Методика обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы. Монография

еще раз обратить внимание учащихся на древовидную структуру доказательства и на то, что каждый шаг в доказательстве сделан согласно какому-то логическому правилу.

Уточнить понятие доказательства целесообразно в 8-м классе при изучении темы "Параллелограмм" в первой учебной четверти. Выбор этой темы можно объяснить тем, что доказательства утверждений о параллелограммах имеют достаточно простую логическую структуру и все используемые в рассуждениях правила доказательства знакомы учащимся.

Прежде чем уточнять понятие доказательства, полезно сначала разобрать построение дедуктивной схемы доказательства, которое имеет достаточно простую логическую структуру. Затем можно проанализировать построенную дедуктивную схему (выявить, на основании чего сделан каждый переход, а также

цесс построения дедуктивной схемы доказательства. Процитируем утверждение и его доказа- Рис. 14. тельство из учебника Л.С. Атанасяна и др. [7].

Утверждение1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство. Пусть точка О – точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограммаABCD (рис.14). ТреугольникиАОВиCOD равныпосторонеидвум прилежащим углам (АВ= CD как противоположные стороны параллелограмма,1 = 2 и 3 = 4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и ВD соответственно). Поэтому АО= ОС и ВО= ОD, чтоитребовалосьдоказать[7, с. 97].

Прежде чем сформулировать какие-либо рекомендации, напомним, что мы не ставим перед собой цели полностью описать работу учителя с учащимися над этим утверждением и его доказательством. Наша цель – показать, как построить дедуктивную схему доказательства этого утверждения и как с помощью построенной схемы уточнить понятие доказательства. Отметим также, что мы ориентируемся на то, что учитель использует компьютер на этом уроке.

81

При формулировке этой теоремы на уроке следует восстановить внешний квантор общности: "В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам". Далее полезно вспомнить, как доказывают общие утверждения. После обсуждения с учащимися первого шага доказательства целесообразно на доске сделать чертеж к этой задаче (рис. 14) и записать: "Пусть ABCD – произвольный параллелограмм и О – точка пересечения его диагоналей AC и BD. Докажем, что АО = ОС и ВО = ОD". При этом объяснить учащимся, что как только будет доказано равенство указанных отрезков, согласно правилу доказательства общих утверждений мы сможем сделать вывод, что в любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Итак, задача сведена к доказательству равенства двух отрезков. Обычно равенство отрезков получается как следствие равенства треугольников, содержащих эти отрезки, поскольку в равных треугольниках соответствующие элементы равны. Мы не будем останавливаться на том, как к этому подвести учащихся и каким образом выбрать треугольники, равенство которых достаточно доказать (в данном случае достаточно доказать равенство треугольников АОВ и COD). В процессе обсужденияэтогошагарассужденияпоявляетсяследующаячастьсхемы(рис. 15).

Рис. 15. АО = ОС и ВО = ОD

После построения схемы (рис.15) учащимся полезно напомнить, что шаг сделан согласно правилу частного заключения.

Теперь задача сведена к доказательству равенства треугольников:АОВ= COD. Каким образом учитель подведет учащихся к тому, что это равенство доказывается с помощью второго признака равенства треугольников, мы комментировать не будем. Однако отметим, что в данном случае полезно напомнить учащимся, что АВCD – параллелограмм, и предложить им самостоятельно найти в треугольниках АОВ и COD равные элементы. Дальнейшее доказательство можно отразить двумя схемами на рис. 16 и рис.17.

82

АВ = CD и AD = CB

Схема на рис.16 достаточно простая, поэтому прокомментируем только построение схемы на рис.17. Для удобства мы пронумеровали предложения, фигурирующие в схеме на рис.17.

Построение рассуждения, представленного схемой на рис.17, зависит от того, как учитель проводит доказательство. Если доказательство проводится в форме фронтальной беседы, то построение зависит от того, что в первую очередь предложили учащиеся. Допустим, что кто-то их учащихся обратил внимание на равенство углов 1 и 2, 3 и 4. Тогда построение схемы начнется с предложения (1). Далее, при выяснении того, почему указанные углы равны, появится предложение (3) и предложение (2).

