Методика обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы. Монография

рывно связаны с этапами обучения учащихся доказательству, поскольку формирование этого понятия происходит именно в процессе обучения доказательству (см. §2

гл. 2).

На каждом из выделенных этапов обучения доказательству посредством решения дедуктивных задач, и прежде всего логико-ориентированных задач на построение доказательства, формируется деятельность учащихся, связанная с поиском и построением доказательства: в 5 6-х классах – знакомство с логическими эвристиками построения доказательств и умение строить элементарные рассуждения, в 7 9-х классах – умение самостоятельно строить несложные доказательства и умение пользоваться логическими эвристиками при построении доказательств.

Некоторые методические особенности обучения доказательству в курсе математики основной школы

Большинство учащихся воспринимает курс алгебры как "набор" не связанных между собой формул и правил, которые следует заучивать. У них создается ошибочное впечатление, что доказывать утверждения надо только в геометрии, а в курсе алгебры ничего доказывать не надо. Чтобы у учащихся не создавалось такого впечатления, полезно формировать дедуктивную деятельность учащихся не только на уроках геометрии, но и на уроках алгебры, например, посредством решения дедуктивных задач и построения дедуктивных схем доказательств алгебраического содержания.

При анализе логической структуры и построении дедуктивных схем доказательств утверждений алгебраического содержания необходимо учитывать особенности построения школьного курса алгебры. Во-первых, школьный курс алгебры ни на одном этапе обучения математике не строится как аксиоматическая теория. Поэтому предложения, которые по существу служат исходными положениями, аксиомами не объявляются. Кроме того, некоторые понятия (например, понятия положительного числа и др.) вводятся на интуитивном уровне, им не дают точного (математически строгого) определения в школьном курсе алгебры. Во-вторых, большинство алгебраических доказательств основаны на преобразованиях выражений, а значит, в этих доказательствах возникает необходимость использовать свойства отношения равенства, которые считаются интуитивно ясными и ни в одном учебнике алгебры

61

не обсуждаются. Приведение полных алгебраических доказательств (в которых все члены доказательства присутствуют и каждый переход сделан согласно какому-либо логическому правилу) представляется нецелесообразным и методически неоправданным.

Учесть перечисленные особенности курса алгебры, возможно широко используя локальную дедуктивную организацию алгебраического материала при обучении доказательству на уроках алгебры. Только для некоторых алгебраических доказательств разумно строить дедуктивные схемы, с целью выявления их логической структуры. При этом целесообразно строить только краткие схемы, а разворачиватьлишьнекоторые, наиболеепростыесвернутые(энтимемные) переходы.

Отметим, что поскольку основная часть доказательств представлена в курсе геометрии, то изучение именно этого курса играет особую роль в обучении доказательству. Поэтому при разработке методики обучения доказательству мы уделяли особое внимание доказательствам утверждений курса геометрии. Заметим, что все предлагаемые нами ниже рекомендации можно использовать и при организации дедуктивной деятельности учащихся при изучении курса алгебры.

Многие специалисты считают, что основной вклад в обучение доказательству вносит именно обучение геометрии. Например, А.В. Погорелов пишет, что "главная задача преподавания геометрии в школе – научить учащихся логически рассуждать, аргументировать свои утверждения, доказывать. Очень немногие из окончивших школу будут математиками, тем более геометрами. Будут и такие, которые в их практической деятельности ни разу не воспользуются теоремой Пифагора. Однако вряд ли найдётся хотя бы один, которому не придётся рассуждать, анализировать, доказывать" [134].

