Методика обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы. Монография

она понимает деятельность, связанную с проведением и анализом дедуктивных рассуждений и математических доказательств (см. §2 гл. 1).

Под обучением доказательству Г.И. Саранцев понимает "обучение учащихся анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию факта, поиску и конструированию доказательства, а также опровержению предложенных доказательств" [147, с. 88]. Г.И. Саранцев выделяет несколько уровнейобучениядоказательству.

К первому уровню обучения доказательству Г.И. Саранцев относит "формирование потребности в логических обоснованиях утверждений, навыков выполнения дедуктивных умозаключений и понимания того, что из одних предложений логическим путем можно получать новые предложения" [149, с. 34]. Формирование потребностей учащихся в логических обоснованиях, по мнению Г.И. Саранцева, обуславливает формирование мотивации к соответствующей деятельности. Первый уровень обучения доказательству Г.И. Саранцев называет

пропедевтическим.

По мнению Г.И. Саранцева, второй уровень включает в себя обучение учащихся проведению цепочки логических шагов в доказательстве и применению эвристических приемов [149, с.35]. Содержащиеся в первых разделах курса геометрии задачи на доказательство дают возможность совершенствовать навыки дедуктивных умозаключений. "Появление теорем, доказательство которых основано на 6 12 логических шагах, позволяет вести работу по приобщению школьников к разбору доказательств, формируя тем самым умение самостоятельно разбираться в готовых доказательствах" [149, с. 35].

Содержание следующего уровня, по мнению Г.И. Саранцева, составляет анализ доказательства: вычленение отдельных шагов, поиск и устранение логических пробелов, которые достаточно часто встречаются в доказательствах, приводимых в школьных учебниках; развертывание дедуктивных умозаключений в логическую схему (установление связи между отдельными шагами, их выделение, обоснование); выделение идеи доказательства и его воспроизведение, применение эвристическихприемов.

Содержанием следующего уровня Г.И. Саранцев считает формирование умения использовать методы научного познания и умения самостоятельно выпол-

11

нять доказательства. На этом этапе строятся доказательства по аналогии (7 8-ой классы) [149, с. 35].

На пятом уровне, согласно Г.И. Саранцеву, формируется умение критически оценивать результаты своей работы и работы своих товарищей в процессе опровержения предложенных утверждений. Этот уровень обучения доказательству относится к 9 11-м классам. Г.И. Саранцев считает его наиболее высоким, так как действия учащихся направлены не только на выявление ошибки в доказательстве, но и на ее исправление. [149, с. 36].

Внекоторых работах, связанных с обучением доказательству, исследованы трудности, возникающие у учащихся при анализе, поиске и построении доказательства (например, в работах Ф.Н. Гоноболина [39]), а также рассмотрены ошибки, допускаемые учащимися в рассуждениях (например, в книге Я.С. Дубнова

[54]).

Входе таких исследований авторы выделяют уровни понимания доказательства учащимися. Например, Ф.Н. Гоноболин выделяет следующие три уровня понимания доказательства [39]: учащиеся схватывают лишь отдельные фрагменты доказательства без последующей связи их друг с другом; учащиеся понимают последовательную связь отдельных элементов доказательства, но не могут выделить его логической схемы; учащиеся понимают идею доказательства.

И. Лакатос [90, с.50], ссылаясь на К. Поппера, указывает следующие уровни понимания учащимися доказательства: понимание готового доказательства; воспроизведениеготовогодоказательства; опровержениедоказываемойгипотезы.

Несомненно, повышение у учащихся уровня понимания изучаемых доказательств невозможно без обучения их дедуктивной деятельности. Самостоятельное построение доказательства вызывает у учащихся большие трудности, что, по-видимому, связано с их недостаточной дедуктивной подготовкой.

Как отмечают многие специалисты (см. [160], [149], [46], [164]), основная цель изучения доказательств заключается не в том, чтобы обосновать истинность доказываемых утверждений, а в том, чтобы научить учащихся логично рассуждать. Достижению именно этой основной цели и должно способствовать обучение доказательству.

