Методика обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы. Монография

ведь далее автор ничего о законах логики не говорит. Во-вторых, непонятно, что такое факт и чем факт отличается от теоремы или аксиомы, а также, нужно ли факт доказывать. В-третьих, налицо порочный круг: понятие теоремы определяется с помощью понятия доказательства, а понятие доказательства определяется с помощью понятия теоремы. В-четвертых, неясно, можно ли использовать в доказательстве аксиомы и определения. Что касается методов доказательства, то в учебнике рассматриваются два метода: от противного и разбором случаев. О методедоказательстваразборомслучаевавтор говоритследующее: "Необходимость рассматривать несколько случаев типичное явление для геометрических теорем и задач" [183, с. 100]. Суть метода доказательства разбором случаев автор не разъясняет.

Далее проанализируем еще три учебника по геометрии для 7 9-ов классов авторов А.А. Александрова и др. [3], Л.С. Атанасяна и др. [7] и А.В. Погорелова [135]. В этих трех учебниках в одинаковом объеме представлен материал, связанный с математическими доказательствами, а именно, представлены разъяснения понятий аксиома, теорема, доказательство и разъяснения метода доказательства от противного.

Для удобства сравнения разъяснительных текстов из рассматриваемых учебников, представим их в виде следующей таблицы.

Таблица 3. Тексты, разъясняющие понятие доказательства в учебниках

[3], [7], [135]

51

свойствами фигур, даже если они нам кажутся очевидными, пользоваться нельзя.

При доказательстве теорем разрешается пользоваться чертежом как геометрической записью того, что мы выражаем словами. Не разрешается использовать в рассуждении свойства фигуры, видные на чертеже, если мы не можем обосновать их опираясь на аксиомы

итеоремы, доказанные ранее [135, с. 17-18]

Вприведенных текстах, разъясняющих понятие доказательство, это понятие определяется через понятие рассуждение. При этом понятие рассуждения не разъясняется и не отмечается, что речь идет о правильных рассуждениях, т.е. рассуждениях, построенных в соответствии с логическими правилами.

Ни в одном из трех учебников [3], [7], [135] не упоминается о логических

правилах, согласно которым проводятся рассуждения. В учебнике А.В. Погорелова присутствует объяснение, чем можно и чем нельзя пользоваться при доказательстве: при построении доказательства разрешается пользоваться ранее доказанными утверждениями, пользоваться чертежом для геометрической записи того, что выражается словами, при этом нельзя использовать свойства фигур, видные на чертеже, но не обоснованные. Однако это не помогает понять суть доказательства и является, на наш взгляд, скорее предостережением учащегося от ошибок, которые могут возникнуть при использовании чертежа.

Учебники по математике (в частности по геометрии), как показал их анализ, практически не содержат материала логического характера, разъясняющего учащимся, что такое доказательство, каковы логические правила доказательства, что нужно делать, чтобы сконструировать доказательство утверждения и т.п. Это означает, что перед учителем возникает проблема: как, используя имеющийся учебник, сформировать у учащихся понятие доказательства и обучить учащихся дедуктивной деятельности?

4.2.Логические проблемы обучения доказательству и один из путей их решения

Внастоящее время существует несколько проблем, связанных с логической составляющей обучения доказательству, которые отмечают в своих работах В.А. Далингер, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, И.Л. Тимофеева и др. Перечислим наиболее важные из них.

1. Несмотря на необходимость формирования способности учащихся пра-

52

вильно (доказательно, аргументировано) рассуждать, формированию дедуктивной деятельности учащихся уделяется недостаточно внимания, в результате чего учащиеся испытывают большие трудности в построении доказательств.

2.Несмотря на особое значение логической составляющей обучения доказательству, при традиционном обучении практически не уделяется внимание изучению дедуктивных средств, используемых при построении доказательств, в результате чего учащиеся не знают основных методов построения доказательства и испытывают трудности при самостоятельном построении доказательств.

3.Несмотря на существование логических средств, позволяющих в большей степени реализовывать принцип наглядности в обучении доказательству, при традиционной методике этого обучения не используются средства наглядности, позволяющие визуализировать логическую структуру рассуждений.

4.Несмотря на огромную роль доказательств в обучении недостаточное внимание уделяется формированию у учащихся понятия доказательства, в результате чего учащиеся не понимают сущности математических доказательств, испытывают трудностиприихпостроении.

5.Несмотря на существование естественной и адекватной реальным математическим доказательствам модели понятия доказательства – понятия доказательства в виде дерева, в традиционном обучении доказательству используется линейная модель понятия доказательства, которая не позволяет точно, полно, а главное, наглядно отразить логическую структуру содержательных доказательств. В частности, линейные доказательства, в отличие от доказательств в виде дерева, не отражают структуру косвенных рассуждений, в результате чего учащиеся не понимают сущность таких рассуждений.