62

ГЛАВА 2. Методика обучения доказательству учащихся основной школы с использованием средств естественного вывода

§1. Методические особенности обучения учащихся правилам построения доказательства с помощью дедуктивных схем

1.1. Использование дедуктивных схем при обучении правилам построения доказательства учащихся 5-6-х классов

Формирование дедуктивной деятельности учащихся следует начинать с 5-го класса. Задолго до того, как доказывать первые теоремы в 7-м классе, с учащимися должна быть проведена пропедевтическая работа, направленная на формирование у них способности проводить элементарные рассуждения. На уроках математики в 5 6-х классах целесообразно больше внимания уделять разъяснению смысла слов "следует", "следовательно" и их аналогов; знакомить учащихся с правилами построения доказательства в процессе их использования. При изучении правил построения доказательства можно опираться на учебники Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон для 5 6-х кл. [49, 50], поскольку в них содержится материал логического характера. Во-первых, в этих учебниках разъясняется смысл логических союзов и кванторных слов, без чего невозможно объяснить учащимся смысл логических правил. Во-вторых, в этих учебниках на доступном уровне разъясняется смысл важнейших правил доказательства. Учитель может использовать указанные учебники в качестве как основной, так и дополнительной литературы.

В этих учебниках приводится описание следующих правил: правило доказательства утверждений о существовании, правило конкретизации (правило удаления квантора общности), правила доказательства отрицания предложений с кванторами, правила доказательства отрицания утверждений вида "А и В", "А или В", "Если А, то В", правило доказательства общих утверждений, правило доказательства утверждений вида "Если А, то В" (правило доказательства введением вспомогательной гипотезы). Мы считаем, что целесооб-

63

разно добавить еще несколько часто используемых в рассуждениях правил: правило доказательства утверждений вида "А и В", правило частного заключения, правило контрапозиции, правило доказательства разбором случаев, правило доказательства приведением к нелепости.

Эти правила и их названия полезно представить в демонстрационной таблице, к которой при необходимости можно обращаться во время урока. Эту демонстрационную таблицу целесообразно заполнять по мере изучения правил построения доказательства: после обсуждения на уроке изучаемого правила его следует добавить (вклеить) в эту таблицу. Отметим, что мы не считаем необходимым требовать от учащихся "заучивания" названий рассматриваемых логических правил. Учащиеся должны по схеме, предложенной в демонстрационной таблице, уметь пояснять суть рассматриваемого правила.

В учебниках [49, 50] приводится только словесное описание логических правил. При обучении учащихся 5 6-х классов логическим правилам мы считаем целесообразным использовать схемы, которые позволяют наглядно отразить форму элементарных рассуждений, проведенных согласно изучаемому правилу. Различные вариантыпредставленияправилпостроениядоказательстваописанывстатье[104]. Мыиспользуемпредставлениелогическихправилспомощьюдедуктивныхсхем.

Совместно с Т.В. Лоцмановой ([103], [104]) нами разработаны методические рекомендации по ознакомлению учащихся 5 6-х классов с логическими методами доказательства. Основу этих рекомендаций составляет использование правил естественноговывода.

1.2. Использование дедуктивных схем при обобщении и систематизации знаний учащихся 7 классов о правилах доказательства

В разделе 1.1. при изучении логических правил в 5 6-х классах предлагалось использовать примеры элементарных рассуждений алгебраического содержания. Продолжить эту линию целесообразно и в 7-м классе при обобщении и систематизации знаний учащихся о правилах построения доказательств. Наиболее удачными (простыми и в то же время содержательными) примерами рассуждений представляются доказательства свойств делимости. Кроме того, если учащиеся не были ознакомлены с правилами построения доказательств в 5 6-х классах, то в 7-м классе целесообразно ознакомить их с этими правилами, ис-

64

пользуя именно алгебраический материал. При этом можно использовать те же самые задачи, которые были предложены нами для 5 6-х классов.

Для обобщения и систематизации знаний учащихся о правилах построения доказательства предлагаем использовать представление в виде дедуктивных схем элементарных рассуждений из курса геометрии. Более того, считаем полезным продемонстрировать учащимся наиболее употребляемые сочетания правил на примерах конкретных рассуждений. Отметим, что при изучении правил построения доказательства важно демонстрировать учащимся и эвристические возможности этих правил. Наряду с этим полезно использовать дедуктивныезадачи, направленныенаусвоениеправилпостроениядоказательств(см. §3 гл. 2).

