основании измерений можно сформулировать гипотезы, но они становятся математическими истинами (теоремами) только тогда, когда они обоснованы с помощью доказательства. Формирование понятия доказательства опирается на интуитивные жизненные представления об обоснованиях тех или иных утверждений, об убедительности дедуктивных рассуждений. Первоначальное представление учащихся о доказательстве (5 6-й класс) постепенно должно быть уточнено. Разъяснять учащимся суть понятия математического доказательства и уточнять это понятие целесообразно поэтапно.

Впервые поднять вопрос о том, что такое доказательство, целесообразно на первых уроках геометрии в 7-м классе. В форме фронтальной беседы можно подвести учащихся к тому, что математическое доказательство представляет собой текст, главная особенность которого состоит в том, что предложения, из которых он составлен (члены доказательства), логически взаимосвязаны друг с другом. Указанная связь членов доказательства может выражаться словами "предложение такое- тоследуетизпредложенийтаких-то" илисловамианалогичногосмысла. Приэтом следует подчеркнуть, что каждый шаг рассуждения сделан согласно некоторому правилупостроениядоказательства(логическомуправилу).

Завершить эту беседу о том, что такое математическое доказательство на уроке полезно повторением наиболее простых правил построения доказательства (см. раздел 1.2. этой главы). После повторения прямых правил считаем по-

77

лезным еще раз вернуться к вопросу, как устроено доказательство. Причем на этот раз появляется возможность на конкретном примере разъяснить учащимся, как именно связаны междусобойпредложения – членыдоказательства. Вкачествепримера целесообразно выбрать прямое рассуждение, возникающее при решении следующейзадачи.

Задача. Натуральное число n делится на 4 и не делится на 14 (символически: n 4 и n 14 ). Докажите, что n не делится на 7 (символически: n 7 ).

Искомое доказательство состоит из шести шагов: первый и четвертый сделаны согласно правилу удаления конъюнкции; второй и пятый сделаны согласно правилу частного заключения; третий сделан согласно правилу де Моргана; шестой – согласно правилу исключения случаев. Дедуктивная схема доказательства представлена на рис.12.

n 4 и n 14

В схеме на рис.12 условие заключено в рамку с волнистой границей, а ранее доказанные утверждения – в рамки с пунктирной границей. Используя на уроке дедуктивную схему этого доказательства, учитель получает возможность наглядно продемонстрировать учащимся связь между членами доказательства. Следует отметить, что дедуктивная схема этого доказательства должна появиться в процессе его построения, а не в готовом виде. Кроме того, при построении дедуктивной схемы целесообразно использовать компьютер, что позволит сократить время на построение этой схемы.

Перейти к повторению косвенных правил доказательства целесообразно, после того как на уроке построена дедуктивная схема прямого рассуждения. Затем можно еще раз вернуться к понятию доказательства и построить дедуктивную схему доказательства, в котором используются косвенные правила построения доказательства. Это даст возможность продемонстрировать уча-

78

щимся логические взаимосвязи между предложениями в косвенном доказательстве, а также разъяснить учащимся особый статус предложений, которые принимаются в качестве допущений. Например, в качестве задачи, при решении которой используются косвенные правила построения доказательства, можно использовать следующую задачу из учебника [153].

Задача. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из вершины острого угла, не совпадают [153, с. 87].

На уроке целесообразно сначала организовать поиск решения этой задачи с последующим обсуждением его с учащимися.

Прежде всего полезно уточнить утверждение, которое требуется доказать, восстановив внешний квантор общности по треугольникам, опущенный, но подразумевающийся: "В любом прямоугольном треугольнике медиана и биссектриса, проведенныеиз вершины острого угла, не совпадают".

Первые шаги доказательства уточненного утверждения проводятся согласно правилу доказательства общих утверждений (в соответствии с этим правилом фиксируется произвольный треугольник и вершина острого угла, из которой проведены медиана и биссектриса) и согласно правилу доказательства введением вспомогательной гипотезы. Таким образом, согласно указанным правилам достаточно зафиксировать произвольный треугольник АВС, допустить, что он прямоугольный (прямой угол С), зафиксировать вершину острого угла А и доказать, что биссектриса и медиана, проведенные из вершины А, не совпадают.

На уроке целесообразно обсудить с учащимися первые два шага доказательства устно, а затем переформулировать задачу, чтобы не загромождать схему (ведь оба правила косвенные). Чтобы упростить построение дедуктивной схемы доказательстваудобнопереформулироватьзадачуследующимобразом: "ВтреугольникеАВС спрямымугломСпроведенымедианаибиссектрисаизвершиныА. Докажите, что биссектрисаимедиана, проведенныеизвершиныА, несовпадают". Далее следует записать задачу в привычном для учащихся виде "Дано… Доказать…". Затем полезно устно обсудить построение доказательства, и только после этого строить на доске (или с помощью компьютера) дедуктивную схему доказательства (рис. 13).

Мы не будем подробно останавливаться на том, каким образом можно организовать построение дедуктивной схемы доказательства (рис. 13). Процесс

79

построения дедуктивной схемы доказательства описан в разделе 2.3 этого параграфа на примере доказательства одного из свойств параллелограмма. Здесь мы отметим только, что в дедуктивной схеме на рис.13 присутствуют два ранее доказанных утверждения. Утверждение "Для любого треугольника, если совпадают его биссектриса и медиана, проведенные из одной вершины, то равны его стороны, исходящие из той же вершины" представляет собой уточнение (восстановлен квантор общности) утверждения, которое требуется доказать в задаче "Докажите, что если медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины треугольника, совпадают, то треугольник равнобедренный" [153, с. 53]. Второе утверждение "В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза не равна катету" является следствием теоремы о соотношениях сторон и углов треугольника [153, с. 57]. На уроке перед построением дедуктивной схемы (рис.13) целесообразно повторить с учащимися эти два утверждения.

Биссектриса и медиана, проведенные из вершины А, не совпадают

Рис. 13

После того как схема построена, целесообразно напомнить учащимся обозначения, которые используются в схеме, в частности сказать, что предложения, верные в силу определения, договариваемся заключать в рамки с точечной границей.

При решении рассмотренной задачи у учителя появляется возможность

80