Приборы и методы функциональной микроэлектроники. Учебное пособие

1.1. Общая характеристика основных типов упругих волн в твердом теле

ной изотропной среде волновой вектор и вектор поляризации волны параллельны. Частицы А, В, С колеблются вдоль одной прямой. В заданный момент времени волна представляет собой последовательность областей сжатия и растяжения. Примером продольных волн могут служить звуковые или акустические волны в жидкостях и газах.

Рис. 1. Продольные упругие волны

Второй тип – это поперечные или сдвиговые волны, вызывающие при своем распространении смещение частиц перпендикулярно волновому вектору. Сдвиговые упругие волны существуют в твердом теле, которое, в отличие от жидкостей и газов, наряду с сопротивлением объемным деформациям обладает также сопротивлением деформации сдвига, когда элементарный объем среды не меняется (рис. 2). Как видно из рис. 2, в случае поперечной волны частицы А, В и С отклоняются в обе стороны от прямой, на которой они находятся в отсутствии волны. Плоскости, перпендикулярные волновому вектору, скользят одна относительно другой. Если среда анизотропна, то в любом направлении могут распространяться три волны и ни одна из них не является ни чисто продольной, ни чисто поперечной [1].

1.Квазипродольная волна, где частицы среды совершают колебания вдоль направления, образующего с волновым вектором угол, отличный от нуля.

2.Быстрая квазипоперечная волна.

3.Медленная квазипоперечная волна.

Поляризации этих трех волн, распространяющихся с разными скоростями, всегда взаимно перпендикулярны. Векторы потока энергии, определяющие направление переноса энергии для каждой из волн, образуют разные углы с волновыми векторами.

11

1. Физические основы акустоэлектроники

Рис. 2. Поперечные упругие волны

Очевидно, что такие волны не представляют интереса для практических применений из-за многомодовости, которая приводит к неоднозначности при аналоговой обработке сигналов. Поэтому предпочтительнее выбирать особые направления в анизотропных кристаллах – ось симметрии, вдоль которых распространяются чистые моды. Для реализации такой ситуации на практике следует волноведущую структуру (образец) вырезать вдоль осей чистой моды и ориентацией преобразователя давать направление распространения упругой волны вдоль этой оси, где вектор энергии и волновой вектор параллельны, как в изотропном твердом теле.

Таким образом, в неограниченных изотропных твердых телах в любом направлении и вдоль осей симметрии анизотропной среды могут независимо распространяться две упругие или, как их часто называют, акустические волны: продольная и поперечная, скорость которой всегда меньше, т.е.

>√ . Например, для плавленого кварца = 6,02*105 см/с [2].

1.1.2. Упругие волны вблизи границы раздела твердое тело – воздух. Поверхностные акустические волны Релея

Независимое распространение двух типов акустических волн в твердом теле возможно только в неограниченной среде. Наличие границы приводит к тому, что вблизи нее продольные и поперечные волны перестают быть независимыми. Тем более, что для ограниченной среды должны выполняться граничные условия для механических и электрических (в случае пьезоэлектрической среды) величин. Например, отсутствие механических напряжений на свободной поверхности; непрерывность нормальных составляющих вектора электрической индукции. В связи с этим волны, распространяющиеся вблизи границ среды, не являются простыми волнами, поскольку они содержат продольную и одну или две поперечные компоненты.

12

1.1.Общая характеристика основных типов упругих волн в твердом теле

Ктаким волнам относится поверхностная акустическая волна Релея, названная по имени ученого, открывшего эти волны в 1885 г., свободно распространяющаяся вдоль поверхности, разделяющей твердое тело и воздух.

В простом случае изотропного твердого тела эта волна содержит про-

дольную и поперечную компоненты, сдвинутые по фазе на . Поэтому частицы среды описывают эллипсы, лежащие в плоскости, проходящей через направление распространения волны и нормаль к поверхности. Такая плоскость называется сагиттальной [1, 2] (рис. 3). Как видно из рис. 3, в случае поверхностной волны Релея конец вектора поляризации описывает на поверхности эллипс обратного знака. Смещение равно нулю на глубине

(рис. 3, а). Искривления, вызываемые волной на поверхности твердого тела, показаны на рис. 3, б.

