Методика обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы. Монография

Степень детализации дедуктивной схемы доказательства (степень полноты) и порядок, в котором энтимемные переходы будут развернуты, зависят от цели урока и математической подготовки учащихся. Опишем один из возможных вариантов детализации дедуктивной схемы на рис. 19. Развернем наиболее значимый, на наш взгляд, энтимемный переход – переход (2).

1. Выясним, на каком основании сделан переход от неравенства (a b)2 4ab к не-

равенству a b 2 ab . Поскольку числа а и b – неотрицательные, то и произведение этих чисел неотрицательно. Кроме того, ранее доказано, что квадрат любого числа– числонеотрицательное, т.е. (a b)2 являетсянеотрицательнымчислом.

Таким образом, выполнены все условия теоремы: "Для любых х, у, если х ≥ 0, у ≥ 0, х ≥ у, то x ≥ y ". Это означает, что из обеих частей неравенства (a b)2 4ab можно извлечь квадратный корень, получив при этом верное неравенство (a b)2 4ab .

Таким образом, схема на рис. 19 будет преобразована в схему на рис. 20.

91

2. Далее, на наш взгляд, целесообразно развенуть переход (2г). Заметим, что вынесение числового множителя из-под знака корня обычно у учащихся трудностей не вызывает. Хуже дело обстоит с извлечением корня из квадрата некоторого выражения. Учащиеся часто забывают, что для произвольного х x2 x , считая, что всегда x2 x . Учителю необходимо подчеркнуть, что

только в том случае, когда х – неотрицательно, можно знак модуля опускать. Поскольку числа а и b – неотрицательные, то и сумма этих чисел неотрица-

следующей схеме (рис. 21).

92

a b 2 ab

1

Остальные переходы в дедуктивной схеме рассматриваемого доказательства, на наш взгляд, целесообразно развернуть устно.

2.3. Обучение анализу логической структуры доказательства учащихся 8-го класса с помощью дедуктивных схем

Теперь перейдем к описанию организации работы учащихся с текстом доказательства, приведенным в учебнике.

При анализе школьных учебников и пособий по геометрии наблюдается следующая закономерность. В доказательствах первых теорем курса планиметрии явно присутствуют ссылки на соответствующие аксиомы, определения и ранее доказанные теоремы. В дальнейшем в текстах доказательств многие из таких ссылок опускаются. Это представляется целесообразным, поскольку при восстановлении всех шагов и ссылок доказательства становятся громоздкими, многочисленные ссылки на ранее доказанные утверждения и определения заслоняют смысл доказательства, делают текст очень тяжёлым для чтения. Однако по мере изучения геометрии учащиеся должны научиться при необходимости восстанавливать опущенные в доказательстве из учебника шаги и ссылки на соответствующие аксиомы, определения и ранее доказанные теоремы. Но многие ли учащиеся могут выполнить такую работу без специального обучения? Более того, в учебниках зачастую опускаются промежуточные допущения, что делает для учащихся непосильным восстановление опущенных шагов.

93

(1)Пусть ABCD – данный ромб, О – точка пересечения его диагоналей.

(2)По свойству параллелограмма АО = ОС.

(3)Значит, в треугольнике АВС отрезок ОВ является медианой.

(4)Так как ABCD – ромб, то АВ = ВС и треугольник АВС – равнобедренный.

(5)По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к его

основанию, является биссектрисой и высотой.

94

(6) А это значит, что диагональ BD является биссектрисой угла В и перпендикулярна диагонали АС.

Прежде чем анализировать это доказательство, выявим логическую структуру доказываемого утверждения. Отметим, что в учебнике [7] доказываемая теорема разделена на два утверждения, вероятно по методическим соображениям. Уточним доказываемое утверждение, сделав следующее: соединим две части утверждения; восстановим опущенный квантор общности. Таким образом, получим следующее: "Диагонали всякого ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов". Полезно обратить внимание учащихся на то, что формулировка теоремы содержит два утверждения, и попросить сформулировать теорему в виде одного предложения (с помощью союза "и"). Затем учащимся можно предложить уточнить утверждение (восстановить кванторы). Чтобы помочь учащимся восстановить квантор общности (кванторные слова), полезно задать наводящий вопрос: "О каких ромбах идет речь в теореме: о конкретных или о произвольных?".

