Методика обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы. Монография

нования какого-либо математического предложения, как это часто делается, а результат этого процесса, представленный в виде текста, удовлетворяющего определенным условиям (как это делается, например, в [163, с. 75]). А также в дальнейшем, для краткости, употребляя термин доказательство, будем иметь в виду математическое доказательство.

Существует два способа неформального уточнения понятия доказательства: традиционное – как линейного доказательства (то есть как последовательности предложений, удовлетворяющей определенным условиям) и нетрадиционное – как доказательства в виде дерева, предложенное и исследованное в работах И.Л. Тимофеевой [163, 169]. Отметим, что далее идет речь не о формальном математическом уточнении понятия доказательства как вывода в некоторой формальной теории, а о неформальном уточнении понятия доказательства.

Рассмотрим вначале традиционное дидактическое уточнение понятия доказательства – линейное доказательство, используемое А.А. Столяром. "Под доказательством будем понимать конечную последовательность предложений, принадлежащих данной теории, которая удовлетворяет двум условиям: а) каждое предложение этой последовательности представляет собой или аксиому, или определение, или ранее уже доказанную теорему, или допущение (условие доказываемой теоремы) или же получается из предшествующих предложений по одному из (допустимых) правил вывода; б) последнее предложение этой последовательности есть доказываемое утверждение" [160, с. 117]. "Если существует хотя бы одна такая последовательность предложений, оканчивающаяся предложением Т, то Т – теорема…, аксиома теории есть теорема, доказательство которой состоит из одной этой аксиомы" [160, с. 112].

Прежде всего отметим, что обычно внимание школьников не акцентируется на том, что можно говорить только о доказательстве в некоторой определенной теории. Поскольку речь идет об аксиомах, определениях и ранее доказанных теоремах, то уже подразумевается, что все предложения принадлежат какой-то одной математической теории.

В приведенном выше описании понятия доказательства фигурирует термин "теорема". Здесь возникает "порочный круг", который заключается в том, что при определении понятия доказательства используется понятие теорема, которое оп-

31

ределяется через понятие доказательства. В данном случае "порочный круг" легко устранить, исключив из этого описания упоминание о ранее доказанных теоремах. Однако при этом описание понятия доказательства будет весьма далеким от большинства реальных доказательств, поскольку практически почти невозможно все свести к аксиомам. На практике только для самых простых утверждений приводится доказательство в указанном выше смысле. В большинстве случаев наряду с аксиомами используются утверждения, доказанные ранее, причем для каждого такогоутверждениятеоретическиможновосстановитьегодоказательство[163].

В процитированном из книги А.А. Столяра описании понятия доказательства говорится, что членом последовательности предложений может быть "допущение (условие доказываемой теоремы)". Однако непонятно, что такое допущение. Согласившись, что допущением может служить только условие теоремы, мы тем самым не будем учитывать другие допущения в различных косвенных доказательствах. Например, доказательство утверждения " 2 не является рациональным числом", которое проводится методом приведения к нелепости, не будет удовлетворять указанным в описании условиям, поскольку одним из членов последовательности будет предложение: "допустим, что 2 - рациональное число", которое не является условием доказываемого утверждения. Более того, об условии имеет смысл говорить только в том случае, когда доказываемое утверждение сформулировано в виде импликации. Однако, например, утверждение " 2 не является рациональным числом" нельзя сформулировать в виде импликации. Следует также отметить, что и доказательства импликативных утверждений могут содержать промежуточные допущения, которые не являются условиями (например, в доказательстве разбором случаев). Таким образом, из приведенного описания понятия доказательства стоит удалить упоминание об условии теоремы, как о допущении, считая, что не только условие теоремы может быть членом последовательностивкачестведопущения.