6.Несмотря на существование логических эвристик, которые подсказывают некоторые шаги при построении доказательств и, тем самым, облегчают процесс поиска доказательства, при традиционном обучении доказательству логические эвристики не используются, вследствие чего у учащихся возникают трудности припостроениидоказательств.

Один из путей решения указанных проблем заключается в разработке методики обучения доказательству учащихся средней школы, в которой особое

внимание уделено логической составляющей доказательств.

53

Нами разработана концепция обучения доказательству учащихся средней школы с помощью средств естественного вывода. Основанием выбора средств естественного вывода при разработке концепции служит наличие существенных преимуществ обучения доказательству с использованием этих средств по сравнению с традиционным обучением. Разработанная нами концепция нацелена на повышениеэффективностиобучениядоказательствуиобученияматематикевцелом.

Ведущая идея концепции состоит в следующем: при обучении доказательству в школьном курсе математики принципиально важно особое внимание уделять логическим средствам построения доказательств, сущности математических доказательств и их логической структуре, что наиболее эффективно осуществляется при использовании в обучении средств естественного вывода.

Изложим основные положения этой концепции.

1.При обучении доказательству необходимо уделять особое внимание логической составляющей обучения доказательству и, прежде всего, формированию понятия доказательства, выявлению и анализу логической структуры простейших шагов доказательства и доказательства в целом.

2.Обучение доказательству с использованием средств естественного вывода способствует развитию дедуктивной рефлексии учащихся, необходимой для развития их логического мышления.

3.Обучение доказательству на основе логической теории естественного вывода имеет ряд преимуществ по сравнению с традиционным обучением, математической основой которого является теория линейного вывода. Основными из этих преимуществ являются: естественность нелинейных дидактических моделей математических доказательств – доказательств в виде дерева; наглядность отражения логической структуры доказательства с помощью его дедуктивной схемы; эвристичность правил естественного вывода, помогающая осуществлять некоторые шаги построения доказательства; возможность моделирования процесса поискадоказательства.

4.Средства естественного вывода могут служить математической основой:

–формирования понятия доказательства с помощью его дидактической модели – понятия доказательства в виде дерева;

–обучениядедуктивнымсредствамианализулогическойструктурыдоказательств;

–обучения построению доказательств с использованием эвристических воз-

можностей правил естественного вывода.

54

5.Использование дедуктивных схем доказательств способствует реализации принципа наглядности в обучении доказательству, а именно, позволяет визуализировать логические взаимосвязи между членами доказательства и логическую структуру доказательства в целом, способствует формированию у учащихся понятия доказательства.

6.Использование при обучении доказательству разработанного комплекса дедуктивных задач позволяет школьникам лучше понимать сущность математических доказательств и их логическую структуру, а также осознавать, какие дедуктивные средства используются в доказательствах.

7.Использование компьютера позволяет моделировать процесс построения доказательства (наглядно отражать динамику этого процесса) и анимировать правила естественного вывода (позволяет продемонстрировать процесс их использования, что способствует усвоению эвристических возможностей этих правил).

8.Обучение доказательству с использованием средств естественного вывода усиливает познавательную мотивацию и интерес школьников к изучению доказательств, повышает эффективность обучения доказательству и математике в целом.

Во второй главе монографии изложена методика обучения учащихся доказательству с помощью средств естественного вывода, реализующая эту концепцию.

Следует отметить, что у учащихся необходимо формировать умения, связанные с языковой составляющей обучения доказательству, без которых выявление логической структуры рассуждения невозможно. Перечислим эти умения, а также авторов методик формирования этих умений, на работы которых мы опирались: умение выявлять форму доказываемого утверждения (М.Б. Волович, А.А. Столяр, Г.И. Саранцев); умение уточнить формулировку доказываемого предложения, восстановив опущенные кванторные слова (А.В. Камышов); умение выделить условие и заключение доказываемого условного утверждения (М.Б. Волович, А.А. Столяр, Г.И. Саранцев).

Формированиеуказанныхуменийпроисходитпараллельносформированием дедуктивныхзнанийиумений. Далеемынебудемакцентироватьвниманиена языковойсоставляющейобучениядоказательствуиприперечисленииэтапов

обучениядоказательствубудемуказыватьтолькодедуктивныезнанияиумения,

55

формируемыеуучащихся.

§5. Принципы обучения доказательству

Основу разработанной нами методики составляют следующие дидактические принципы: научность, доступность, наглядность, систематичность, познавательная активность, сознательность усвоения учебного материала, установление межпредметных связей (алгебра геометрия информатика). Кроме того, при разработке методики обучения доказательству с использованием средств естественноговыводамыруководствовалисьследующимиметодическимипринципами.

