Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы теории рядов. Учебное пособие для студентов-бакалавров ИТТСУ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

990 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

∞

10.9

∑ 2 2( + 2) 2

−2,5 < < −1,5

∞

( − 1)

10.10

∑

−1 ≤ < 3

2 ( + 1)

∞

! ( + 10)

10.11

∑

− −10 < < −10

∞

( + 5) 2

10.12

∑

−6 ≤ ≤ −4

( + 1)

∞ √

3( + 1)

( +

10.13

∑

0 ≤ < 2

+ 1

∞

10.14

∑ (2

− )

0 < < 4

∞

(3 − 2 )

10.15

∑

1 < ≤ 2

− 2

∞

(3 − 2) ( − 3)

10.16

∑

1 ≤ < 5

( + 1)2 ∙ 2 +1

∞

( − 2)

10.17

∑

1 ≤ ≤ 3

∞

( − 2)

10.18

∑

0 ≤ < 4

(2 − 1) ∙ 2

∞

3√ + 2

10.19

∑(−1)

( − 2)

1 < ≤ 3

+ 1

∞

( + 5)2 −1

10.20

∑

−7 < < −3

2 ∙ 4

∞ (2 − 1) ( + 1)

10.21

∑

−2 < < 0

2 −1

∙

∞

( + 3)

10.22

∑

−4 ≤ ≤ −2

∞

( + 2) 2

10.23

∑

−3 ≤ ≤ −1

∞

( − 2)2

10.24

∑(−1) −1

1 ≤ ≤ 3

∞

( − 1)

10.25

∑

2 < < 4

∙ 9

∞

( − 2)

10.26

∑

1 < ≤ 3

( + 1) ( + 1)

∞

( − 3)

10.27

∑

−2 ≤ < 8

∙ 5

∞

(2 − 1)2 ( − 1)

10.28

∑(−1) +1

−

< <

(3 − 2)2

∞

( − 3)2

10.29

∑

2 < < 4

( + 1) ( + 1)

∞

( − 5)

10.30

∑(−1) −1

2 < ≤ 8

∙ 3

ЗАДАНИЕ 4

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

4.1.Теоретические вопросы

1.Условия разложения функции в степенной ряд.

2.Ряд Тейлора.

3.Ряд Маклорена.

4.Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

4.2.Краткие теоретические сведения

Всякая	функция, бесконечно	дифференцируемая	в
интервале	\| − 0 \| < , т. е.	0 − < < 0	+

может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора (ряд Тейлора функции в окрестности точки 0 )

′(

)

′′(

)

( ) = ( )

( − ) +

( − )2

+ … +

( )(

)

( − ) + … ,

если в этом интервале выполняется условие

lim

( ) = lim

( +1)( )

( − ) +1

= 0 ,

( + 1)!

→∞

где: ( ) − остаточный член формулы Тейлора;

= 0 + ( − 0) , 0 ≤ < 1.

	При	0 = 0	получается				ряд Маклорена:
	( ) = (0)		+	′(0)	+			′′(0)	2	+ …
	( ) = (0)		+	1!	+		2!		2	+ …
				1!			2!
		… +		( )(0)		+ …
		… +		!		+ …
				!
	Если в некотором интервале, содержащем точку 0,
при	любом	n выполняется			неравенство					\| ( )( )\| < М ,
где	М − положительная постоянная, то

lim→∞ = 0

и функция ( ) разложима в ряд Тейлора.

Разложение в ряды элементарных функций

= 1 +

+ … +

−1

+ …

( − 1)!

(−∞ < < +∞)

+ … + (−1) −1

2 −1

−

+ …

(2 − 1)!

(−∞ < < +∞)

= 1 −

−

+ + (−1)

(2 )!

(−∞ < < +∞)

2 −1

+ … +

+ …

(2 − 1)!

(−∞ < < +∞)

2( −1)

= 1 +

+ … +

+ …

(2( − 1))!

