Приборы и методы функциональной микроэлектроники. Учебное пособие

1.2.Упругие волны в неограниченном кристалле

Ввыражении (9) используется суммирование по повторяющимся ин-

дексам

.

C учетом (8) уравнение движения бесконечно малого объема в отсутствие внешних сил (уравнение (9)) примет вид

1.2.3. Волновое уравнение

Поскольку пьезоэлектричество влияет на многие особенности поверхностных волн, целесообразно ввести его в исходные уравнения. Это

Поскольку под действием пьезоэлектрического эффекта в материале возникает электрическая поляризация, то полная электрическая индукция в пьезоэлектрическом кристалле может быть записана в виде

приводит к уменьшению числа независимых компонент тензора .

Так как интересующее нас возмущение распространяется со скоростью звуковой, а не электромагнитной волны, связанное с ним электрическое поле в квазистационарном приближении может быть представлено как градиент переменного во времени скалярного потенциала . Таким образом, свойства материала вводятся в систему уравнений, записанных через компоненты механических смещений

21

1. Физические основы акустоэлектроники

Выражение (14) представляет собой компактную форму записи трех волновых уравнений для компонент смещения ( = 1,2,3). Уравнение (15) – форма записи анизотропного уравнения Лапласа. Для твердых пьезоэлектриков все четыре уравнения: три уравнения (14) и уравнение (15) связаны между собой компонентами пьезоэлектрического тензора. Для непьезокристаллов правые части уравнений (14) и (15) равны нулю.

Хотя основной интерес для акустоэлектроники представляют поверхностные волны, рассмотрим сначала неограниченную среду и распространение объемных упругих волн в этой среде. Тогда решение уравнений (14) и (15) будем искать в виде плоской волны

ние частиц или потенциал не изменяются в направлениях, перпендикулярных направлению распространения. Отметим также, что ни потенциал, ни связанное с ним электрическое поле не являются электромагнитными по своей природе, а вызываются волной, имеющей преимущественно механическую природу и распространяющейся со скоростью .

Если направление волнового вектора известно, например, задано преобразователем, то уравнение (15) позволяет выразить амплитуду потенциала через амплитуды механических смещений

22

1.2. Упругие волны в неограниченном кристалле

(17)

и, таким образом, исключить ее из уравнения (14), которое с учетом (16) и (17) примет вид

Таким образом, пьезоэлектричество "ужесточает" упругие свойства твердо-

электриках мало отличается от таковых в отсутствие пьезоэлектрических свойств. Величина называется тензором коэффициентов электроме-

ханической связи [1, 2] и определяет эффективность преобразования электромагнитной волны в акустическую.

вектора , представляющих собой три различных решения для плоских волн в предполагаемом направлении распространения. Единичные векторы поляризации этих трех плоских волн взаимно ортогональны, и в общем случае все они распространяются с различными скоростями, не зависящими от частоты. Вектор поляризации одной из этих волн более или менее параллелен избранному направлению распространения, поэтому она может быть названа квазипродольной волной.

Векторы поляризации двух других волн почти перпендикулярны направлению распространения и могут быть названы квазипоперечными волнами, или квазисдвиговыми волнами. Фазовые скорости квазипродоль-

23

1. Физические основы акустоэлектроники

ных волн обычно в 2 или 3 раза больше, чем скорости соответствующих поперечных волн. Поскольку в общем случае скорость данной волны зависит от направления ее распространения в кристалле, то групповая скорость не всегда параллельна фазовой скорости. Возможные следствия этого обсуждаются ниже в связи с поверхностными волнами. Для объемных волн существуют направления, в которых вследствие кристаллографической симметрии существуют чисто поперечные и чисто продольные моды, причем для каждой такой моды вектор групповой скорости параллелен вектору фазовой скорости. Такие направления могут быть названы направлениями "чистой моды". Очевидно, что в изотропном твердом теле любое направление есть направление «чистой моды». Например, для кубического кристалла кремния направления «чистой моды и соответствующие значения скоростей распространения объемных упругих волн можно указать с помощью табл. 1.

Таблица 1

Для изотропного твердого тела, как уже отмечалось, имеются две не-

тому, что объемные волны в неограниченной изотропной среде в любом направлении распространения представляют собой одну продольную волну

24

1.2.Упругие волны в неограниченном кристалле

идве вырожденные поперечные волны с соответствующими скоростями распространения:

гих постоянных, соответствующих данной моде. Таким образом, пьезоэф-

1.2.4. Поток упругой энергии

Распространение упругой волны сопровождается переносом энергии. Покажем, что этот перенос может быть выражен через поток вектора Умова – Пойнтинга, равный количеству энергии, переносимой волной за единицу времени через единицу площади. Также в этом подразделе для случая плоской волны будут вычислены компоненты вектора скорости переноса энергии, равного отношению вектора Умова – Пойнтинга к плотности энергии.

1.2.4.1. Вектор Умова – Пойнтинга

Работа, совершаемая внешними силами в процессе деформации, накапливается в теле в виде потенциальной энергии. Как только внешние силы перестают действовать, энергия упругой деформации преобразуется в работу упругих сил, за счет чего тело принимает первоначальную форму. Работа внешних сил при деформации тела, затрачиваемая на изменение смещения , складывается из работы объемных и поверхностных сил:

∫ ∫ ,

где – сила, действующая на единицу массы, и – сила, действующая на единицу поверхности. Выражение для можно записать также в виде

∫∫ .