В.А. Далингер к основным целям обучения доказательству в курсе математики относит: "обеспечение усвоения учащимися теоретических знаний по курсу ма-

12

тематики; формирование у учащихся представления о математике как о дедуктивной науке; обеспечение осознанности, глубины и устойчивости знаний; развитие мыслительной деятельности учащихся" [46, с.5]. При этом В.А. Далингер подчеркивает, что ведущей функцией обучения доказательству должна быть развивающая, анеинформационная[46, с.5].

Логическая составляющая обучения доказательству

Результаты анализа научно-методических исследований, связанных с обучением доказательству, дают основание полагать, что в обучении доказательству целесообразно выделять несколько составляющих: содержательную, интуитивноэвристическую и логическую. Содержательная составляющая обучения доказательству связана с учебным предметом, в рамках которого осуществляется это обучение, в частности предполагает обучение специальным математическим методам доказательства, например векторному или координатному методам в геометрии, методу интервалов в алгебре. Интуитивно-эвристическая составляющая обучения доказательству связана с формированием и развитием предметносодержательной интуиции и обучением предметно-содержательным эвристикам. Логическая составляющая обучения доказательству связана с обучением логическим средствам построения доказательств, развитием логической интуиции и логическойрефлексии.

В данном исследовании в центре внимания находится логическая составляющая обучения доказательству.

К логической составляющей обучения доказательству, следуя И.Л. Тимофеевой, мы относим: обучение методам доказательства; формирование понятия доказательства; обучение осознанному воспроизведению готового доказательства; обучение анализу доказательства как готовой конструкции с целью выявления его логической структуры и анализу фрагментов доказательства для выявления используемых дедуктивных средств; обучение анализу доказательств из учебника; обучение поиску и построению доказательства (с использованием логических эвристик); обучение распознаванию неправильных рассуждений и объяснению сути логических ошибок в них.

Некоторые специалисты в области методики преподавания математики (например, [160], [46], [164]) указывают на важную роль логической составляющей в обучении доказательству. О том, что научить школьников доказы-

13

вать невозможно без разъяснения используемых при этом логических средств очень образно написал А.А. Столяр: "Обучение же дедуктивному доказательству без разъяснения применяемой в нем логики … подобно обучению кладке кирпичной стены без всякого упоминания о растворе. Вот почему в результате такого обучения доказательству учащиеся часто строят "доказательства", которые разваливаются так же, как стены, сложенные из кирпича, не скрепленного раствором" [160, с. 68].

Однако, говоря об изучении готового доказательства или о поиске доказательства, мало кто упоминает о необходимости обучения учащихся дедуктивным средствам, которые используются в доказательстве. Безусловно, изучение конкретных математических доказательств интересно и полезно, но "обучение доказательствам на отдельных примерах без установления того общего, что есть в этих примерах и присуще всем доказательствам, имеет очень незначительный эффект в решении задачи овладения общими методами доказательств, средствами анализа ошибок в рассуждениях, понимания сущности доказательства" [169, с. 41]. Во всяком математическом доказательстве присутствуют содержательная и логическая компоненты. Взаимосвязь между членами доказательства – математическими предложениями, имеет логический характер. Обе компоненты доказательства тесно переплетаются и неразрывно связаны. При традиционном обучении практически не уделяется внимания логической компоненте доказательства. На наш взгляд, именно это и является одной из основных причин затруднений учащихся при доказательстве математических предложений.

Что касается необходимости разъяснения учащимся правил построения доказательства, А.А. Столяр отмечает, что "… умение рассуждать приобретается человеком не путем усвоения логических законов, на которых основаны человеческие рассуждения, аврезультатежизненного опыта. Людирассуждают, незнаяэтихзаконов, так же как они умеют разговаривать на родном языке и без знания грамматических правил этого языка. Но можно ли из последнего заключить, что бесполезно специально изучать строение родного языка, его грамматику? Очевидно, никто не сомневается в том, что пользования языком недостаточно и что последний долженбытьпредметомспециальногоизучения" [160, с. 197].

Мы не сомневаемся в том, что логическая составляющая играет важную роль в обучении доказательству, поэтому в данном исследовании все внима-

14

ние сконцентрировано на логической составляющей обучения доказательству, но это не означает, что мы недооцениваем роль формирования интуиции в этом обучении. Эта роль, несомненно, очень велика. Проблеме формирования интуиции, необходимой при построении доказательств, посвящено много работ. Особенно известными являются книги Д. Пойа [137, 138, 139], И. Лакатоса [90].

