Методика обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы. Монография

§3. Использование дедуктивных задач при обучении доказательству учащихся основной школы

При обучении учащихся дедуктивной деятельности целесообразно использовать специальные задачи, направленные на формирование понятия доказательства и на обучение дедуктивной деятельности. Нами разработан комплекс задач, названных дедуктивными задачами. В этом параграфе приведены примеры дедуктивных задач, классификация этих задач и методические рекомендации по их использованию в обучении учащихся дедуктивной деятельности.

3.1. О роли и функциях задач в обучении доказательству

Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой усваивается система математических знаний, умений и навыков, является решение задач. Именно задачи являются средством, которое в значительной степени направляет и стимулирует учебно-познавательную активность школьников.

В методической литературе получила распространение классификация задач, в которой каждый тип задач соотносится с компонентами учебной деятельности: ор- ганизационно-действенным, стимулирующим и контрольно-оценочным. Например, Г.И. Саранцев отмечает, что "в зависимости от конкретизации учебной деятельности классификация будет наполняться конкретным содержанием: 1) задачи, стимулирующие усвоение знаний, умений и навыков; 2) задачи, в процессе решения которых осуществляется усвоение знаний, умений и навыков; 3) задачи, контролирующиеусвоениезнаний, уменийинавыков" [146, с. 135].

В.И. Крупич [86] считает, что понятие задачи включает в себя любое упражнение, вопрос, теорему, любое задание, требующее осуществления какоголибо познавательного акта, любой учебный текст, подлежащий усвоению.

Мы будем следовать трактовке понятия задачи, данной В.И. Крупичем. Однако нам удобно разделить понятия задача и вопрос. Вопросы имеют те же функции, что и задачи, но отличаются от задач специфической формулировкой и возможностями использования в процессе обучения: чтобы ответить на вопросы, совсем не требуется никаких вычислений, построений и т.п., но зато необходимо глубокое понимание основных понятий и теорем. Вопросы играют большую роль в обучении. Особенно важными являются вопросы, способствующие более глубокомунеформальномупониманиюизучаемогоматериала.

Для повышения эффективности формирования дедуктивной деятельности

101

учащихся или, используя более традиционный термин, обучения доказательству учащихся, предлагаем специально разработанные нами логикоориентированные задачи и вопросы, направленные на формирование дедуктивной деятельности и способствующие вовлечению учащихся в эту деятельность. Такие задачи мы назвали дедуктивными задачами, а вопросы – дедук-

тивными вопросами.

Комплекс разработанных нами дедуктивных задач и вопросов содержит задачи, способствующие формированию понятия доказательства; выявлению логической структуры доказательств, в частности логических взаимосвязей между членами, статуса исходных предложений; выявлению связи понятия доказательства с такими понятиями, как аксиома, теорема; формированию наглядного образа логической структуры изучаемого доказательства в виде дедуктивной схемы.

Отметим, что к дедуктивным задачам мы не будем относить так называемые логические задачи, которые обычно носят занимательный характер. Однако использование таких задач при обучении учащихся дедуктивной деятельности мы считаем полезным.

3.2.Примеры дедуктивных задач и вопросов и рекомендации по их использованию в обучении

Для примеров дедуктивных задач и вопросов в качестве геометрического материала мы выбрали тему "Треугольники" из учебника Л.С. Атанасяна [7]. Приведем примеры типичных дедуктивных задач.

Задача1. Укажите, согласно каким правилам доказательства построено доказательствоутверждения"Любаяточкаперпендикуляраm котрезкуAB, проходящегочерез точкуО– серединуотрезкаAB, равноудаленаотконцовэтогоотрезка".

Доказательство. "Рассмотрим произвольную точку М прямой m и докажем, что АМ=ВМ. Допустим, что точка М совпадает с точкой О, тогда АМ=ВМ, так как О– серединаотрезкаAB. Допустим, чтоМиО– различныеточки. Прямоугольные треугольники ОАМ и ОВМ равны по двум катетам, следовательно, АМ=ВМ. Итак, доказано, чтоточкаМ, лежащаянапрямойm, равноудаленаотконцовотрезкаАВ.