Предположим, что в каждый момент времени устанавливается равновесное состояние, соответствующее величине приложенных сил; тогда из-

менение состояния является термодинамически обратимым процессом и,

следовательно, выполняются условия равновесия

25

1. Физические основы акустоэлектроники

Используя теорему Остроградского – Гаусса, преобразуем второе слагаемое.

Тогда

∫∫

Беря производную под знаком интеграла и перегруппировывая слагаемые, можно в правой части равенства выделить под интегралом величину

⁄, которая в любой момент времени равна нулю в силу усло-

вия равновесия

Таким образом, в статической теории упругости выражение для работы внешних сил, затрачиваемой на элементарное изменение состояния, принимает вид

или, поскольку ,

где – деформация единицы объема (см. выражение (19)).

В динамической теории упругости, которую мы рассматриваем, сила, действующая на единицу объема, не равна нулю:

.

Тогда выражение для работы, совершаемой внешними силами в твердом теле объемом V0, можно записать в виде

26

1.2. Упругие волны в неограниченном кристалле

ветственно плотности кинетической и потенциальной упругой энергии, выражение (22) можно записать в виде

∫

принимает вид

∫

Здесь введен вектор с компонентами

Вектор называется вектором Умова – Пойнтинга, его направление является направлением распространения энергии, а длина равна количеству энергии, переносимому через единицу поверхности, перпендикулярной к направлению распространения энергии, за единицу времени (плотность потока мощности). Обозначим через скорость переноса энергии, а через

– полную энергию единицы объема. Тогда . Вектор скорости переноса энергии, параллельный вектору силы , выражается в виде

⁄

27

1.Физические основы акустоэлектроники

1.2.4.2.Скорость переноса энергии плоской упругой волной

Вдинамической теории упругости показано, что скорость переноса энергии плоской упругой волной совпадает с групповой скоростью ,

определяемой соотношением ⁄ . Проекция скорости переноса энергии на направление распространения равна фазовой скорости, т.е.

Рис. 5. К определению скорости переноса энергии плоской упругой волной

связь между направлением потока энергии и фазовой скоростью с помощью, так называемых характеристических поверхностей.

1.2.4.3. Характеристические поверхности

Проведем из начала координат перпендикулярно фронту волны век-

пространения, называется поверхностью скоростей.

Поверхностью обратных скоростей ( ) называется геометрическое место концов векторов ⁄ , проведенных из заданной точки 0. Поскольку векторы и коллинеарны и , то поверхности скоростей и обратных скоростей связаны друг с другом операцией инверсии относительно единичной сферы с центром инверсии в начале координат 0. Поверхность обратных скоростей или, как ее часто называют, кривая медлительности [2], интересна тем, что, наряду с фазовой скоростью, позволяет

28

1.2. Упругие волны в неограниченном кристалле

Принимая это условие ортогональности для всех векторов , лежащих в плоскости, касательной к поверхности обратных скоростей, получаем, что скорость переноса энергии в каждой точке нормальна к поверхности обратных скоростей [1].

Рис. 6. Характеристическая поверхность

1.2.4.4. Случай пьезоэлектрического твердого тела

При распространении акустической волны в пьезоэлектрическом твердом теле средний во времени поток энергии через единицу площади, перпендикулярной координате в квазистатическом приближении, определяется выражением

29

1. Физические основы акустоэлектроники

Для анизотропных сред формула (26) имеет очень сложный вид. Тем не менее всегда можно выделить три основных типа вкладов в поток энергии, связанных с волной в каждой точке пространства. Первый вклад дают члены вида , обусловленные учетом только механических смещений

втензоре напряжений. Второй – чисто электрический вклад членов вида

,представляющих собой квазиэлектростатическую энергию электрического поля, распространяющегося вместе с волной. Наконец, существует

электромеханический вклад членов вида . Отметим, что если бы мы имели дело с однокомпонентной плоской волной и величины , , были скалярными, то отношение потока электрической энергии к геометрической сумме двух других потоков определялось бы квадратным корнем из коэффициента электромеханической связи ⁄ , введенного в (19). Для анизотропного случая и для поверхностной волны эта идентификация не всегда применима непосредственно, однако иногда является полезным приближением.

Как уже отмечалось, К2 < 0,05, вследствие чего акустическая волна, распространяющаяся в свободной от источников области твердого тела, является преимущественно упругой в том смысле, что в потоке энергии (26) преобладают члены с . Поэтому можно ограничиться случаем распространения акустических волн в анизотропных подложках без учета пьезоэлектричества. Следовательно, поток энергии через единицу площади в

1.3.Поверхностные акустические волны Релея

1.3.1.Общая схема решения граничной задачи

При решении задачи о распространении поверхностных упругих волн будем пользоваться системой координат, приведенной на рис. 7.

Если есть внешняя нормаль к поверхности и начало декартовой системы координат находится на поверхности раздела полубесконечной твердой подложки и свободного пространства, то механические граничные условия имеют вид

(28)

30