После того как утверждение уточнено, можно перейти к анализу приведенного доказательства. Первый раз такой анализ учителю полезно провести совместно с учащимися в форме фронтальной беседы. В дальнейшем, например, при изучении свойств прямоугольника и квадрата, такой анализ можно поручить одному из учащихся, помогаяемусоответствующиминаводящимивопросами.

В первом предложении (1) "Пусть ABCD – данный ромб, О – точка пересечения его диагоналей" происходит фиксирование произвольного ромба, которое демонстрирует, что подразумевается внешний квантор общности, хотя в доказываемом утверждении он был опущен. В первом предложении также вводится обозначение точки пересечения диагоналей зафиксированного (данного) ромба. Обсудить первое предложение с учащимися можно с помощью следующих вопросов.

1.Какой метод доказательства используется для доказательства утверждений вида "Любой объект некоторого множества обладает свойством А"? Используется метод доказательства общих утверждений, состоящий в следующем: если мы, зафиксировав произвольный объект рассматриваемого множества, докажем, что он обладает свойством А, то можем сделать вывод, что все объекты этого множества обладают свойством А.

2.Что достаточно обосновать согласно методу доказательства общих утвер-

95

ждений для доказательства утверждения "В любом ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами углов ромба"? Для того чтобы доказать это утверждение, достаточно зафиксировать произвольный ромб и доказать, что в этом ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

Второе предложение (2) "По свойству параллелограмма АО= ОС" представляет собой вывод из некоторых посылок. Восстановим предложения, которые опущены, но подразумеваются между первым и вторым предложениями текста, приведенного в учебнике. В предложении (2) упоминается свойство параллелограмма: "В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам", а в первом предложении фиксируется ромб. Не хватает еще одного предложения, позволяющего сделать вывод о том, что зафиксированный ромб является параллелограммом. Значит, пропущено предложение, верное в силу определения ромба: "Ромб– этопараллелограмм, укотороговсестороныравны".

Промоделируем восстановленную часть доказательства, отразив логическую связь между его членами в виде следующей дедуктивной схемы (рис. 23). Восстановленныедвашагарассуждениясделанысогласноправилучастногозаключения.

Перейдем к предложению (3) "Значит, в треугольнике АВС отрезок ОВ является медианой". Слово "значит" свидетельствует о том, что это предложение является следствием каких-то предложений. Однако ни в одном из предшествующих предложений не говорится о треугольнике, а это означает, что часть предложений в тексте опущена. Восстановим их. В треугольнике АВС точка О делит сторону АС пополам, т.к. AO = OC. По определению "медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий этувершинуссерединойпротиволежащейсторонытреугольника". Следовательно, отрезок ВО является медианой треугольника АВС. Вернемся к схеме и добавим восстановленнуючастьдоказательства(рис. 24.).

96

Напомним, что в рамки с двойной границей заключаем допущения, взятые согласно какому-либо косвенному правилу, или условия теоремы; в рамки с пунктирной границей – аксиомы или ранее доказанные утверждения; в рамки с точечной границей – предложения верные в силу определения.

Перейдем кпредложению(4) "Так какABCD – ромб, то АВ= ВСи треугольник АВС – равнобедренный". Это предложение содержит в себе два вывода – отрезки АВ и ВС равны; треугольник АВС – равнобедренный. Таким образом, здесь скрыто два шага рассуждения. Восстановим эти шаги и промоделируем соответствующую часть доказательства, отразив логическую связь между его членами на следующейсхеме(рис. 25).

В предложении (5) "По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к его основанию, является биссектрисой и высотой" автор явно указывает ранее доказанное утверждение.

Однако пропущено несколько шагов, в частности тот, на котором используется приведенное свойство равнобедренного треугольника. Кроме того, опущен и тот шаг, который предшествует предложению (6): "А это значит, что диагональ BD является биссектрисой угла В и перпендикулярна диагонали АС". Восстановим опущенныешаги(рис. 26).

97

Соединив построенные схемы в одну, получим следующее (рис. 27).