1.Принцип усиления логической составляющей обучения доказательству. Для повышения эффективности обучения доказательству необходимо больше внимания уделять логической составляющей этого обучения, чем это обычно делается. Однако такое усиление не является самоцелью. Это всего лишь средство, которое позволяет глубже понять изучаемые доказательства и предотвратить некоторые логические ошибки, обычно допускаемые учащимися при воспроизведении готовых доказательств, а также при самостоятельном построении доказательств. При формировании понятия доказательства наиболее важным представляется понима-

ние учащимися не того, что такое доказательство, а того, как устроено доказа-

тельство, какмырассуждаем, какиерассужденияявляютсяправильными.

2.Принцип гармоничного сочетания логической и интуитивной составляю-

щих обучения доказательству. Усиление логической составляющей в обучении доказательству должно происходить не в ущерб интуитивной составляющей, а в дополнение к ней. Необходимо демонстрировать учащимся тесную связь логики

иинтуиции в процессе поиска и построения доказательства. Добиться этого можно используя логические эвристики в сочетании с содержательными эвристиками при построении доказательств.

3.Принцип систематичности изложения логического материала. При обучении математике необходимо систематически акцентировать внимание учащихся на логических аспектах доказательств. При этом следует соблюдать определенную последовательность в изложении логического материала, связанного с доказательствами.

4.Принцип уместности изложения логического материала. Логический ма-

териал необходимо органично встраивать небольшими порциями в предметный (математический) материал, не в ущерб изучению материала, предусмотренного

56

программой. Изучать следует только самый необходимый логический материал, например только те правила доказательства, в соответствии с которыми происходит построение доказательств, и только тогда, когда эти правила используются. Следует отметить, что временные затраты на изучение логического материала (особенно на изучение логических правил построения доказательства и их эвристического смысла) в дальнейшем окупятся.

5.Принцип разумной логической строгости обучения доказательству. При изучении математических доказательств и необходимого логического материала следуетпридерживатьсяразумногоуровнястрогости(т.е. полнотыиподробности изложения доказательств). При определении этого уровня целесообразно руководствоваться дидактическим принципом доступности, опираться на здравый смыслиинтуицию, и, разумеется, учитыватьвозрастныеособенностиучащихся.

6.Принцип широкого использования средств наглядности в обучении дока-

зательству. Считаем целесообразным наряду с традиционными средствами наглядности (например, чертежей и рисунков) использовать в качестве средств наглядности представление доказательств в виде дедуктивных схем. Использование этих схем позволит наглядно отразить не только логические связи между членами доказательства, но и логическую структуру доказательства в целом. Отметим, что этот принцип важно сочетать с принципом разумной строгости в обучении доказательству.

7.Принцип интенсивного использования компьютера в обучении доказатель-

ству. Использование инновационных технических средств обучения позволяет

вбольшей степени реализовать принцип наглядности по сравнению с традиционно используемыми средствами. Кроме того, использование компьютера существенно упрощает построение дедуктивных схем доказательств в техническом отношении и сокращает время этого построения. Использование компьютера позволяет фиксировать отдельные шаги и визуализировать весь процесс построения дедуктивной схемы, т.е. позволяет промоделировать процесс построения доказательства. Отметим, что особенно важно представлять дедуктивные схемы доказательств не в готовом виде, а в процессе их построения, что позволит учащимся глубже понять, как происходит построение изучаемого доказательства.

57

Основные этапы обучения доказательству учащихся основной школы

Мы выделяем четыре основных этапа обучения доказательству учащихся основной школы, связанные с логической составляющей этого обучения, которые согласуются с уровнями обучения доказательству, предложенными Г.И. Саранцевым (см. §1 гл. 1).

Первый этап, 5-6-ой классы. На этом этапе осуществляется формирование потребности в построении математических доказательств, обучение некоторым логическим правилам построения доказательства, которые формализуют элементарные шаги доказательства, а также формирование умений, связанных с построением элементарных рассуждений.

Кконцу обучения в 6-м классе учащиеся должны:

знать наиболее часто используемые правила построения доказательств и понимать их суть (т.е. учащиеся должны уметь прочитать предложенную схему (правило) и изложить ее содержательный смысл);

уметь узнавать, согласно какому правилу проведено элементарное рассуждение;

уметь восстанавливать опущенную посылку в данном элементарном рассуждении;

уметь делать вывод из данных посылок согласно соответствующему правилу построения доказательства.