Далее перейдем к особенностям записи доказательства в виде последовательности предложений, то есть к линейному упорядочиванию членов доказательства. Линейное доказательство представляет собой конечную последовательность предложений, каждое их которых является или аксиомой, или допущением, или предложением, верным в силу определения, или следует из предшествующих предложений по какому-либо логическому правилу [163].

32

Как отмечает в своих исследованиях И.Л. Тимофеева [169], "если возникают вопросы о логической структуре доказательства, о логической взаимосвязи между его членами, о том, какое предложение из каких логически следует, то нельзя обойтись без дополнительного текста, так называемого анализа доказательства". Действительно, связьмежду членамитакойпоследовательностинепросматриваетсябезанализадоказательства, тоестьбез обоснованияправомерностиприсутствия каждого предложения в последовательности и указания, следствием каких именно предшествующих предложений является тот или иной член доказательства и согласнокакомуправилувывода. Такимобразом, наглядностьотражениялогической структурыдоказательства, записанноговвидепоследовательности, отсутствует.

Перейдем к другому, нетрадиционному неформальному уточнению понятия доказательства – доказательству в виде дерева, которое введено и исследовано в работах И.Л. Тимофеевой [164, 169]. Понятие доказательства в виде дерева предложено в качестве дидактической модели понятия математического доказательства. Эта модель представляет собой дидактическую адаптацию математической модели понятия доказательства – понятия вывода в виде дерева в логических системах естественного вывода.

Первоначально И.Л. Тимофеева под доказательством в виде дерева предлагает понимать упорядоченную в виде дерева систему предложений, в которой каждое исходное предложение является аксиомой или допущением, или имеет место в силу определения, а каждое из остальных предложений следует из непосредственно предшествующих ему предложений по какому-либо правилу вывода (логическому правилу) [163, с. 75]. В дальнейшем И.Л. Тимофеева уточнила это описание следующим образом: под доказательством в видедерева будем понимать упорядоченную в виде дерева2 систему предложений, в которой каждое исходное предложение является или аксиомой, или предложением, верным в силу определения, или промежуточным допущением, а каждоеиз остальных предложений следует по какому-либо логическому правилу из непосредственно предшествующих ему предложений и/или вспомогательных рассуждений.

В работах И.Л. Тимофеевой [164, 169] выявлены и обоснованы дидактические преимущества уточнения понятия доказательства как доказательства в виде дерева по сравнению с линейным доказательством. Перечислим наиболее важные

2 Деревом называют частично упорядоченное множество с наименьшим элементом (корнем), каждый элемент которого, за исключением корня, имеет единственный непосредственно меньший его элемент.

33

из них:

–уточнение на неформальном уровне понятия доказательства как доказательства в виде дерева учитывает все виды логической взаимосвязи между членами доказательства, включая косвенные, и тем самым позволяет более точно и полно выявить сущность доказательства;

–запись всего доказательства (или его фрагмента) в виде дерева позволяет наглядно отразить его логическую структуру, продемонстрировать логические связи между членами доказательства (и фрагмента доказательства), что в свою очередь позволяет более полно проанализировать логическую структуру доказательства;

–при построении доказательства в виде дерева имеется возможность более полно использовать эвристические логические средства, зафиксированные в правилах

вывода.

Кроме всего перечисленного, особо отметим, что представление доказательства в форме, наглядно отражающей его логическую структуру (т.е. взаимосвязи между членами доказательства), повышает убедительность доказательства, поскольку наглядно демонстрирует, что из чего и почему следует.

Следуетотметить, чтооднимизнедостатковпредставлениядоказательстваввиде дереваявляетсяегогромоздкаязапись. Полностьюпредставитьввидедереваможно только весьма простое доказательство. Эту проблему частично можно решить, используя логическую символику при записи предложений, входящих в доказательство. Однако в школьном курсе математики использование логической символики не предусмотрено. Мы предлагаем избежать использования символики путем представления доказательства в виде дерева с помощью дедуктивной схемы (подробнее см. п. 3.3).