Роль интуиции в математическом творчестве и в математическом образовании высоко оценивал А. Пуанкаре [142]. "Нам нужна способность, которая позволяла бы видеть цель издали, а эта способность есть интуиция. Она необходима исследователю в выборе пути, она не менее необходима для того, кто идет по его следам и хочет знать, почему он выбрал его" [142, с. 166]. А. Пуанкаре также отмечает: "Нельзя все доказать и нельзя все определить. Приходится всегда делать заимствование у интуиции. Неважно, сделаем ли мы это заимствование немного раньше или немного позже, будет ли оно немного больше или меньше, лишь бы мы, правильно пользуясь теми посылками, которые даны нам интуицией, научились правильно рассуждать" [142, с. 361].

БольшоевниманиевопросаминтуициивобученииматематикеуделеновмонографииВ.И.Игошина[68]. В.И. Игошинотмечает, чтоформированиематематическойинтуициидолжнобазироватьсянаосознаниилогикипостроенияматематическихдоказательствиматематикивцелом. "Чтокасаетсяматематической интуиции, т.е. бессознательногооткрытияматематическихистин…, тоонаможет развиватьсяпреждевсегонаосновепрочныхматематическихзнаний, четкоосознаннойлогикиматематическойдисциплины. Бессознательныемыслительные процессывключаютсятолько нахорошоподготовленнойпочвесознательного усвоениялогическихконструкцийматематическойнауки" [68, с.49].

Проблеме формирования интуиции, необходимой при построении доказательств, можно посвятить не одно исследование. Однако в нашей работе решается другая мало исследованная проблема, которая связана с использованием логических средств в обучении доказательству.

Проблема строгости в обучении доказательству

При акцентировании внимания на логической составляющей обучения доказательству возникает проблема строгости в изложении доказательств для

15

учащихся. Крупнейшие математики и педагоги придавали особое значение вопросам строгости при изложении школьного курса математики.

Сторонником строгости в обучении доказательству был Д. Гильберт: "Будет большой ошибкой думать, что строгость в доказательстве – это враг простоты. Многочисленные примеры убеждают нас в противоположном: строгие методы являются в то же время простейшими и наиболее доступными. Стремление к строгости как раз и приводит к отысканию простейших доказательств" [140, с. 17].

Известный русский математик П.Л. Чебышев был сторонником строгости при изложении доказательств школьного курса математики. "Доказательства, лишенные строгости, – говорил он, – ничего, кроме вреда, принести не могут. Не говоря уже о напрасной потере времени, употребляемого на изучение таких доказательств, нестрогие доказательства вредно действуют на умственные способности учеников, приучая их видеть там достаточную причину, где ее нет.

Если что-либо не может быть строго доказано, необходимо это прямо сказать ученикам, а не вводить в заблуждение, предлагая им нестрогое доказательство" [141].

Многие специалисты в области методики, изучавшие проблему соотношения интуиции и строгости в изложении школьного курса математики, в частности В.И. Игошин и Т.С. Маликов, отмечают, что изучение строгих математических доказательств носит развивающий характер. Изучение строгих доказательств позволяет учащимся глубже понять логические методы доказательства, овладеть умениями, необходимыми для их использования при самостоятельном построении доказательств. В.И. Игошин подчеркивает, что "… часто мнение о трудности изучения математики связано именно с туманным и нечетким ее изложением на интуитивном уровне" [68, с.50].

Однако не стоит злоупотреблять излишней логической строгостью (подробностью) при построении доказательств. По мнению В.И. Игошина, "абсолютно логически строгое и пошагово безупречное доказательство теоремы не всегда приводит к пониманию учащимися этого доказательства" [68, с.50].

Кроме того, важная роль доказательств в обучении математике вовсе не означает, что необходимо приводить строгие доказательства всех утверждений, которые изучаются в школьном курсе математики. Более того, некоторые доказательства вовсе не следует приводить, например, если доказательство вы-

16

ходит за рамки школьного курса или же является совершенно аналогичным тому, которое уже проведено ранее. Особенно важно приводить те доказательства, которые оказывают существенное развивающее воздействие на учащихся.