В первую очередь целесообразно повторить с учащимися 7-го класса наиболее простые прямые бескванторные правила, такие как правила доказательства утверждений вида "А и В", законы де Моргана и др. Организовать повторение этих правилнаодномизпервыхуроковгеометрииможноследующимобразом.

1.Учитель должен заранее подготовить карточки с прямыми элементарными рассуждениями, проведенными согласно тем правилам, которые предполагается повторить.

2.На уроке каждый учащийся получает карточку с заданием выявить форму данного рассуждения: указать его посылки и заключение, записать его в виде дедуктивнойсхемы.

3.Послетогокакучащиесясамостоятельновыполнилизадания, учительобъединяет школьниковвгруппытакимобразом, чтобыводнугруппупопалиучащиеся, которые исследовали рассуждения с одинаковой формой. В каждой группе учащиеся должныубедиться, чтовихвариантахрассужденияимеютодинаковуюформу, обсудить правило построения доказательства, согласно которому проведены их рассуждения(записьправила, прочтениеправила"сверхувниз" и"снизувверх").

4.После обсуждения из каждой группы выбирается один учащийся, который у доски должен прочитать рассмотренные в группе рассуждения, записать на доске правило, согласно которому проведены эти рассуждения, и раскрыть содержательный смысл этого правила (прочтение правила "сверху вниз" и "снизу вверх").

Например, для повторения одного из законов де Моргана, учащимся можно

предложить карточки со следующими рассуждениями:

65

1.Неверно, что угол тупой или острый. Следовательно, угол не является тупым и не является острым.

2.Неверно, что точка А лежит на прямой а или точка В лежит на прямой а. Следовательно, точка А не лежит на прямой а и точка В не лежит на прямой а.

3.Неверно, что точка А лежит на прямой а или на прямой b. Следовательно, точка А не лежит на прямой a и не лежит на прямой b.

4.Неверно, что луч h пересекает прямую а или проходит через точку А. Следовательно, луч h не пересекает прямую а и не проходит через точку А.

Для выявления формы этих рассуждений удобно представить каждое из них в виде схемы. Например, предложение (3) представлено схемой на рис. 2.

Вообще говоря, в данном случае можно записать элементарное рассуждение, не используя прямоугольные рамки (не в виде дедуктивной схемы). Однако если в дальнейшем будет использоваться представление рассуждения в виде дедуктивной схемы, полезно пояснить учащимся уже сейчас, что стрелка означает непосредственный переход от посылок элементарного рассуждения к его заключению. Кроме того, вдальнейшемучащимсяпрощебудетузнаватьизученноеправило.

Неверно, что точка А лежит на прямой а или на прямой b

Точка А не лежит на прямой a и не лежит на прямой b

Рис. 2.

гласно правилу де Моргана (см. §3 гл. 1).

Прочтение этого правила "сверху вниз": если обосновано отрицание утверждения "А или В", то считаем обоснованным утверждение "Неверно А и неверно В". Прочтение "снизу вверх": для того, чтобы доказать утверждение "Неверно А и неверно В", достаточно доказать, что "Неверно, что А или В".

После повторения прямых бескванторных правил построения доказательства целесообразно организовать повторение прямых кванторных правил: правила конкретизации (правила удаления квантора общности), правила доказательства утверждений о существовании (правила введения квантора существования), правил де Моргана, правила частного заключения (для одной и двух переменных) (см. §3 гл.1). Повторять эти правила можно аналогично то-

66

му, как повторялись бескванторные правила. Причем особое внимание следует уделить правилу частного заключения, которое используется практически во всех рассуждениях курса геометрии.

Отметим, что обсуждать с учащимися правило частного заключения целесообразно сначала для одной переменной, затем для двух переменных. Повторять это правилодляоднойпеременнойможносогласноследующему плану.

1.Заранее выбрать утверждение, имеющее логическую структурух(А(х) В(х)). Причем полезно выбранное утверждение сформулировать разными способами: с явно выделенной логической структурой (т.е. с использованием слов "если…, то…") и без ее явного выделения. Кроме того, полезно привести формулировку с опущенным внешним квантором общности.