Таким образом, любая точка перпендикуляра m к отрезку AB, проходящего через точку О – середину отрезка AB, равноудалена от концов этого отрезка". Ответ: используются правила доказательства общих утверждений и дока-

зательства разбором случаев.

102

Основная особенность формулировки этой задачи заключается в том, что предлагаемый текст доказательства должен содержать предложения, указывающие на использование какого-либо метода доказательства. Например, в приведенном доказательстве предложение "Рассмотрим произвольную точку М прямой m и докажем, что АМ=ВМ" указывает на шаг, сделанный согласно правилу доказательства общих утверждений.

Задача 2. В приведенном доказательстве утверждения "Каким бы ни был равнобедренный треугольник, если один из его углов равен 60 , то треугольник является равносторонним", выявите исходные предложения и укажите, в каком качестве они присутствуют, подчеркнув эти предложения соответствующей линией: допущение; предложение, верное в силу определения; аксиома или ранее доказанная теорема. Каждому допущению присвойте свой номер и укажите соответствующее косвенное правило.

Комментарий. Далее для экономии места входящий в условие задачи текст доказательства не приводим. Приведем только решение задачи, представляющее собой фрагмент доказательства, в котором каждое исходное предложение уже подчеркнуто соответствующей линией.

Решение. Для того чтобы доказать данное утверждение, достаточно, взяв произвольный равнобедренный треугольник и допустив, что один из его углов равен 600, доказать, что этот треугольник равносторонний.

Пусть АВС – произвольный равнобедренный треугольник (1). Допустим, что один из углов треугольника АВС равен 60 (2). Тогда угол при основании треугольника АВС равен 60 или угол при вершине треугольника АВС равен 60 . Рассмотрим каждый из этих случаев.

1.Допустим, угол при основании равнобедренного треугольника АВС равен 60 (3). В любом равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, другой угол при основании треугольника АВС также равен 60 . Сумма углов любого треугольника равна 180 . Получаем, что третий угол треугольника АВС также равен 60 , а значит, в треугольнике АВС все углы равны. Треугольник, у которого все углы равны, – равносторонний. Следовательно, в этом случае треугольник АВС является равносторонним.

2.Допустим, угол при вершине треугольника АВС равен 60 (4). Сумма уг- лов любого треугольника равна 180 . Следовательно, сумма углов при осно-

103

вании треугольника АВС равна 120 . В равнобедренном треугольнике углы

при основании равны. Следовательно, каждый угол равен 60 , а значит, в треугольнике АВС все углы равны. Таким образом, и в этом случае треугольник АВС является равносторонним.

Значит, влюбомслучаетреугольникАВС– равносторонний. Теоремадоказана. Ответ на вопрос: Допущение 1 принято согласно правилу доказательства общих утверждений; допущение 2 – согласно правилу доказательства введением вспомогательной гипотезы; допущения3 и 4 – согласно правилу доказательства

разбором случаев. Использовать такие задачи мы предлагаем на уроках закрепления знаний:

поскольку учащиеся уже знакомы с приведенными в этих задачах рассуждениями, целесообразно сместить акцент с содержания рассуждения на его логическую структуру. Решение задач по выявлению исходных предложений в полном тексте доказательства способствует усвоению учащимися того, как устроено доказательство и формированию понятия доказательства, а также позволяет выявить связь рассматриваемой теоремы с другими теоремами, доказанными ранее.

Задача 3. В приведенном далее тексте содержатся пропуски. Заполните эти пропуски так, чтобы получилось доказательство утверждения "Если в треугольнике АВС С > В, то АВ > АС". Укажите, согласно каким правилам построения доказательства сделан каждый шаг в этом доказательстве.

Комментарий. Далеедляэкономииместанеприводимвходящийвусловиезадачитекстдоказательстваспропусками. Приведемтолькорешениезадачи, представляющеесобойфрагментдоказательства, вкоторомвсепропускизаполнены. Чтобыбылоясно, чтоименновставленонаместапропусков, всевставкиподчеркнуты.

Решение. Допустим, чтовтреугольникеАВС С> В. Докажем, чтоАВ> АС. Возможны три случая: или АВ > АС, или АВ = АС, или АВ < АС. Для того чтобы доказать, что АВ > АС, достаточно показать, что другие два случая невозможны. Докажем: неверно, что АВ = АС, и неверно, что АВ < АС.

