Приборы и методы функциональной микроэлектроники. Учебное пособие

1.3. Поверхностные акустические волны Релея

Условие (28) означает отсутствие внешних сил на поверхности

. Среди решений, удовлетворяющих этим граничным условиям, будем искать решения, соответствующие поверхностным волнам, амплитуда которых затухает при удалении от поверхности в глубину среды (вдоль оси минуc ).

Рис. 7. Система координат задачи о распространении поверхностных упругих волн

этой волны лежит на свободной поверхности и определяется направляющими косинусами и , а амплитуда смещения экспоненциально затухает с расстоянием от поверхности. Чтобы получить выражение типа (16), использовавшегося ранее, введем обозначение , где ⁄ , а

является не третьей компонентой вектора , а неизвестной величиной, ко-

уравнение имеет три пары комплексно сопряженных корней. Физический

31

1. Физические основы акустоэлектроники

волнам с экспоненциально нарастающей вдоль оси минус х амплитудой. Каждому значению соответствует собственный вектор , и следовательно, смещение имеет вид

[ ( )].

Общее решение является линейной комбинацией этих трех компонент

и может рассматриваться как неявное уравнение относительно . После

32

1.3. Поверхностные акустические волны Релея

того как найдено значение , удовлетворявшее этому условию, становятся известными все , и весовые соотношения коэффициентов могут быть определены из (32).

В результате становятся известными все параметры поверхностной волны (29), удовлетворяющей теперь как волновому уравнению, так и граничным условиям.

1.3.2. Характеристики ПАВ Релея для изотропной подложки

Прежде чем приступить к решению задачи для случая изотропной подложки, следует вывести некоторые соотношения для тензора . Как указывалось выше (см. выражение (20)),

Поскольку в изотропной среде компоненты тензора модулей упругости определяются выражением (5), то компоненты тензора , можно записать в виде

две независимые части. Для одной части собственный вектор имеет только одну компоненту, перпендикулярную сагиттальной плоскости. Это приводит непосредственно к выводу, что объемная сдвиговая волна, распространяющаяся параллельно свободной поверхности и поляризованная перпендикулярно сагиттальной плоскости, удовлетворяет граничным условиям на свободной поверхности. Собственные векторы двух других парциальных волн имеют по две связанные компоненты смещений, лежащие в сагиттальной плоскости, и соответствуют решению для поверхностной волны. Детали решения мы приводить не будем, но схема состоит в определении

33

1. Физические основы акустоэлектроники

в(32). В рассматриваемом изотропном случае эти функции являются явными, а уравнение (33) становится неявным уравнением для скорости по-

на называется релеевской волной, и ее фазовая скорость, определяемая (37), может быть аппроксимирована выражением

34

1.3. Поверхностные акустические волны Релея

симости от глубины. На поверхности кварца частицы движутся по эллиптическим траекториям в направлении, обратном направлению движения частиц внутри кварца.

Таким образом, наиболее характерной особенностью поверхностных волн является то, что амплитуда возмущений становится пренебрежимо малой на глубине более чем несколько длин волн от поверхности. Этим активно пользуются на практике, создавая эффективные устройства возбуждения и управления ПАВ.

1.3.3.Характеристики ПАВ Релея для анизотропной подложки

Вподразд. 1.3.2 описаны самые общие свойства упругих поверхностных волн: эллиптически поляризованные смещения стремятся к нулю на глубине нескольких длин волн от свободной поверхности, а фазовая скорость того же порядка, что и скорость соответствующей сдвиговой волны. Эти свойства были установлены для изотропных подложек, но они справедливы в основных чертах и для анизотропных подложек, и очень важно помнить о них все время, когда будут вводиться эффекты анизотропии и пьезоэлектричества. Хотя эти последние эффекты и очень важны для конструирования приборов на поверхностных волнах, с точки зрения распространения волн они являются в известном смысле эффектами второго порядка.

Вотличие от изотропного твердого тела, анизотропия приводит к зависимости всех свойств ПАВ – фазовой и групповой скоростей, типа смещения от выбора конкретной плоскости кристалла в качестве свободной поверхности и от направления распространения волны.

Тем не менее, несмотря на экспериментальные и вычислительные

трудности, связанные с использованием анизотропных подложек, устройства на ПАВ обычно изготовляются на монокристаллических, а следовательно, на анизотропных подложках, так как только среди последних конструктор может найти необходимую комбинацию свойств: слабое затухание на высоких частотах и сильную пьезоэлектрическую связь.

Почти все явления, встречающиеся при рассмотрении основных используемых на практике геометрий распространения в анизотропных кристаллах, можно проиллюстрировать на примере главных плоскостей в кубических кристаллах. Таким образом, ограничим пока обсуждение этими плоскостями без учета влияния пьезоэлектричества.

35

1. Физические основы акустоэлектроники

Как уже отмечалось, кубические кристаллы имеют три независимые упругие постоянные, обозначаемые и В общем случае скорости всех трех объемных волн различаются при их распространении вдоль кристаллографических осей. Например, вдоль оси [110] продольная волна имеет скорость

√ ⁄ ,

а сдвиговые волны не вырождены: одна из них распространяется со скоростью

√⁄

иполяризована перпендикулярно базисной плоскости, а другая поляризована в базисной плоскости распространяется со скоростью [4]

√⁄ ,

где

и называется параметром упругой анизотропии кубического кристалла. Для изотропных кристаллов и, следовательно, . В табл. 2 приведены значения этого параметра для некоторых типов кубических кристаллов. Здесь же представлены соответствующие значения скоростей сдвиговых волн вдоль кристаллографической оси [100], где они вырождены, и ПАВ вдоль [100] на подложке (001).

