Методика обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы. Монография

мультимедийную презентацию к уроку. Выбор программы Power Point определяется прежде всего тем, что она проста в обращении и не требует от пользователя специальных навыков программирования, а также больших временных затрат на освоение интерфейса. Например, для того чтобы привести объект в движение (анимировать), вообще говоря, достаточно быстро продемонстрировать последовательность кадров, изображающих фазы движения. В Power Point для настройки движения очерчивается кривая, по которой анимируемый объект должен перемещаться. Это, несомненно, облегчает работу пользователя над настройкой движения (анимации).

Информационные технологии, в частности мультимедийные презентации, подготовленные с помощью программы Power Point, дают возможность учителю реализовать принцип наглядности при обучении доказательству. С помощью анимации в презентациях можно визуализировать процесс рассуждения при поискедоказательстваизафиксироватьэлементарныешагиэтогорассуждения.

Наглядность представления логической структуры доказательства с помощью дедуктивных схем доказательства позволяет проанализировать логическую структуру доказательства. Дискретность процесса рассуждения позволяет зафиксировать на слайдах элементарные шаги этого рассуждения. Анимация предложений (движение и выделение предложений), используемых на обсуждаемом шаге рассуждения, визуализирует этот шаг доказательства и процесс построения доказательства в целом.

4.1.Возможности использования компьютера при обучении школьников правилам построения доказательства

При обучении школьников правилам построения доказательства, которые формализуют элементарные шаги доказательства, во-первых, важно, чтобы учащиеся понимали содержательный смысл этих правил. Во-вторых, необходимо, чтобы они воспринимали правила доказательства как модель элементарных шагов неформального процесса построения доказательства. Более того, при этом моделировании на первое место следует выдвинуть эвристические возможности правил построения доказательства.

При обучении учащихся дедуктивным (логическим) эвристикам важно, чтобы школьники воспринимали правила доказательства не в застывших формах, а в процессе их использования. Для этого нужно отразить сам процесс их использования, отразить, что одни правила удобно использовать для

111

нисходящих шагов построения доказательства, а другие – для восходящих шагов.

Для достижения этих целей мы рекомендуем использовать программу Power Point. С помощью этой программы удается анимировать правила построения доказательстваипродемонстрироватьвдинамикепроцессиспользованияэтихправил.

Правила введения логических связок мы анимировали снизу вверх, что позволило промоделировать восходящие шаги построения доказательства, а правила удаления связок мы анимировали сверху вниз, что позволило промоделировать нисходящие шаги построения доказательства. Более того, можно соответствующим образом озвучить этот процесс. Это позволяет для каждого правила в процессе его "оживления" (анимации) синхронно объяснить, каким образом при его использовании происходит сведение задачи на построение доказательства утвержденияданнойлогическойструктурыкболеепростымзадачам.

[A] [B]

На примере правила доказательства разбором случаев A B C C рассмот-

C

рим, как может быть сделана анимация правил доказательства, которую можно использовать на уроках при разъяснении учащимся сути этого правила. Для удобства разобьем анимированный слайд на кадры, представленные на рис.28. Cлева от каждого кадра записан текст, сопровождающий анимацию. Точечная стрелка показывает траекторию движения соответствующего объекта.

112

Рис. 28.

При желании можно разобрать этот же метод на конкретном примере, заменив переменные А, В, Сконкретными предложениями. Привыборепримера стоитучитывать, что запись предложений (возможно, символическая) не должна быть громоздкой. Для удобства демонстрации этого правила на конкретном примере целесообразно представить правило с помощью дедуктивной схемы. Заключительный кадрбудетиметьследующийвид:

113

В дедуктивной схеме доказательства этого утверждения пронумеруем предложения – члены доказательства (см. рис. 30). Стрелки будем обозначать так: <i,j→k>, где i и j номера предложений – посылок элементарного прямого рассуждения, а k – номер заключения этого рассуждения. В схеме на рис. 30 только один шаг сделан согласно косвенному правилу, поэтому соответствующую стрелку в схеме мы нумеровать не будем.

При использовании компьютерной презентации построения дедуктивной схемы на уроке, как уже отмечалось в §2 этой главы, учителю при подготовке к уроку полезно продумать ход построения доказательства (дедуктивной схемы) и соответствующие наводящие вопросы к учащимся, для того чтобы можно было в процессе фронтальной беседы обсудить построение этого доказательства. Далее нами предложен один из возможных вариантов построения рассматриваемой дедуктивнойсхемыспомощьюкомпьютера.

115

утверждении кванторные слова выделяются курсивом или цветным шрифтом.

2.При обсуждении с учащимися доказываемого утверждения учителю полезно напомнить (или спросить учащихся) суть метода доказательства общих утверждений. После того как суть метода доказательства общих утверждений обсуждена, на слайде появляется рамка с затемненной областью, в которую будет помещено вспомогательное рассуждение. Внутри затемненной рамки появляется предложение "ABCD – произвольный параллелограмм, О – точка пересечения его диагоналей AC и BD", которое отражает фиксирование произвольного параллелограмма. Далее появляется предложение "АО = ОС и ВО = ОD" (2). Между двумя указанными предложениями появляется пунктирная стрелка. Для удобства построения схемы с учащимися следует обсудить, что вместо предложения "ABCD – произвольный параллелограмм, О – точка пересечения его диагоналей AC и BD" в схеме будет использоваться предложение "ABCD – параллелограмм". Предложение "ABCD – произвольный параллелограмм, О – точка пересечения его диагоналей AC и BD" исчезает со слайда. Вместо него появляется предложение "ABCD –параллелограмм", и оно же на слайде перемещается в левый верхний угол.

