Основы теории рядов. Учебное пособие для студентов-бакалавров ИТТСУ
.pdfМИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»
________________________________________________
Кафедра «Высшая и вычислительная математика» ИТТСУ
С.И.Вдовина, Н.А.Корниенко, Н.Н.Субоч
ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ
Учебное пособие для студентов-бакалавров ИТТСУ
Москва – 2020
УДК 517
В 25
Вдовина С. И., Корниенко Н. А., Субоч Н. Н. Основы теории рядов: Учебное пособие для
студентов-бакалавров ИТТСУ. – М.: РУТ (МИИТ),
2020. – 111 с.
Учебное пособие содержит краткие теоретические сведения, примеры с подробными решениями и задачи по теме «Ряды». Задачи объединены в задания по разделам в количестве 30 штук по каждому и могут использоваться преподавателями на аудиторных занятиях или предлагаться студентам для самостоятельного выполнения в качестве индивидуального домашнего задания. Учебное пособие предназначено студентам 2 курса ИТТСУ РУТ (МИИТ) специальностей ТКТ, ТСС, ТМО, ТМН.
Рецензенты:
исполняющая обязанности заведующего кафедрой «Математическое моделирование и системный анализ» РУТ (МИИТ) кандидат физикоматематических наук доцент Зверкина Галина Александровна; доцент кафедры Прикладной математики ФГБОУ ВО
МГТУ «Станкин», к.ф.-м.н. Петросян Наталья Семеновна.
© РУТ (МИИТ), 2020
Содержание
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ............................................................ |
6 |
ЗАДАНИЕ 1 ............................................................................ |
6 |
1. ЗНАКОПОСТОЯННЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.......... |
6 |
1.1. Теоретические вопросы ............................................... |
6 |
1.2. Краткие теоретические сведения ................................ |
6 |
1.3. Примеры для выполнения задач задания 1 .............. |
12 |
Задача 1............................................................................... |
16 |
Задача 2............................................................................... |
20 |
Задача 3............................................................................... |
24 |
Задача 4............................................................................... |
28 |
Задача 5............................................................................... |
32 |
ЗАДАНИЕ 2 .......................................................................... |
34 |
2. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ........ |
34 |
2.1. Теоретические вопросы ............................................. |
34 |
2.2. Краткие теоретические сведения .............................. |
34 |
2.3. Примеры для выполнения задач задания 2 .............. |
37 |
Задача 6............................................................................... |
40 |
Задача 7............................................................................... |
44 |
ЗАДАНИЕ 3 .......................................................................... |
46 |
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ........................................................ |
46 |
3.1. Теоретические вопросы ............................................. |
46 |
3 |
|
3.2. Краткие теоретические сведения .............................. |
46 |
3.3. Примеры для выполнения задач задания 3 .............. |
50 |
Задача 8............................................................................... |
54 |
Задача 9............................................................................... |
58 |
Задача 10............................................................................. |
60 |
ЗАДАНИЕ 4 .......................................................................... |
64 |
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ |
|
РЯДЫ..................................................................................... |
64 |
4.1. Теоретические вопросы ............................................. |
64 |
4.2. Краткие теоретические сведения ............................. |
64 |
4.3. Примеры для выполнения задач задания 4 .............. |
67 |
Задача 11............................................................................. |
74 |
ЗАДАНИЕ 5 .......................................................................... |
79 |
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ |
|
ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ |
|
РЯДОВ................................................................................... |
79 |
5.1. Теоретические вопросы ............................................. |
79 |
5.2. Краткие теоретические сведения .............................. |
79 |
5.3. Примеры для выполнения задач задания 5 .............. |
81 |
Задача 12............................................................................. |
87 |
Задача 13............................................................................. |
89 |
ЗАДАНИЕ 6 .......................................................................... |
93 |
РЯДЫ ФУРЬЕ .................................................................... |
93 |
4 |
|
6.1. Теоретические вопросы ............................................. |
93 |
6.2. Краткие теоретические сведения .............................. |
93 |
6.3. Примеры для выполнения задачи задания 6............ |
96 |
Задача 14........................................................................... |
101 |
5
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
ЗАДАНИЕ 1
1.ЗНАКОПОСТОЯННЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
1.1.Теоретические вопросы
1.Основные понятия и определения: числовой ряд, общий член числового ряда, сумма ряда, n-ая частичная сумма ряда, сходящийся ряд, расходящийся ряд.
2.Необходимый признак сходимости ряда.
3.Основные теоремы о сходящихся числовых рядах.
4.Основные признаки сходимости рядов с положительными членами: признак Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши, предельный признак сравнения.
5.Ряды, часто используемые для сравнения.
1.2. Краткие теоретические сведения
Если |
|
, |
, |
, … , , … , где |
|
|
= ( ) − |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
бесконечная числовая последовательность, то выражение
+ |
2 |
+ + + + … |
называется |
бесконечным |
|||
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
числовым рядом, а |
числа |
, , , … , , … − членами |
|||||
|
|
|
|
|
1 2 3 |
|
|
ряда; |
|
= ( ) − общим |
членом |
ряда. |
Ряд часто |
||
записывают в виде:
∞
∑ .