Следует отметить, что утверждение " 1 и 2, 3 и 4 – внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и ВD соответственно" на самом деле содержит с себе два утверждения, соединенных логическим союзом "и": углы 1 и 2, 3 и 4 – внутренние накрест лежащиеуглы припересечениипрямыхАВи CD секущимиАСи ВD соответственно и прямые АВ и CD параллельны. Для того чтобы обосновать предложение (3) следует обосновать указанные два утверждения по отдельности (в схеме на рис. 17 этот переход свернут, поэтому стрелка от предложения (4) к предложению (3) – пунктирная).

83

6

5

АВ || CD и AD || CB

4

АВ || CD

1 = 2, 3 = 4 1

Рис. 17.

Порядок появления предложений в ходе построения схемы на рис.17, безусловно, не однозначен. Поскольку при построении схемы с помощью компьютера достаточно трудно ориентироваться на ход решения, который могут предложить учащиеся, учителю необходимо направлять учащихся с помощью наводящих вопросов. Если же схема строится на доске, то можно ориентироваться на то, что предлагают учащиеся.

После того как рассматриваемые две схемы построены, можно вернуться к схеме на рис. 15 и достроить оставшуюся часть. Равенство треугольников доказывается по второму признаку: "Каковы бы ни были два треугольника, если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого, то такие треугольники равны". При этом доказываются равенства: АВ = CD, 1 = 2, 3 = 4. В результате получаем следующую дедуктивную схему доказательства (рис. 18).

На рис.18 представлена краткая дедуктивная схема, энтимемные переходы которой, отраженные пунктирными стрелками, раскрыты в схемах рис.16 и рис.17 соответственно. Схема на рис.18 может быть построена учителем на доске. Желательно, чтобы схемы рис.16 и рис.17 также остались на доске. Если учитель использует компьютер, то вместо пунктирных стрелок можно вставить соответствующиесхемы.

84

Обычно текст доказательства записывается учащимися в тетрадь. В данном случае возможны следующие варианты по усмотрению учителя:

можно записывать текст параллельно с построением дедуктивной схемы (в этом случае учителю полезно явно произносить предложения, которые учащиеся должны записать);

можно записыватьтекстпослепостроениядедуктивнойсхемыдоказательства(еще раз проговорив ход рассуждения и указав, какие предложения должны быть записаны);

можно не записывать текст доказательства, а прокомментировать после построения схемы тот текст, который предложен в учебнике.

Особо отметим, что мы не считаем целесообразным требовать от учащихся построение дедуктивной схемы этого доказательства в тетради. Полезно после обсуждения записи текста доказательства раздать учащимся заранее приготовленные листы с дедуктивной схемой (лучше всего с полной схемой) для дальнейшего анализа этой схемы.

85

Итак, после того как утверждение о свойстве параллелограмма доказано, учителем построена дедуктивная схема и учащимися записан текст доказательства, можно перейти к анализу построенной дедуктивной схемы, а затем приступить к уточнению понятия доказательства. Анализ дедуктивной схемы доказательства и последующее уточнение понятия доказательства с учащимся можно провести по следующему плану.

1.Выявить те предложения – члены доказательства, которые являются следствиями предшествующих предложений или вспомогательных рассуждений по правилам доказательства. Обсудить правила доказательства, которые использовались при построении доказательства (можно обозначения правил подписать около соответствующих стрелок в схемах).

2.Выявить ранее доказанные утверждения (или аксиомы), которые используются в построенном доказательстве (в построенной дедуктивной схеме). Выявить предложения, верные в силу определений. Для того чтобы в схеме отразить статус исходных предложений, можно использовать различные границы рамок, в которые они заключены, или разную окраску внутренней области, если используется компьютер.

3.Рассмотреть остальные предложения (т.е. не являющиеся ни следствиями предшествующих предложений, ни ранее доказанными теоремами, ни предложениями, верными в силу определений). В рассматриваемом рассуждении осталось одно такое предложение: "ABCD – произвольный параллелограмм, О

– точка пересечения его диагоналей AC и BD". Это предложение принято в качестве допущения при использовании правила доказательства утверждений об общности. После обсуждения статуса этого предложения рамка, в которую оно заключено, выделяется цветовой заливкой или форматом границы.