3.2. Правила естественного вывода, методы доказательства

Рассуждения бывают иногда настолько краткими, что об использовании логических правил можно догадаться только по присутствию слов: следовательно; значит; таким образом; это вытекает из … и т.п.

Как отмечает А.А. Столяр, "вопрос о том, как мы доказываем, как доказываемое предложение получается из уже известных предложений данной теории, остается в установившейся практике по существу не разъясненным"

34

[160, с. 68]. Обучение доказательству без разъяснения используемых в доказательствах логических средств А.А. Столяр считает недопустимым.

Перейдем к описанию логических средств, используемых в доказательствах. Прежде всего, отметим, что правильность или ошибочность умозаключения зависит от его формы, а не от содержания. Соответствие формы умозаключения како- му-либо логическому правилу гарантирует, что это умозаключение является правильным.

Логические правила вывода (правила заключения, правила доказательства) представляют собой схемы, в соответствии с которыми проводятся дедуктивные рассуждения. Иными словами, логические правила вывода формализуют элементарные правильные (дедуктивные) умозаключения, которые используются в содержательных доказательствах, но обычно никак не фиксируются.

"В результате многовекового опыта рассуждений сложилось представление о правилах и способах умозаключений (рассуждений), гарантирующих истинность заключения при истинных посылках. Была выявлена форма простейших рассуждений, используемых в качестве элементарных шагов доказательств, а соответствующие им схемы признаны правилами заключения (вывода). Далее эти правила будем называть правилами построения доказательства или кратко

– правилами доказательства" [164, с. 80]. Основные правила доказательства соответствуют правилам естественного вывода, предложенным Г. Генценом3, и являются формализацией простейших математических рассуждений, то есть схемами, выявляющими и фиксирующими форму этих рассуждений.

Далее в соответствии с [165] приведены основные правила (в таблице 2) и их содержательный смысл, а также некоторые из производных правил.

Основные правила доказательства делятся на правила введения и правила удаления. Для каждой логической связки и кванторов есть правило введения и правило удаления этой связки и квантора.

Таблица 2. Основные правила вывода.

3 Герхард Генцен (1909-1945) – немецкий логик, ученик Д. Гильберта.

35

Правила делят на прямые и косвенные. Прямое правило формализует умозаключение, при котором некоторое утверждение является непосредственным

A1 ... An

следствием каких-то других утверждений. Прямое правило имеет вид A . В отличие от прямого, косвенное правило формализует умозаключение, в котором вывод делается не непосредственно из каких-то предшествующих утверждений, а на основании построения некоторых вспомогательных рассуждений, исходящих из промежуточных допущений. Из выше перечисленных основных правил к косвенным относятся правила: удаления дизъюнкции, введения импликации, введения отрицания, удаления квантора существования и введения квантора общности.

Обсудим содержательный смысл некоторых основных правил доказательства, следуя работам И.Л. Тимофеевой [165, 169].

Наиболее простым из прямых правил является правило введения конъюнк-

A B

ции A & B , которое отражает форму рассуждений следующего вида: Если обосновано утверждение A и обосновано утверждение B, то утверждение "A и B" считается тоже обоснованным.

Правила удаления конъюнкции A &A B , A &B B отражают форму рассуждений: Если обосновано утверждение вида "A и B", то считаем обоснованным каждое из утверждений A, B в отдельности.

36

Правило удаления импликации отражает форму рассуждения: Если обосновано утверждение A и обосновано утверждение "Если А, то В", считаем обоснованным утверждение В.

Условные, или косвенные, правила доказательства формализуют рассуждения с введением промежуточных допущений и последующим освобождением от них.

A

Правило введения импликации A B формализует следующее рассуждение: "Если, допустив А, удаётся обосновать В, то утверждение "Если А, то В" считаем обоснованным". Это правило используется для доказательства импликативных утверждений, т.е. утверждений вида "Если А, то В".