Рис. 3. Поверхностная акустическая волна Релея

Амплитуды продольных и поперечных смещений релеевской волны быстро затухают в глубине тела, причем затухание происходит по экспоненциальному закону. В результате энергия поля релеевской волны существенно отлична от нуля лишь в приповерхностном слое, толщина которого

скорость распространения ПАВ Релея. Причем как продольные, так и поперечные смещения в волне Релея распространяются с одной и той же ско-

13

1. Физические основы акустоэлектроники

ростью . Скорость гармонической релеевской волны не зависит от частоты, т.е. волна не обладает дисперсией и определяется только упругими свойствами среды. Эта скорость может быть приближенно выражена через

нием упругих напряжений, а значит, и энергия волны.

Каждая из компонент релеевской волны убывает с глубиной поразному. Поскольку продольная компонента меняет знак, проходя через нуль на глубине, примерно равной 0,2 , поляризация волны становится чисто поперечной, а затем опять эллиптической с противоположным направлением вращения. Смещение частиц становится равным нулю, начиная с глубины порядка 2 . Для наблюдателя, относительно которого волна движется слева направо, вращение частиц непосредственно вблизи поверхности в данном сечении происходит против часовой стрелки.

Релеевская волна по своей структуре напоминает капиллярногравитационные волны на поверхности жидкости, где частицы вращаются всегда по кругу в направлении движения часовой стрелки. Однако если не считать описанных различий в структуре поля, то между релеевскими волнами и волнами на поверхности жидкости имеется много общего. В частности, форма рельефа поверхности, вдоль которой распространяется релеевская волна (рис. 3,б), практически не отличается от хорошо всем знакомой картины волн на поверхности жидкости.

Скорости ПАВ Релея и волн на воде, однако, различаются очень сильно. Если 3,5·105 см/с и не зависит от частоты, то для волн на воде, наблюдаемых в тихую погоду, 200 см/с и зависит от длины волны.

В чем же главные особенности поверхностных волн, отличающие их от волн объемных? Прежде чем ответить на этот вопрос, рассмотрим взаимосвязь между потенциальной и кинетической энергиями релеевской волны.

14

1.1.Общая характеристика основных типов упругих волн в твердом теле

Вобычной плоской акустической волне в каждой точке пространства

Эта особенность поверхностных волн и позволила Релею высказать предположение об их особой роли в сейсмических явлениях.

Многочисленные сейсмологические наблюдения показывают, что в точку наблюдения, которая может находиться за тысячи километров от эпицентра землетрясения, первыми приходят объемные продольные, а затем поперечные волны, распространяющиеся примерно по хорде сквозь толщу земли. И, наконец, некоторое время спустя регистрируются пришедшие вдоль поверхности земли релеевские волны, амплитуды которых благодаря меньшей пространственной расходимости намного превышают амплитуды объемных волн.

Другая важная особенность релеевских волн состоит в том, что они весьма чувствительны к форме поверхности, вдоль которой распространяются. Если поверхность достаточно гладкая и физические свойства ее не изменяются в пределах нескольких длин волн, то релеевская волна беспрепятственно ее огибает. Если же кривизна и физические свойства резко изменяются, поверхностная волна испытывает интенсивное рассеяние. Оба эти свойства находят широкое применение на практике. В частности, для ультразвуковой поверхностной дефектоскопии по рассеянию сигналов можно судить о различных поверхностных дефектах, имеющихся в твердом теле, например, об изломах и трещинах. Более того, форма поверхности, ее радиусы кривизны сильно влияют на скорость релеевской волны и ее тра-

15

1. Физические основы акустоэлектроники

екторию. Если поверхность имеет переменную кривизну, то на ней волна описывает сложную траекторию, отклоняясь в область с большей кривизной, и при определенных условиях движется как по волноводу (топографический волновод). Такие специально изготовленные направляющие системы для ПАВ Релея представляют интерес для радиотехнических приложений, так как с их помощью можно практически без потерь передавать энергию высокочастотных поверхностных волн на большие расстояния.