4.С учащимися следует обсудить статус предложения "Рассмотрим треугольники АОВ и COD". На наш взгляд, необходимо разъяснить учащимся, что в тексте учебника или при записи доказательства учителем (учащимся) часто появляются пояснительные (служебные) слова и предложения. Эти слова и предложения позволяют записать связный текст или комментируют (поясняют) что-либо в рассуждении. К служебным словам относятся слова:

допустим, пусть (свидетельствующие о допущениях),

следовательно, значит (свидетельствующие о логическом переходе),

86

зафиксируем, рассмотрим, возьмем (свидетельствующие о фиксировании произвольного объекта) и т.д.

Часто присутствуют комментарии, поясняющие чертеж или объясняющие то, какие фигуры далее будут рассматриваться. Целесообразно обратить внимание учащихся, что в построенной дедуктивной схеме доказательства служебные слова и предложения отсутствуют.

5. Теперь можно перейти к уточнению понятия доказательства, поскольку учащиеся уже подготовлены к его восприятию.

Далее мы следуем описанию доказательства и определению доказательства в видедерева, предложеннымИ.Л.Тимофеевойв[163, 169].

После проведения анализа дедуктивной схемы доказательства учитель может озвучить следующее определение доказательства в виде дерева.

Под доказательством в виде дерева будем понимать упорядоченную в виде дерева систему предложений, в которой каждое исходное предложение является или аксиомой, или предложением, верным в силу определения, или промежуточным допущением, а каждое из остальных предложений следует по какому-либо логическому правилу из непосредственно предшествующих ему предложений и/или вспомогательных рассуждений [169].

Затем полезно проиллюстрировать это определение с помощью построенной схемы. Следует обратить внимание учащихся на то, что в качестве исходных предложений в построенной схеме выступают еще и ранее доказанные теоремы, и пояснить, что при необходимости мы можем восстановить их доказательства, исходящие из аксиом. Кроме этого, следует отметить, что часто в задачах на доказательство присутствует условие, исходя из которого требуется доказать некоторое утверждение. Это условие целесообразно рассматривать как допущение (хотя, по сути, они таковыми не являются). Действительно, если переформулировать утверждение в виде "Если…, то…" и сделать первый шаг доказательства согласно методу доказательства введением вспомогательной гипотезы (см. §3 гл. 1), это условие будет принято в качестве допущения.

Мы считаем, что не следует требовать, чтобы учащиеся заучивали приведенное определение доказательства в виде дерева. Однако они должны понимать, что в доказательстве должны быть исходные предложения, и знать, какие предложения могут служить исходными, а также осознавать, что все переходы в доказательстве делаются согласно правилам построения доказатель-

87

ства. Полезно учащимся разъяснить, почему в обычных доказательствах среди исходных предложений присутствуют также ранее доказанные теоремы.

После обсуждения с учащимися определения доказательства в виде дерева целесообразно разъяснить им, что построенная схема – это одна из возможных форм представления доказательства в виде дерева, которую удобно использовать вкачестведополнениякобычнойформезаписидоказательстваввидетекста.

Доказательство обычно представляет собой текст, удовлетворяющий определенным условиям. Предложения, из которых этот текст составлен (члены доказательства), логически взаимосвязаны друг с другом. Каждый шаг построения доказательства, т.е. переход к очередному предложению, происходит в соответствии с некоторым логическим правилом. Заключительным в тексте является доказываемое утверждение.

В доказательстве должны быть предложения, которые не являются следствиями предыдущих предложений или вспомогательных рассуждений – так называемые исходные предложения. В качестве исходных предложений могут выступать аксиомы той математической теории, в рамках которой проводится доказательство. Исходными могут быть и предложения, верные в силу определения. К исходным предложениям относятся также промежуточные допущения. Они играют вспомогательную роль в доказательстве. Допущения возникают при использовании косвенных методов доказательства. Именно в косвенных доказательствах принимаются промежуточные допущения, из которых исходят вспомогательные рассуждения.

Сущность доказательства заключается в том, что каждое его предложение

– член доказательства, за исключением исходных, следует по какому-либо прямому правилу из предшествующих ему предложений или по какому-либо косвенному правилу из предшествующих вспомогательных рассуждений и, быть может, предложений [169].