3.Далее следует обсудить с учащимися, как можно доказать равенство отрезков (предложение (2)). После этого обсуждения на слайде появляется предложение (3) в рамке, затем – предложение (4) в рамке и стрелка <3,4→2>.

4.Итак, задача сведена к доказательству равенства двух треугольников. С этого шага дальнейшее построение зависит от того, что удобнее организовать учителю. На наш взгляд, полезно провести с этого момента еще несколько шагов "снизу вверх", а затем остальные шаги "сверху вниз", т.е. выяснить, каким образом можно доказать указанное равенство, опираясь на признаки равенства треугольников. Заметим, что выбор второго признака равенства определяется однозначно. После этого выяснить, что именно достаточно обосновать согласно второму признаку равенства треугольников, и затем уже проводить дальнейшее доказательство "сверху вниз".

Следующий шаг построения дедуктивной схемы таков: появляется предложение (6) в пунктирной рамке – второй признак равенства треугольников, и предложение (5) в сплошной рамке, которое достаточно обосновать для доказательства равенства рассматриваемых треугольников. Стрелка <5,6→3> появля-

ется вместе с предложением (6).

117

5.Далее требуется обосновать равенство отрезков и равенства углов (предложение (5)). Согласно правилу введения союза "и" достаточно доказать равенство отрезков и равенства углов по отдельности. После обсуждения с учащимися этого шага появляются одновременно предложения (7), (8) в рамках и стрелка <7,8→5>, отражающаяэтотшаг.

6.На наш взгляд, сначала целесообразно обосновать равенство отрезков (предложение (7)). Доказать это равенство можно, используя ранее доказанное свойство параллелограмма. При обсуждении этого можно выделить в схеме предложение "ABCD – параллелограмм", например, цветом или настройкой "мигания". После обсуждения можно, с помощью эффектов анимации, настроить перемещение предложения(11) от выделенногопредложения насвое место вдедуктивнойсхеме (рис. 30). Рядом с предложением (11) появляется предложение (10) – соответствующее свойство параллелограмма, и стрелка <10,11→9>. Затем появляется предложение(9) истрелка<9→7>. Такимобразом, предложение(7) обосновано.

7.Теперь осталось обосновать равенства углов (предложение (8)). Отметим, что эти равенства удобно обосновывать вместе, поскольку доказательства будут аналогичными. Достраивать оставшуюся часть схемы удобно при обсуждении того, как можно обосновать равенства углов.

После того как замечено, что соответствующие углы являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых и секущей, на слайде появляется соответствующие предложения (предложения (12), (13) и стрелка <12,13→8>). Для того чтобы завершить рассуждение, достаточно обосновать, что соответствующие прямые параллельны (появляется предложение (14) и стрелка <14→12>). Это можно обосновать, используя допущение, что ABCD – параллелограмм. При обсуждении этого шага выделяется предложение "ABCD – параллелограмм" (цветом или "миганием"), затем с помощью эффектов анимации происходит движение предложения (16) от предложения "ABCD – параллелограмм" к своему месту, обозначенному в схеме (рис. 30). После движения предложения (16) предложение "ABCD – параллелограмм" исчезает. Появляется предложение (15) и стрелка <16,17→15>, а затем стрелка <15→14>.

Дедуктивная схема доказательства утверждения о свойстве параллелограмма построена.

8.При разъяснении понятия доказательства по плану, который намечен в §2

этой главы, целесообразно использовать эффекты анимации: 1) при обсужде-

118

нии шагов доказательства – выделение цветом или мигание соответствующих стрелок; названия правил построения доказательства, согласно которым сделан обсуждаемый шаг, могут появиться рядом с выделенной стрелкой; 2) при обсуждении статуса исходных предложений можно у рамок, содержащих эти предложения, залить их внутренние области определенным цветом или изменить формат границы, что позволит отразить статус соответствующих предложений; 3) при построении дедуктивной схемы доказательства настроить появление и движение предложений – членов доказательства так, чтобы отразить процесс поиска этого доказательства.

Описанные презентации удобно использовать при построении дедуктивной схемы доказательства на уроке, поскольку на доске трудно рассчитать место. Еще раз напомним, что считаем нецелесообразным построение дедуктивных схем учащимися в тетрадях на уроке. При необходимости можно раздать учащимся заранее заготовленные листы с рассматриваемой дедуктивной схемой.

119

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные выводы и результаты данной работы заключаются в следующем.

1.Разработана концепция обучения школьников доказательству с использованием средств естественного вывода. Разработана методика обучения доказательству учащихся основной школы, реализующая эту концепцию.

2.Адаптировано к школьному курсу математики понятие доказательства в виде дерева – разработано понятие дедуктивной схемы доказательства. Дедуктивные схемы позволяют отражать древовидную структуру доказательства, что способствует реализации принципа наглядности при обучении учащихся доказательству. Разработана методика использования этих схем при обучении доказательству в курсе математики в основной школе, а именно при обучении анализу логической структуры доказательств и построению доказательств, а также при формировании понятия доказательства у учащихся основной школы.

3.Разработан комплекс специальных логико-ориентированных (дедуктивных) задач и вопросов, направленных на формирование дедуктивной деятельности учащихся. Этот комплекс содержит задачи, способствующие формированию понятия доказательства; выявлению логической структуры доказательств; выявлению связи понятия доказательства с такими понятиями, как аксиома, теорема; формированию наглядного образа логической структуры изучаемого доказательства в виде дедуктивной схемы. Приведена классификация дедуктивных задач и вопросов.

4.Разработаны методические рекомендации по моделированию процесса дедуктивного рассуждения с помощью компьютера. Разработаны методические материалы в электронном виде для использования компьютера при обучении доказательству.

Полученные результаты открывают перспективу дальнейшего исследова-

ния возможностей применения средств естественного вывода в обучении до-

120