(−∞ < < +∞)

( + ) = −

−

+ … + (−1) −1

+ …

(−1 < ≤ 1)

2 −1

= −

−

+ … + (−1) −1

+ …

2 − 1

(−1 ≤ ≤ 1)

( + ) = 1 +

( − 1)

( − 1)( − 2)

+ … +

( − 1) … ( − + 2)

−1 + …

( − 1)!

Для биномиального ряда разложение имеет место при:

≥ 0, если

−1 ≤ ≤ 1

−1 < < 0, если −1 < ≤ 1

≤ −1, если

−1 < < 1

4.3. Примеры для выполнения задач задания 4

ПРИМЕР № 4.1. Разложить в ряд

Маклорена

функцию

( ) = ∙ (1 + 2) . Указать

область

сходимости полученного ряда к этой

функции.

Так как

+ ) = −

−

… + (−1) −1

+ … ,

то заменяя в равенстве

на 2, будем иметь

(1 + 2) = 2 −

( 2)2

( 2)3

−

( 2)4

+ …

… + (−1) −1

( 2)

+ …

+ 2) = 2

−

+ … + (−1) −1

+ …

(1 + 2) = ( 2

−1 2

−

+ … + (−1)

+ … )

Следовательно,

∙ (1 + 2) = 3

−

+ …

… + (−1) −1

2 +1

+ …

(| | < 1)

ПРИМЕР № 4.2. Разложить в ряд Маклорена функцию

( ) =

3√

1+2

. Указать

область

1−

сходимости

полученного ряда к этой

функции.

Так как

(ln(1 + 2 ) − (1 − )) ,

√ 1 + 2 = ln ( 1 + 2 )3 =

1 −

то заменяя в равенстве

(1 + ) = −

+ … + (−1) −1

−

+ …

сначала на (2 )

получим

(1 + 2 ) = 2 −

(2 )2

(2 )3

(2 )4

−

+ …

… + (−1) −1

(2 )

+ …

(−1 < 2 ≤ 1)

(1 + 2 ) = 2 −

4 2

8 3

16 4

−

+ …

… + (−1) −1

2 ∙

+ …

(−

< ≤

)

и затем на (− )

будем иметь

(1 − ) = − −

(− )2

(− )3

(− )4

−

+ …

… + (−1) −1

(− )

+ …

(−1 < − ≤ 1)

(1 − ) = − −

−

+ …

… + (−1)2 −1

+ …

(1 > ≥ −1)

1 + 2

√

1 −

(2 −

4 2

8 3

−

16 4

+ + (−1) −1

2 ∙

− (− −

−

+ +

(−1)2 −1

+ ))

∞

1 + 2

∑ ((−1) +1 ∙ 2 + 1)

√

1 −

3 2

9 3

15 4

(3 −

−

+ ) =

= − 12 2 + 3 − 54 4 +

Областью сходимости данного ряда является пересечение

областей			(−		1		< ≤	1	) и	(−1 ≤ < 1) , т. е. интервал
					2
							2
(−	1	< ≤		1		) .

2			2
										69

ПРИМЕР № 4.3. Разложить в ряд Маклорена функцию( ) = 22 . Указать область сходимости полученного ряда к этой функции.

Воспользуемся формулой понижения степени

22 =

1 − 4

−

4 .

Так как

= 1 −

−

+ + (−1)

(2 )!

(−∞ < < +∞) ,

то заменяя в равенстве на

4 , получим

(4 )2

(4 )4

(4 )6

(4 )2

4 = 1 −

−

+ + (−1)

(2 )!

(−∞ < 4 < +∞)

4 = 1 −

16 2

256 4

−

4096 6

720

… + (−1)

24 ∙ 2

+ (−∞ < < +∞)

(2 )!

256 6

22 =

−

(1 − 8 2

4 −

6 +

24 ∙ 2

+ )

… + (−1)

(2 )!

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]