казательства разбором случаев. Правило доказательства разбором случаев формализует следующее рассуждение. Если обосновано утверждение "А или В", то рассматриваем в отдельности оба случая: А и В. В первом случае допускаем, что имеет место утверждение А, и обосновываем утверждение С. Во втором – допускаем, что имеет место утверждение В, и обосновываем С. После этого утверждение С считаем полностью обоснованным и не зависящим от допущений А, В.

A A

Правилу введения отрицания B A B отвечает метод доказательства приведением к нелепости. Отметим, что иногда метод доказательства приведением к нелепости путают с методом доказательства от противного, которое имеет форму

Правило введения отрицания отражает форму следующего рассуждения. Если при допущении утверждения А обосновано некоторое противоречие (В и "не В"), то считаем обоснованным утверждение "не А".

37

на случай двух переменных.

Отметим, что в этом разделе шла речь о математических основах обучения доказательству. В школьном курсе не следует изучать все рассмотренные выше правила. Правила, с которыми мы считаем целесообразным знакомить учащихся, перечисленыв§1 гл.2.

3.3Понятие дедуктивной схемы доказательства

Скаждым математическим доказательством связано его содержание и логиче-

ская структура (форма). Под логической структурой доказательства понимаем характер логических взаимосвязей между членами доказательства. Раскрыть логическую структуру доказательства – значит показать, в соответствии с какими логическими правилами сконструировано доказательство, т.е. выявить логическиевзаимосвязимеждуегочленами.

Как уже было отмечено, уточнение понятия доказательства как доказательства ввидедеревапозволяетнаглядноотразитьлогическуюструктурурассуждения.

Поскольку многие утверждения школьного курса математики, в первую очередь геометрии, трудно записать символически (получаемая запись громоздка и непроста), да и логическая символика не используется в школе, мы предлагаем использовать особые модели доказательств в виде дерева, назван-

39

ные нами дедуктивными схемами доказательств. Дедуктивные схемы позволяют отразить древовидную структуру доказательства без использования символической записи участвующих в нем предложений.

Под дедуктивной схемой доказательства понимаем условное представле-

ние соответствующего доказательства в виде дерева, в котором с помощью графических средств (рамок и стрелок разного формата) наглядно отражены взаимосвязи между членами доказательства (предложениями) и его фрагментами (вспомогательными рассуждениями), а также статус членов доказательства, т.е. отражена логическая структура этого доказательства.

Различаем два вида дедуктивных схем – полные и краткие. В полной дедуктивной схеме присутствуют все члены доказательства, отражены все логические взаимосвязи между ними, а каждый шаг в доказательстве соответствует какомуто логическому правилу. По сути, полная дедуктивная схема представляет собой доказательство в виде дерева, графически оформленное с использованием рамок

истрелок разного формата.

Вполных математических доказательствах каждый шаг делается согласно некоторому логическому правилу. Однако обычно, в частности в учебниках, приводятся свернутые доказательства – несколько логических шагов сворачиваются в один, при этом некоторые предложения опускаются (чаще всего ранее доказанные теоремы или предложения верные в силу определения) – такие переходы называют энтимемными. Неполная4 дедуктивная схема отражает структуру доказательства, в котором присутствуют переходы энтимемного типа.

Сущность доказательства заключается именно в логических взаимосвязях между его членами. Логическая структура доказательства отражает эти взаимосвязи. При традиционной форме записи содержательных доказательств в виде текста эти связи устанавливаются мысленно, без опоры на наглядные образы. Предлагаемая нами форма представления доказательства в виде дедуктивной схемы позволяет визуализировать логические взаимосвязи между предложениями – членами доказательства. В дедуктивной схеме члены доказательства явным образом упорядочиваютсяввидедеревавсоответствиисихлогическимивзаимосвязями.

4 Краткой будем называть дедуктивную схему, в которой присутствуют только энтимемные переходы.

40