=1
6
|
Сумма первых n членов числового ряда обозначается |
|||
через |
|
и называется |
n-ой частичной суммой ряда: |
|
|
|
|
|
|
= + + + + . |
||||
|
1 |
2 |
3 |
|
Ряд называется сходящимся, если его n-ая частичная сумма при неограниченном возрастании n стремится к конечному пределу, т. е. если
|
|
lim = , |
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
где число |
называют суммой ряда. |
|
|
||
Если |
же |
n-ая частичная |
сумма |
ряда |
при |
|
|
|
|
|
|
неограниченном |
возрастании |
не |
стремится |
к |
|
конечному пределу, то ряд называется расходящимся.
Основные теоремы о сходящихся числовых рядах
1. Необходимый признак сходимости ряда
Если ряд 1 + 2+ 3 + сходится, то при → ∞ предел общего члена сходящегося ряда равен нулю, т. е.
lim = 0 . |
Если же |
lim |
≠ 0, то |
числовой |
ряд |
||
→∞ |
|
|
|
→∞ |
|
|
|
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
2. Если сходится ряд |
1 + 2+ 3 + , |
то сходится и ряд |
|||||
|
+ |
+ |
+ , получаемый |
из данного |
ряда |
||
+1 |
+2 |
+3 |
|
|
|
|
|
отбрасыванием первых членов. Последний ряд называется m-ым остатком исходного ряда. Из
сходимости m-го остатка |
ряда вытекает сходимость |
данного ряда. |
|
|
7 |
3. |
Если сходится ряд 1 + 2+ 3 + |
|
и |
его суммой |
||||
является число , то сходится и ряд |
1 |
+ 2+ 3 + , |
||||||
причем его сумма равна |
. |
|
|
|
|
|
||
4. |
Если сходятся ряды 1 |
+ 2+ 3 + ; 1 |
+ 2+ 3 + , |
|||||
имеющие соответственно |
суммы |
|
и |
|
, |
то сходится |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и ряд (1 + 1) + (2+ 2) + (3 |
+ 3) + , |
причем его |
||||||
сумма равна |
+ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.Сумма ряда не изменится, если члены сходящегося ряда, не меняя их порядка, объединить в группы.
6.Сходимость ряда не нарушится, если у сходящегося ряда заменить или переставить местами несколько членов.
Числовой ряд называется знакоположительным, если все его члены неотрицательные. Если ряд является знакоположительным, то последовательность его частичных сумм монотонно возрастает. Чтобы знакоположительный ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен (это следует из теорем о монотонных последовательностях).
Основные признаки сходимости рядов с положительными членами
1. |
Первый признак сравнения |
||||||
Даны два числовых ряда |
|
|
|
||||
|
+ + |
3 |
+ + |
|
+ |
(1) |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||
|
|
+ + |
+ + + |
(2) |
|||
1 |
2 |
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2). Тогда, если сходится ряд (2) , то сходится и ряд (1) . Если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2) .
2. Второй (предельный) признак сравнения
Если существует конечный и отличный от нуля предел
|
|
|
|
∞ |
∞ |
|
lim |
|
= ≠ 0 , то оба ряда |
∑ и |
∑ |
||
|
||||||
|
|
|||||
→∞ |
|
|
|
|
||
|
|
=1 |
=1 |
|||
|
|
|
|
|||
одновременно сходятся или одновременно расходятся, в зависимости от того, с каким рядом происходит сравнение.
|
В случае, когда = 1 члены рядов с общими членами |
|||
|
и |
|
называются эквивалентными |
при → ∞ |
|
|
|
|
|
( |
~ |
) . |
Ряды с эквивалентными членами |
ведут себя |
|
|
|
|
|
одинаково (одновременно сходятся или расходятся). В этом случае полезно пользоваться таблицей эквивалентностей.
Если lim |
|
= 0 , то при → ∞ : |
|
|
|
||||||||||
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
~ |
|
~ |
~ |
~ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
− 1 ~ (1 + |
) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
− ~ ( ) ∙ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( + |
) − 1 ~ ∙ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
~ |
|
1 |
( |
)2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
Ряды для сравнения
а) Обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле)
∞ 1
∑ ,
=1
> 1 − ряд сходится;
≤ 1 − ряд расходится.
= 1: |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ + |
1 |
+ − гармонический ряд. |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
2 |
3 |
|
||||||
б) Геометрическая прогрессия
= ∙ −
| | < 1 − прогрессия сходится;
| | ≥ 1 − прогрессия расходится.
с) Арифметическая прогрессия |
|
|||||||
|
|
|
= |
|
+ ( − ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Всегда расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Признак Даламбера |
|
||||||
Если |
для ряда |
|
+ + + + + |
|||||
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
существует |
предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
+1 |
= , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
→∞ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то этот ряд сходится при < 1; ряд расходится при > 1. При = 1 вопрос о сходимости ряда не решен (надо использовать другой признак).
10