Таблица 2

Значения параметра упругой анизотропии для некоторых кристаллов

Отличия по сравнению с изотропным случаем имеют место, когда

. Для иллюстрации рассмотрим два различных кубических кристалла: никель с , т.е. заметно больше единицы, и с , т.е. за-

36

1.3. Поверхностные акустические волны Релея

метно меньше единицы. Поведение волн для других кубических кристаллов может быть найдено интерполяцией результатов, полученных по этим двум примерам.

являются чисто мнимыми и характер изменения компонент смещения с глубиной такой же, как для изотропного твердого тела. В системе (42) приняты следующие обозначения:

При имеет место новое явление, которое часто встречается в анизотропных случаях, обусловленное тем, что относительные глубины проникновения имеют действительную часть, так что зависимость компонент смещения от глубины представляет собой экспоненциально затухающую синусоиду, а не просто экспоненту (см. рис. 10 – зависимость компонент смещения от глубины для ПАВ, распространяющихся вдоль оси третьего порядка в базисной плоскости никеля).

37

1. Физические основы акустоэлектроники

симметрии, поэтому поверхностная волна содержит только две компоненты, а ее поведение почти такое же, как вдоль оси третьего порядка. Наличие только двух компонент в сагиттальной плоскости обозначено кружками на этом и последующих рис.

При распространении волн в базисной плоскости в кубических кристаллах с (например, ) возникает еще одно явление. В этом случае характер смещения поверхностной волны непрерывно изменяется с изменением . Плоскость эллипса, описываемого частицами на поверхности, поворачивается по мере увеличения угла между волновым вектором и направлением [100] в сторону от сагиттальной плоскости, причем эллипс удлиняется параллельно поверхности, а глубина проникновения в подложку увеличивается. Как только волновой вектор приближается к направлению [110], волна вырождается в объемную сдвиговую волну с одной компонентой и обозначается

символом .

38

1.3. Поверхностные акустические волны Релея

Для случая (никель) поверхностная волна существует при всех углах, ее скорость зависит от направления распространения. Для направления [001] и [110], когда сагиттальная плоскость совпадает с плоскостью симметрии, присутствуют только компоненты смещения в сагиттальной плоскости, но для промежуточных направлений все три компоненты. Для этой геометрии в кристаллах с поверхностная волна имеет компоненты в сагиттальной плоскости только при распространении вдоль оси третьего порядка, как показано на рис. 11 для .

Но, когда направление распространения приближается к базисной плоскости, поверхностная волна постепенно вырождается в объемную сдвиговую, поляризованную в этой плоскости. Глубина проникновения волны в подложку увеличивается, и все более преобладают компоненты смещения, перпендикулярные сагиттальной плоскости.

На рис. 12 приведены скорости ПАВ для направления распространения в плоскости (111). При всех углах, исключая угол 30° с направлением [110], все три компоненты смещения связаны друг с другом. Однако вдоль направления под углом 30° присутствуют только две компоненты в сагиттальной плоскости. В противоположность предыдущим случаям, сдвиг компонент по фазе в эллиптически поляризованном смещении не ра-

Рис. 12. Зависимости нормирован-

вен , и, поэтому, главная ось эллипса

сти распространения ПАВ в анизотропных подложках сводятся к следующим отличиям от изотропного тела.

1. Скорость поверхностных волн зависит от направления распространения в плоскости свободной поверхности, за исключением случая поверхности, перпендикулярной оси симметрии шестого порядка ( ).

2. Если сагиттальная плоскость не является плоскостью симметрии упругих свойств, вместо двух появляются три ортогональные компоненты вектора смещения. Конец вектора описывает эллипс в плоскости, лежащей под углом к сагиттальной плоскости.

39

плексные. Следовательно, амплитуды компонент вектора смещения стремятся к нулю, осциллируя при этом, как показано на рис. 9.

В общем случае направление потока энергии не совпадает с направлением распространения волны. Чистыми модами волны Релея являются лишь при распространении в определенных плоскостях и вдоль особых направлений, имеющих важное практическое значение. Эти направления для кубических кристаллов на рис. 9, 11, 12 обозначены символом .

1.3.4. ПАВ Релея в пьезоэлектрических кристаллах

При анализе распространения волн в пьезоэлектрике в принципе нужно решить одновременно уравнение Ньютона и уравнение Максвелла. Решения представляют собой смешанные упруго-электромагнитные волны, т.е. упругие волны со скоростью распространения , сопровождаемые электрическим полем, и электромагнитные волны со скоростью распространения , сопровождаемые механической деформацией. Для первого типа волн можно пренебречь магнитным полем, которое создается электрическим, перемещающимся со скоростью , малой по сравнению со скоростью электромагнитной волны. Тогда согласно уравнению Максвелла

и электрическое поле выражается как в электростатике, через скалярный потенциал , т.е. .

Электромагнитная энергия пренебрежимо мала по сравнению с упругой энергией. Напротив, для второго типа волн упругая энергия оказывается пренебрежимо малой по сравнению с энергией электромагнитного поля.

Таким образом, даже в сильных пьезоэлектриках взаимодействие между тремя упругими и двумя электромагнитными волнами оказывается весьма слабым из-за большой разницы соответствующих скоростей. Следовательно, распространение волн можно рассматривать независимо: упругие волны рассматриваются без учета электромагнитных эффектов в предположении, что поле является электростатическим, т.е. в квазистатическом приближении.

Как неоднократно отмечалось выше, пьезоэлектричество обуславливает только эффекты второго порядка по отношению к основным механиче-

40