ВО – биссектриса угла В и ВО АС

98

Врезультате анализа доказательства из учебника [135], выяснилось, что часть предложений опущена, т.е. в учебнике приведено свернутое доказательство. Пропущенные предложения и шаги были восстановлены и построена дедуктивная схема доказательства (рис. 27). В процессе построения полезно обсудить с учащимися, на основании чего сделан каждый переход в схеме (каждый шаг доказательства). В логических переходах этой схемы используются правила частного заключения и удаления конъюнкции. Схемы этих правил можно отдельно выписать на доске и напомнить учащимся содержательный смысл этих правил.

Всхеменарис. 27 выделенопунктирнымистрелкамидваэнтимемныхперехода. Мы считаем, что целесообразно предложить учащимся самостоятельно развернуть эти переходы. Вобоих переходах "скрыто" использование правил: правила частного заключения и правила удаления конъюнкции. После того как энтимемные переходы в схеме обоснованы (развернуты), полезно обсудить с учащимися последние шагидоказательства, которыенеотраженывтекстедоказательства, предложенном

вучебнике[135], инеотраженывпостроеннойсхеме.

Вдоказательстве утверждения, которое мы рассматриваем, опущены два последних предложения. Напомним, что при уточнении доказываемого утверждения мы восстановили опущенный квантор общности следующим образом: "Диагонали всякого ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов". Доказательство проводилось методом доказательства общих утверждений, в соответствии с которым на первом шаге был зафиксирован произвольный ромб ABCD. Далее было проведено вспомогательное рассуждение, которое и представлено на рис. 27. Доказываемое утверждение логически следует (согласно правилу доказательства общих утверждений) из приведенного вспомогательного рассуждения.

Всистеме предложений, которая является доказательством некоторого утверждения, одним из членов системы должно быть само доказываемое утверждение. Точнее, доказываемое утверждение является заключительным членом доказательства (корнем доказательства в виде дерева). Отметим, что ни авторы учебников, ни учителя на уроке, а значит, и учащиеся, практически никогда не включают само доказываемое утверждение в текст в качестве последнего его члена. Это можно объяснить тем, что правила заключения позволяют свести за-

дачу о доказательстве некоторого утверждения к задаче о доказательстве друго-

99

го, более простого утверждения. В данном случае, задача о доказательстве общего утверждения о ромбах сведена к задаче о доказательстве утверждения о произвольно зафиксированном ромбе. В связи с этим в данном доказательстве отсутствует заключительное предложение: "Диагонали всякого ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов".

Кроме указанного предложения, в схеме не хватает предпоследнего предложения, а именно: "Диагонали ромба ABCD пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов". Дело в том, что рассуждение, представленное в виде схемы на рис. 27, является доказательством того, что диагональ BD – биссектриса угла В и ВD АС. Доказательство того, что "BD – биссектриса угла D", а также доказательство того, что "АС – биссектриса углов А и С", аналогичны приведенному рассуждению (достаточно заменить соответствующие буквы в приведенном доказательстве). Однако в учебнике отсутствует даже замечание о том, что аналогично можно доказать, что BD – биссектриса угла D и АС – биссектриса углов А и С. С учащимися полезно это обсудить. Например, можно предложить одному из учащихся заменить ВD на АС и провести опущенное аналогичное рассуждение. Однако в самой схеме мы считаем целесообразным не восстанавливать этот пропуск, чтобы не загромождать схему.

При построении на уроке дедуктивных схем доказательств мы считаем целесообразным использование компьютерных презентаций. Подробнее использование компьютера при обучении дедуктивной деятельности, в частности при обучении анализу логической структуры доказательств, будет описано в §4 этой главы. Здесь же отметим только, что использование компьютера позволит сэкономить время при построении дедуктивной схемы, а также даст возможность зафиксировать шаги построения этой схемы.

Подробный анализ логической структуры доказательства полезно провести несколько раз, выбирая доказательства, имеющие относительно простую логическую структуру. Считаем, что в дедуктивной схеме не всегда целесообразно раскрывать энтимемные переходы, которые можно обсудить устно (как, например, в приведенномвыше примере).

100