Методика обучения учащихся 5 6-х классов правилам построения доказа-

тельства разработана нами совместно с Т.В. Лоцмановой ([103], [104]). Второйэтап, 7-йкласс. Наэтомэтапеосуществляетсяобобщениеисистематизациязнанийучащихсяологическихправилахдоказательства, обучениеанализу доказательствдлявыявления используемыхвнихдедуктивныхсредствспомощьюпредставления рассужденийввидедедуктивныхсхемирешениядедуктивныхзадач, формированиеуменияосознанновоспроизводитьготовоедоказательствоиумениястроитьдоказательства, атакжеформированиепонятиядоказательстванаинтуитивномуровнеспомощьюпостроениядедуктивныхсхемнаиболеепростыхпосвоейлогическойструктурерассуждений.

На этом этапе важно разъяснить учащимся, что обычное математическое доказательство представляет собой текст, в котором предложения (члены доказательства) логически взаимосвязаны друг с другом. Указанная связь чле-

58

нов доказательства обычно выражается словами "предложение такое-то следует из предложений таких-то". Каждый шаг рассуждения сделан согласно некоторому правилу построения доказательства (логическому правилу).

Основная задача учителя на этом этапе – продемонстрировать логическую структуру содержательных рассуждений, что целесообразно впервые сделать на примере рассуждения из курса алгебры. Однако поскольку большая часть доказательств сосредоточена в курсе геометрии, дальнейшее обучение учащихся доказательству полезно организовать именно на уроках геометрии.

При повторении правил построения доказательства особое внимание необходимо уделять косвенным правилам. Построение дедуктивных схем косвенных рассуждений позволяет наглядно продемонстрировать учащимся логические взаимосвязи между членами рассуждения, что, в свою очередь, способствует более глубокому осознанию сути косвенных методов доказательства.

Врезультате обучения доказательству в 7-м классе учащиеся должны:

иметь интуитивное представление о том, что такое доказательство;

уметь выявлять форму элементарных рассуждений;

осознавать нелинейность логической структуры содержательных рассуждений;

уметь анализировать данное рассуждение с целью выявления используемых при его построении правил доказательства;

уметь самостоятельно проводить несложные рассуждения.

Третийэтап, 8-йкласс. Наэтомэтапепроисходитуточнениепонятиядоказательства– введениепонятиядоказательстваввидедеревасиспользованиемдедуктивныхсхемдоказательств, обучениеучащихсяработесдоказательствамииз учебника, обучениевосстановлениюпропусковвготовомдоказательствеи самостоятельномупостроениюдоказательствприрешениидедуктивныхзадач соответствующихтипов.

Ввести понятие доказательства в виде дерева можно с помощью построенной на уроке дедуктивной схемы конкретного доказательства. Мы не считаем необходимым требовать, чтобы учащиеся заучивали определение доказательства в виде дерева. Однако они должны понимать, что в доказательстве имеются исходные предложения, и какие предложения могут служить исходными; осознавать, что все переходы в доказательстве делаются согласно правилам

59

построения доказательства; понимать относительный характер большинства доказательств.

Врезультате обучения доказательству в 8-м классе учащиеся должны:

уметьпроводитьлогическийанализпостроеннойдедуктивнойсхемыдоказательства;

уметь для готового доказательства выявлять методы доказательств, которые использовались при его построении;

уметь выявлять исходные предложения в готовом доказательстве, определять ихстатус;

уметь самостоятельно строить несложные доказательства;

уметь выявлять пропуски в доказательстве, приведенном в учебнике, и при необходимости восстанавливать эти пропуски;

понимать сущность понятия доказательства.

Четвертыйэтап, 9-йкласс. Наэтомэтапеосуществляетсясистематизацияиуглубление знаний учащихся, полученных на предыдущих этапах с помощью решения дедуктивных задач, анализа доказательств из учебника и построения дедуктивных схем.

Врезультатеобучениядоказательствувыпускникиосновнойшколыдолжны:

знатьправилапостроениядоказательстваипониматьихсодержательныйсмысл;

знатьиуметьиспользоватьлогическиеэвристикиприпостроениидоказательств;

понимать суть понятия доказательства;

уметь проводить логический анализ несложного доказательства или его фрагмента;

уметь восстановить традиционные пропуски в доказательстве;

уметь доказывать основные теоремы школьного курса математики;

уметь самостоятельно проводить несложные доказательства при решении задач;

уметь найти ошибку в рассуждении и объяснять ее суть;

понимать суть понятий аксиома и теорема, понимать связь этих понятий с понятием доказательства.

Вобучении доказательству особую роль играет формирование понятия доказательства. Ввиду особой сложности понятия доказательства предлагаем поэтапное

формирование этого понятия. Этапы формирования понятия доказательства нераз-

60