Итак, для усвоения сущности понятия доказательства учащиеся должны понимать, что:

1)математические рассуждения бывают – прямые и косвенные. В косвенных рассуждениях вывод делается не из предложений, как в прямых, а из вспомогательных рассуждений и, быть может, предложений;

2)члены математического доказательства делятся на исходные предложения

и предложения, которые являются следствиями предшествующих;

88

3)исходнымипредложениямивдоказательствемогутбыть: допущения, аксиомы илиранеедоказанныетеоремы, предложения, верныевсилуопределения;

4)в полных математическихдоказательствах каждый шаг делается согласно некоторому логическому правилу. Однако обычно приводятся свернутые доказательства – несколько логических шагов сворачиваются в один, при этом некоторые предложения опускаются (чаще всего ранее доказанные теоремы или предложения верные в силу определения).

При формировании дедуктивной деятельности учащихся в целом, и при формировании понятия доказательства в частности, помимо дедуктивных схем мы предлагаем использовать также комплекс специально разработанных нами дедуктивныхзадач, направленныхнаусвоениепонятиядоказательства(см. §3 этойглавы).

Следующий этап в формировании понятия доказательства у учащихся – обучение учащихся работе с доказательствами из учебника. На этом этапе, на наш взгляд, необходимо сформировать у учащихся готовность к восстановлению опущенных шагов в доказательствах, приведенных в учебнике. Каким образом можно организовать анализ доказательств из учебника, описано

вследующем разделе этого параграфа.

2.2. Методические особенности использования дедуктивных схем при построении доказательств

Прииспользованиипредставлениядоказательстваввидедедуктивнойсхемыочень важно, какимобразомучащимсябудетпредставленадедуктивнаясхема. Считаем, что дедуктивнаясхема доказательствадолжна появляться перед учащимися не в готовом виде, а по шагам в процессе построения доказательства. Более того, сначала (при обсуждении с учащимися идеи доказательства) целесообразно построить краткую дедуктивную схему доказательства, а затем некоторые переходы в построенной схеме можно"развернуть". Выборпереходов, которыецелесообразноразвернуть, зависитот цели урока и математической подготовки учащихся. Кроме того, использованиекомпьютеранаурокедаетвозможностьужепостроеннуюкраткуюсхемупреобразоватьв болееполнуюдедуктивнуюсхему. Подробнееобиспользованиикомпьютераприпостроениидедуктивныхсхемнаписанов§4 этойглавы.

Проиллюстрируем сказанное на примере доказательства следующего утверждения из курса алгебры: "Среднее геометрическое двух неотрицательных чисел не превосходит их среднего арифметического".

Сначала учитель записывает на доске, а учащиеся в тетради, что дано и что

89

требуется доказать: "Дано: а 0 и b 0. Доказать: a 2 b ab ". Затем целесооб-

разновформефронтальнойбеседыобсудитьсучащимисяидеюдоказательства: 1) для того чтобы доказать неравенство a 2 b ab , достаточно доказать нера-

венство a b 2 ab ;

2) для того чтобы доказать неравенство a b 2 ab , достаточно доказать неравенство (a b)2 4ab (для обоснования этого перехода потребуется условие "числа а и b – неотрицательны"; позже именно этот переход считаем необходимым подробно обсудить с учащимися);

3) для того чтобы доказать, что (a b)2 4ab , достаточно доказать, что разность (a b)2 4ab неотрицательна;

4) используя формулы сокращенного умножения и равносильные преобразования, получаем, что разность (a b)2 4ab равна (a b)2 , а значит, является неотрицательным числом (на уроке эти преобразования на доске можно не записывать, достаточнопопроситьучащихсяпровестиихусебявтетради).

Во время обсуждения на демонстрационном экране по шагам (соответствующие переходы пронумерованы) появляется дедуктивная схема, представленная на рис. 19. Отметим, что предложенная нами последовательность появления каждого из предложений в этой схеме не единственна.

В этой схеме в рамку с волнистой границей заключено условие задачи, которое пока не использовалось. Если учащиеся при обсуждении идеи доказательства сами заметят, где именно необходимо условие задачи, – целесообразно отразить это в дедуктивной схеме, если же они не заметят сами, полезно обсудить это при детализации доказательства и его дедуктивной схемы.

90