1. Допустим, что АВ = АС. Тогда треугольник АВС равнобедренный. Поскольку в любом равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то С = В. Следовательно, неверно, что С > В. Получили противоречие с

104

допущением С > В. Следовательно, неверно, что АВ = АС.

2. Допустим, что АВ < АС. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Значит, С < В, т.е. неверно, что С > В. Получили противоречие с допущением С > В. Следовательно, неверно, что АВ < АС. Итак, неверно, что АВ = АС, и неверно, что АВ < АС. Значит, АВ > АС.

Такимобразом, доказали, чтоесливтреугольникеАВС С> В, тоАВ> АС. Ответ на вопрос о правилах. В рассуждении используются: правило доказательства введением вспомогательной гипотезы, правило доказательства исключением случаев, правило доказательства приведением к нелепости, правило частного заключения. Аналогичные задачи удобно использовать для повторения теоретического ма-

териала. Более того, эти задачи позволят продемонстрировать учащимся, какие посылкичастоопускаютсяврассуждении, например, приведенномвучебнике. Отметим, что при составлении такой задачи учителю желательно сначала дополнить выбранное рассуждение предложениями, которые традиционно опускаются (например, если текст взят из учебника), а затем выбрать слова (словосочетания, предложения), которые в задаче заменяются на пропуски, для того чтобы учащиеся их заполнили в процессе решения задачи. Отметим, что задачи с пропусками предложены во многих дидактических материалах, однако в этих задачах пропуски имеют другой характер (не дедуктивный) и направлены на отработку других навыков и умений. Обычно задачи с пропусками используются для закрепления или коррекции знаний учащихся. Считаем полезным при закреплении знаний учащихся использовать комбинированные задачи, сочетающие пропуски дедуктивного характера с другими видами пропусков.

Кроме дедуктивных задач, считаем целесообразным использовать в обучении математике специальные логико-ориентированные вопросы, позволяющие акцентировать внимание учащихся на логической составляющей процесса построения доказательства. Такие вопросы названы нами дедуктивными вопросами. Приведем примеры дедуктивных вопросов.

Вопрос 1. Какие первые предложения доказательства утверждения "Не существует треугольника, у которого два угла прямые" определяются логической структурой этого утверждения?

105

Ответ: "Допустим, что существует треугольник, у которого два угла прямые, и покажем, что это приводит к противоречию. Пусть треугольник АВС имеет два прямых угла".

Вопрос 2. Какоеутверждениеявляетсяследствиемприведенногодалеерассуждения исогласнокакомуправилупостроениядоказательстваонополучено?

"Пусть АВС – произвольный равносторонний треугольник. С одной стороны, АВС – равнобедренный треугольник с основанием ВС, и по свойству равнобедренного треугольника В = С. С другой стороны, АВС – равнобедренный треугольник с основанием АВ, и по свойству равнобедренного треугольника В = А. Таким образом, в треугольнике АВС А = В = С. Сумма углов любого треугольника равна 180 , а значит, в треугольнике АВСА + В + С = 180 . Значит, каждый угол треугольника АВС равен 60 ". Ответ: "В любом равностороннем треугольнике все углы равны 60 ". Это предложение является следствием приведенного рассуждения согласно правилу доказательства общих утверждений.

Вопрос 3. Как следует завершить фразу: "Для того чтобы доказать, что угол при основании равнобедренного треугольника АВС не может быть прямым, согласно методу доказательства приведением к нелепости, достаточно …"? (Ответ: "Допустить, что угол при основании равнобедренного треугольника АВС прямой и показать, что это приводит к противоречию").

Приведенные и аналогичные им вопросы полезно ставить перед учащимися при доказательстве практически всех утверждений. Например, при изучении нового утверждения в форме фронтальной беседы полезно задавать учащимся вопросы – аналоги пропусков. В дальнейшем это позволит учащимся осознанно использовать логические эвристики при самостоятельном конструировании доказательства.

3.3. Классификация дедуктивных задач

Проведем классификацию дедуктивных задач, основу которой составляет характер требования в задаче.

I. Задачи на распознавание правил доказательства (прямых или косвенных) в данном доказательстве или фрагменте доказательства.