Многие математики и специалисты в области методики преподавания математики (например, Ж. Адамар, А.Д. Александров, М.И. Башмаков, Г.В. Дорофеев, Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Мышкис и др.) отмечают, что обучение математике должно происходить на разумном уровне строгости.

Считаем, что и обучение доказательству также следует строить на разумном уровне логической строгости. Уровень логической строгости обучения доказательству определяется степенью внимания к компонентам логической составляющей этого обучения (к логическим средствам построения доказательств, анализу логической структуры доказательств, восстановлению пробелов в готовых доказательствах, полноте (подробности) построения доказательств и пр.). Разумеется, уровень логической строгости должен зависеть от возраста учащихся. Для учащихся младших классов уровень строгости должен быть ниже, чем для учащихся старших классов.

Логическаястрогостьобучениядоказательствуможетварьироватьсяидляоднойвозрастнойкатегории. Вчастности, ненакаждомурокеинекаждоедоказательствоцелесообразноподробноанализироватьивосстанавливатьвнемвсеили почтивселогическиешаги. Делатьэтоможнотолькоприизучениидостаточно простыхпосвоейлогическойструктуредоказательств, даитонекаждыйраз. Уровеньстрогостиизложениядоказательстввпределаходнойвозрастнойгруппы учащихся должен варьироваться: 1) в зависимости от содержания изучаемого материала (учителю не следует увлекаться логически строгим обоснованием очевидного факта); 2) в зависимости от структуры доказательства рассматриваемого утверждениякакприизучениитехническисложныхдоказательств(например, доказательства теоремы о формуле для нахождения корней квадратного уравнения), так и при изучении логически сложных и громоздких доказательств (например, доказательства теоремы о том, что модуль произведения двух действительных чисел равен произведению модулей этих чисел с разбором трех случаев) важно, чтобы учащиеся поняли идеюдоказательства; 3) взависимостиот математическойподготовки учащихся (при изложении какого-либо доказательства целесообразно подробно разворачивать те переходы, которые могут вызвать у учащихся трудности); 4) в зависимости

17

от изучаемого программного материала (например, при изучении свойств квадратного корня, перед тем как доказывать утверждение "Среднее геометрическое двух неотрицательных чиселнепревосходитихсреднегогеометрического", целесообразносначалаобсудитьсучащимисяидеюдоказательства, азатемразвернутьключевые переходыв этомдоказательстве(см. §2 гл. 2), основанные насвойствах квадратного корня).

1.2.Обзор исследований, связанных с логическими аспектами обучения доказательству

В60-х годах XX века появляются диссертационные исследования, в которых рассматривается использование элементов математической логики в обучении доказательству. Среди таких исследований, прежде всего следует отметить работы А.А. Столяра [159, 160].Он подчеркивает, что "проблема введения элементов логики в обучение математике состоит не в том, чтобы изучать специально и обособленно логику, а в том, чтобы элементы логики стали неотъемлемой частью самого преподавания математики – важным вспомогательным инструментом, повышающим эффективность обучения и влияющим на логическое развитие учащихся" [159, с. 20]. А.А. Столяр разработал методику формирования у учащихся понятия доказательства, основанную на понятии линейного доказательства. В его работах исследуются возможности использования элементов логической теории линейного вывода в обучении доказательству.

Вначале 70-х гг. разные исследователи (М.Е. Драбкина, Е.П. Маланюк, И.Л. Никольская, Б.Д. Пайсон и др.) уделяют большое внимание внедрению в школьный курс математики элементов логики.

Вработах И.Л. Никольской впервые исследовано понятие логической грамотности, уточнено содержание этого понятия и предложена методика привития логической грамотности школьникам. Под логической грамотностью школьников И.Л. Никольская понимает "свободное владение некоторым комплексом элементарных логических понятий и действий, составляющих азбуку логического мышления и необходимый базис для его развития" [128, с. 27]. В этой же работе И.Л. Никольская выделяет логические знания и умения, которыми должны владеть выпускники средней школы, среди которых: понимание смысла слов "следует" (логически), "равносильно", "необходимо", "достаточно"; умение проверить правильность рассуждения, обнаружить грубую логическую

18

ошибку; знание наиболее употребительных приемов доказательств [128, с. 28]. В своей работе И.Л. Никольская отмечает, что процесс формирования умения проводить доказательства математических утверждений является длительным, протекающим на протяжении всех лет обучения. И.Л. Никольская отмечает, что кратковременное обучению не дает заметного эффекта. Такой эффект можно достичь, если обучение соответствующим умениям и навыкам проводить в течение продолжительного времени.