Наличие кривизны определенного радиуса сказывается не только на изменении свойств релеевских волн, но и приводит к возникновению новых типов поверхностных волн. Среди них, прежде всего, следует назвать так называемые волны типа "шепчущей галереи". Эти волны поляризованы параллельно поверхности и перпендикулярно направлению распространения. На уровне качественной оценки их возникновение можно объяснить последовательным отражением поляризованной параллельно поверхности сдвиговой объемной волны от выпуклой искривленной границы. Несколько экзотическим названием эти волны обязаны круговой галерее в цоколе собора Святого Павла в Лондоне. Эта галерея известна тем, что даже тихий шепот человека, стоящего у ее стены, хорошо понятен слушателю, находящемуся на значительном расстоянии, если он также стоит около стены.

1.2. Упругие волны в неограниченном кристалле

Компоненты смещения точки, или точнее, бесконечно малого объема рассматриваемой твердой однородной среды, в соответствующей ДСК обозначим . Будем считать, что в среде, через которую проходит некоторое возмущение, все точки находятся в локальном движении. Смещение каждой материальной точки изменяется во времени по закону .

1.2.1. Элементы статической теории упругости

1.2.1.1. Тензор напряжений

Силы, действующие на бесконечно малый объем со стороны окружающей среды, определяются компонентами симметричного тензора напряжений – это девять величин, которые образуют тензор второго ранга. Компоненты вводятся следующим образом: – i-я компонента силы, действующая на единицу поверхности, перпендикулярную оси . Например, компонента (рис. 4) определяется из соотношения

16

1.2. Упругие волны в неограниченном кристалле

Рис. 4. К определению элементов тензора напряжений

В теории упругости доказывается, что тензор напряжений – симмет-

,– тангенциальные напряжения.

1.2.1.2. Тензор деформаций

Деформация упругого прямого стержня определяется как предел от-

ния этих материальных точек в деформированном стержне.

В примере со стержнем под действием силы точки могут смещаться на разные расстояния, но только вдоль одного направления, так что деформация сводится к удлинению, если не принимать во внимание уменьшение диаметра. В общем случае твердого тела произвольной формы нет никаких оснований для того, чтобы две его точки, как бы близки они ни были, под действием внешних сил смещались в одном направлении. Таким образом, отдельные участки деформированного тела отклоняются от положений равновесия не только на разную величину, но и под разными углами.

Для характеристики деформации твердого тела вводится тензор деформаций. Это тензор второго ранга. Он образован девятью величинами , где =1, 2, 3. Если деформации малы, то

17

1. Физические основы акустоэлектроники

девяти его компонент различны только шесть.

1.2.1.3. Закон Гука. Тензор модулей упругости

Будем считать, что в отсутствие пьезоэлектрического эффекта деформация является упругой. Напомним, что среда называется упругой, если ее

первоначальная конфигурация восстанавливается, когда перестают действовать внешние силы. Возврат в исходное состояние происходит за счет работы внутренних сил, при этом напряжения и деформации одновременно становятся равными нулю. В упругой среде между напряжениями и деформациями существует взаимно однозначное соответствие. Опыт показывает, что упругие свойства большей части веществ при условии малости деформаций описываются членом первого порядка в разложении в ряд Тейлора функци

вертого ранга, называемый тензором модулей упругости [1, 2, 3]. Тензор

док не играет никакой роли, то существует только шесть различных парных комбинаций, пронумерованных от 1 до 6:

18

1.2. Упругие волны в неограниченном кристалле

твердого тела. Физические константы изотропного материала, по определению, не зависят от выбора системы координат. В частности, тензор модулей упругости инвариантен относительно любых преобразований ортогональных систем координат (вращения, инверсии относительно точки, отражения в плоскости). Однако таким свойством обладает только скаляр или единичный тензор , следовательно, каждую компоненту можно выразить через составляющие единичного тензора. В силу симмет-

19

1. Физические основы акустоэлектроники

Симметрия кристалла накладывает дополнительные ограничения на число независимых компонент различных тензоров. Например, в изотропном кристалле имеет две такие компоненты, в кубическом – 3, тригональном (кварц) – 6; – тензор диэлектрической проницаемости в изотропном и кубическом кристаллах имеет одну, а в тригональном – две независимые компоненты.

Пропорциональность напряжений и деформаций выражает закон Гука. Выражая деформации через смешения, можно записать закон Гука (3) в виде

В статической теории упругости показано, что сила, действующая на единичный объем тела, испытывающий внутренние напряжения , равна

20