При решении задач этого типа возникает необходимость проанализировать данное рассуждение (может быть неэлементарное) и выявить дедуктивные

106

средства, с помощью которых построено рассуждение. Например, в задаче 1 для установления правил, согласно которым сделаны шаги приведенного доказательства, требуется проанализировать это доказательство.

Задачи первого типа направлены на усвоение правил доказательства, формирование навыков анализа логической структуры рассуждения, а также способствуют развитию дедуктивной рефлексии учащихся. Такие задачи полезно использовать для закрепления изучаемых правил доказательства при повторении геометрического материала.

II. Задачи на восстановление посылок; задачи на выведение заключения из заданных предложений.

Отметим, что задачи II типа приводились ранее в методической литературе (см., например, [149]). Эти задачи направлены на усвоение прямых правил доказательства. Задачи этого типа, на наш взгляд, целесообразно использовать только при изучении того или иного правила построения доказательства. III. Задачи на определение статуса предложений – членов доказательства.

Эти задачи (например, задача 2) способствуют усвоению понятия доказательства. Умение анализировать доказательство с целью выяснения, на каком основании присутствует то или иное предложение в доказательстве, является одним из ключевых умений при формировании понятия доказательства.

Использовать задачи этого типа полезно при изучении нового материала, поскольку у учителя есть возможность продемонстрировать связь доказываемой теоремы с теоремами, доказанными ранее.

IV. Задачи на восстановление пропусков в доказательстве.

К задачам этого типа относится задача 3. Дедуктивные задачи, в которых требуется восстановить пропущенные слова, можно различать по характеру пропусков: задачи на восстановление какой-то из посылок в элементарных рассуждениях; задачи на восстановление пропущенных допущений; задачи на восстановление выводов из данных предложений и/или вспомогательных рассуждений; задачи на восстановление служебных слов (таких как пусть, допустим, следовательно и т.п.). Полезны также задачи с комбинированным типом пропусков.

Использование этих задач целесообразно в следующих случаях. Если учащиеся знакомы с доказательством – при повторении изученного материала, а также на уроках коррекции знаний учащихся. Если жеучащиесяне знакомы с доказательст-

107

вом– присамостоятельнойработепозакреплениюполученныхзнаний.

V. Задачи на выявление логической структуры доказательства или его фрагментов (например, построением дедуктивной схемы).

Задачи этого типа способствуют более глубокому пониманию рассматриваемого доказательства и направлены на формирование понятия доказательства и развитие логико-дедуктивной рефлексии учащихся.

VI. Задачи на распознавание правильности рассуждений.

К VI типу мы относим задачи, в которых требуется установить, является ли приведенное рассуждение правильным, и задачи, связанные с поиском логических ошибок в приведенном рассуждении и объяснением сути этих ошибок. Использованию в обучении учащихся задач этого типа посвящено немало исследований. Такие задачи приведены, например, в [54], [126].

VII. Логико-ориентированные задачи на построение доказательства.

Такназываемыезадачинадоказательство, притрадиционномподходеких решению, вообщеговоря, неявляютсялогико-ориентированными. Однакосмещениеакцентовссодержательнойсоставляющейрассуждениянаегологическуюсоставляющуюпревращаетзадачунадоказательствовдедуктивнуюзадачу. Нами разработанонесколькотиповвопросов(дедуктивныхвопросов), позволяющихакцентироватьвниманиеучащихсяналогическойсоставляющейпостроениядоказательства.

Среди дедуктивных вопросов можно выделить вопросы трех типов.

1.Вопросы на построение (восстановление) начала доказательства.

Квопросамэтоготипаотносятсявопросы, направленныенаформированиена- выковлогико-эвристическойдедуктивнойдеятельностиучащихся(например, вопрос1). Здесьакцентделаетсянаумениесоздаватьподробныйтекстдоказательства. Учащимсяпредлагается записатьпредложения, которыевучебникахобычноопускают, но, темнеменее, подразумевают[101]. Взависимостиоттого, знакомылиучащиесясдоказательствомприведенногоутверждения, определяется основнаяцельэтоговопроса. Еслиучащиесязнакомысдоказательствомтеоремы, тотакоготипавопросынаправленынаумениевосстановитьтрадиционно опускаемыепервыепредложениявтекстедоказательства. Еслиучащиесянезнакомысдоказательствомэтойтеоремы, товопроснаправленнаформирование уменияиспользоватьлогическиеэвристикиприпостроениипервыхшаговдока-

зательства.