Формированию основных понятий математической логики путем системы логических упражнений, направленных, в частности, на развитие логического мышления и органически связанных со школьным курсом математики, посвящена работа М.Е. Драбкиной [52].

Одной из немногих работ, которые можно отнести к теме логико-дедуктивной подготовки учащихся, является диссертация Б.Д. Пайсона [132], посвященная исследованию возможностей использования дедуктивных средств в обучении школьников доказательству. Методика изучения и применения этих средств разработана на основе алгебраического материала в курсе математики средней школы. Д.Б. Пайсон исследовал вопросы формирования умения проводить доказательные рассуждения на основе законов и правил формальной логики в курсе математики4 5-хклассовивкурсеалгебры6 8-хклассов.

С начала с 80-х годов некоторые логические аспекты обучения доказательству исследуются в диссертациях Э.И. Айвазяна, Ю.А. Бурлева, Т.А. Кондрашенковой, В.Н. Медведской и др.

В диссертационном исследовании Э.И. Айвазяна [2] рассмотрены различные методы доказательств, определены уровни усвоения учащимися этих методов и разработана методика планирования обязательного уровня усвоения методов геометрических доказательств. Э.И. Айвазян выделяет три блока знаний и умений, необходимых для проведения доказательств: содержательный, структурный, логический. К содержательному блоку относятся знания и умения по конкретному содержанию курса: ранее изученные математические понятия и факты, которые использованы в формулировке теоремы или на которые можно опираться при проведении рассуждений. К логическому блоку Э.И. Айвазян относит знания и умения, связанные с логическими правилами. Структурный блок содержит знания и умения, связанные с логической структурой теоремы и с возможностями проведения ее преобразований. Следует

19

отметить, что Э.И. Айвазян не говорит о необходимости анализа логической структуры доказываемого утверждения, но подразумевает проведение такого анализа для дальнейшего преобразования утверждения. На наш взгляд, необходимость анализа логической структуры доказываемого утверждения обоснована еще и тем, что проведение анализа дает возможность использовать в поиске доказательства логические эвристики, которые предложены в работах И.Л. Тимофеевой.

Висследовании Ю.А. Бурлева [22] разработана методика формирования обобщенных дедуктивных умений при обучении геометрии. Обобщенными дедуктивными умениями Ю.А. Бурлев называет умения анализировать учебные тексты с целью выявления сопряженных с ними умозаключений. По мнению Ю.А. Бурлева, обобщенные дедуктивные умения делятся на три группы. К первой группе относятся умения, связанные с выявлением дедуктивной значимости "текстов констатаций" – определений, описаний, формулировок теорем, свойств объектов. Ко второй группе относятся умения, связанные с дедуктивным осмыслением текстов рассуждений – доказательств теорем, решений задач. Отметим, что Ю.А. Бурлев выделяет две основные операции, в процессе применения которых происходит дедуктивное осмысление текста рассуждения: обоснование структуры рассуждения (выявление тех оснований, которые позволяют опираться на ту или иную посылку данного шага); варьирование структуры рассуждения (снятие, добавление или замена отдельных шагов, входящих в рассуждение). Первая операция сводится к ссылке на соответствующее определение, ранее доказанную теорему и т.д., а вторая операция позволяет выявить необходимость, роль и значение того или иного шага рассуждения. К третьей группе обобщенных дедуктивных умений Ю.А. Бурлев относит умения, связанные с дедуктивным осмыслением предписаний – формулировок задач на доказательство.

В90-х годах проблемы обучения доказательству исследовали В.Г. Ежкова, О.Н. Журавлева, Е. Тоцки и др.

О.Н. Журавлева [62] разработала методику обучения доказательству в курсе планиметрии средней школы. Соглашаясь с Г.И. Саранцевым, О.Н. Журавлева считает, что целенаправленный процесс формирования знаний и умений, адекватных доказательству утверждений, представляет собой последовательность

определенных этапов: работа с готовым доказательством, самостоятельный

20