Например, можно использовать следующие формулировки известного утверждения:

(а) Каким бы ни был треугольник, если он равнобедренный, то углы при его основании равны.

(б) У всякого равнобедренного треугольника угла при основании равны. (в) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2.На уроке целесообразно сначала обсудить с учащимися формулировки вы-

бранного утверждения: обратить внимание на то, что предложения (а) (б) имеют одинаковую логическую структуру (а именно: х(А(х) В(х))). В предложении (в) опущен, но подразумевается квантор общности, относящийся ко всей импликации А(х) В(х), после восстановления которого получим предложение, имеющее такую же логическую структуру, что и предложения (а) и (б).

3. Затем рекомендуется напомнить учащимся содержательный смысл правила частного заключения: если обосновано предложение "Каким бы ни был элемент некоторого множества, если он обладает свойством А, то он обладает свойством В" ( х(А(х) В(х))) и обосновано предложение "t обладает свойством А" (A(t)), где t – некоторый элемент данного множества, считаем обоснованным предложение "t обладает свойством В" (В(t)). Схема, соответствующая данному рассуждению, имеет вид A(t) x( A(x) B(x)) . Эту схему без логических

B(t)

символов можно представить так, как это показано на рис. 3.

67

ониравны". Следовательно, углыАОВиDОСравны.

Надоскеучительможетэтотшаграссужденияпредставитьввидесхемы(рис. 6).

Углы АОВ и DОС – вертикальные Каковыбынибылидваугла, еслионивертикальные, тоониравны

Следует обратить внимание учащихся на то, что в приведенном примере используется теорема "Каковы бы ни были два угла, если они вертикальные, то они равны". Заметим, что, не выделяя явно логическую структуру утверждения, его можно сформулировать в более привычном виде "Любые два вертикальных угла равны", но при этом необходимо объяснить учащимся, почему рассуждение соответствует правилу частного заключения, т.е. показать, что утверждение имеет следующую логическую структуру: "Любые два объекта, находящиеся в отношении А, находятся и в отношении В". Отметим, что символически оно записывается так: x y( A(x, y) B(x, y)) .

После напоминания сути правила частного заключения по рис. 6 учителю целесообразно на доске преобразовать схему на рис. 6 в схему на рис. 7.

t1 и t2 находятся в отношении В

Рис. 7. Схема правила частного заключения

Вернемся к решению задачи. Воспользуемся первым признаком равенства треугольников: "Каковы бы ни были два треугольника, если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны". Две стороны и угол между ними треугольника АВO соответственно равны двум сторонам и углу между ними треугольника COD. Следовательно, треугольники АВO и COD

69

равны.

Этот шаг также можно представить в виде схемы (см. рис. 8).

Заметим, что если учитель не использует компьютер на уроке, то схему (рис.8) можно заменить более компактной схемой (рис. 8а).

АВO = COD

Рис. 8а

При решении этой задачи мы сделали два шага согласно правилу частного заключения: первый – при использовании теоремы о вертикальных углах, второй – при использовании первого признака равенства треугольников.

При решении этой задачи у учителя есть возможность на простом примере продемонстрировать, что в решении задачи два элементарных рассуждения (два шага) имеют одинаковую логическую структуру, которая может быть представлена схемой на рис. 7.

Считаем, что обращать внимание учащихся на то, что шаг доказательства делается согласно правилу частного заключения, следует каждый раз. Это позволит предотвратить ошибки в речи учащихся, связанные с использованием ранее доказанных утверждений, при обосновании того или иного предложения. Действительно, нередко можно встретить в школьных тетрадях слова "Запишем теорему Пифагора для треугольника АВС…". Формулируя эту фразу, учащийся, скорее всего, неосознанно делает переход согласно правилу частного заключения, но выражает свои мысли крайне неудачно. Корректная ссылка на теорему Пифагора может быть следующей: "Согласно теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АВС …" или "По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АВС …" или "Треугольник АВС прямоугольный, следовательно, согласно теореме Пифагора …".

70