108

2.Вопросы на выведение заключения из заданных предложений и/или вспомогательных рассуждений.

Мы считаем целесообразным использовать задачи, способствующие усвоению не только прямых (задачи II типа), но и косвенных правил доказательства (например, вопрос 2). Однако такую задачу полезно сформулировать в форме вопроса и задавать его после того, как с учащимися построен соответствующий фрагмент доказательства.

Вопросыуказанноготипанаправленынаусвоениеправилдоказательстваи развитиедедуктивнойрефлексии. Этивопросытакжеспособствуютформированиюнавыкавосстановленияопущенныхпредложенийвконцедоказательства.

3.Вопросы на сведение задачи на доказательство данного утверждения к более простой задаче (более простым задачам) на доказательство.

Вопросы этого типа направлены на усвоение учащимися логических эвристик (о логических эвристиках см. [166]) и умение использовать эти эвристики при построении доказательств (например, вопрос 3). Сформулированные учителем наводящие вопросы такого типа полезно использовать на уроке при построении доказательства совместно с учащимися.

Поскольку в процессе обучения геометрии большая доля решаемых задач приходится на задачи на доказательство, считаем целесообразным при коллективном решении этих задач на уроке использовать дедуктивные вопросы. Это позволит непрерывно контролировать, а в дальнейшем корректировать знания учащихся, относящиеся к логической составляющей доказательства. Боле того, как уже было отмечено, дедуктивные вопросы направлены на формирование навыков использования логических эвристик при построении доказательства.

Приведенная классификация дедуктивных задач и вопросов не единственна, например, можно проводить классификации по форме представления задания: текстовая, с использованием дедуктивных схем доказательства, смешанная. Но именно приведенные классификации позволяют подбирать дедуктивные задачи и вопросы для организации дедуктивной деятельности соответствующего вида. Здесь мы приводим только текстовую форму представления задания. Отметим, что все приведенные задачи и вопросы также можно сформулировать с использованием соответствующих дедуктивных схем.

109

Наш опыт показывает, что использование специально разработанных логи- ко-ориентированных задач и вопросов (т.е. дедуктивных задач и вопросов) при обучении дедуктивной деятельности на уроках геометрии, способствует повышению эффективности этого обучения (см., гл. 2 §5).

§4. Использование компьютера в обучении доказательству

В современном обществе влияние информационных технологий распространяется на все сферы деятельности человека, и в том числе на сферу образования. Роль информационных технологий в образовании в настоящее время заметно растет. Информационные образовательные технологии предполагают использование различныхтехническихсредств, средикоторыхцентральноеместозанимаеткомпьютер.

Мультимедийные компьютерные технологии позволяют заменить почти все традиционные в прежние десятилетия технические средства обучения. С помощью компьютера могут быть визуализированы как реальные, так и абстрактные объекты и явления.

На уроках математики с помощью компьютера обычно происходит построение графиков, чертежей, изображений тел и их комбинаций и т.д., то есть объектов, которые сами по себе являются средствами наглядности. Но насколько указанное использование компьютера позволяет сделать более понятным доказательство? Логическая структура доказательства при этом не становится для учащихся более ясной, а шаги доказательства не становятся более понятными.

Известно, что с помощью компьютера можно визуализировать не только физические процессы и процессы конструирования традиционных математических объектов, например графиков, изображений тел и др. Можно ли с помощью информационных технологий реализовать принцип наглядности в процессе поиска и конструирования доказательств? Как можно сделать логическую структуру доказательства наглядной? Нам удалось с помощью компьютера визуализировать процесс конструированиядоказательства.

Использование средств естественного вывода при обучении доказательству открывает широкие возможности в обучении поиску и построению доказательств. Формализация элементарных рассуждений в виде правил доказательства позволяет выявлять шаги доказательства, что дает возможность проследить и зафиксировать ход рассуждения при поиске доказательства.

Приложение Power Point позволяет учителю самостоятельно подготовить

110