Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы теории рядов. Учебное пособие для студентов-бакалавров ИТТСУ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

990 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

22 = −4 2	+	16			4 −	128 6		6	+
22 = −4 2	+		3		4 −	45		6	+
			3			45
−1				24 −1 ∙ 2
… + (−1)							+
… + (−1)					(2 )!		+
					(2 )!

При выводе формулы использовался ряд, который сходится при всех значениях . Поэтому областью сходимости ряда будет вся числовая ось, т. е. (−∞; +∞) или можно записать иначе .

ПРИМЕР № 4. 4. Разложить в		ряд	Тейлора	функцию
( ) =	1	по	степеням	( − 1).

	+ 2

Указать область сходимости полученного ряда к этой функции.

Воспользуемся формулой разложения функции в окрестности точки 0 в степенной ряд Тейлора

( ) = ( 0 ) + ′( 0) ( − 0) + ′′( 0) ( − 0)2 + … + 1! 2!

+( )(! 0) ( − 0) + …

Внашем случае 0 = 1. Определим значение функции в

точке :	( ) =	1	=	1	.

0	0	1 + 2	3

Найдем производные функции и вычислим их значения в точке 0:

	1	′
′( ) = (	1	) = (( + 2)−1)′ = −1 ∙ ( + 2)−2	;

	+ 2
	+ 2
		71

′( )

= −

(1 + 2)2

′

′′( ) = (−

) = −(−2) ∙ ( + 2)−3 ;

( + 2)2

′′(

)

(1 + 2)3

′

−6

′′′( ) = (

)

= 2

∙ (−3) ∙ ( + 2)−4

( + 2)3

( + 2)4

′′′( ) =

−6

= −

(1 + 2)4

′

−6

( )( ) = (

)

= 2

∙ (−3) ∙ ( + 2)−4

( + 2)3

( + 2)4

( )( ) =

−6

= −

(1 + 2)4

−

( − 1) +

( − 1)2 +

+ 2

−

( − 1)3 + … +

( − 1) + …

∙ !

−

( − 1) +

( − 1)2 +

+ 2

(−1)+1

−

( − 1)3

+ … +

( − 1) + …

Вычислим радиус сходимости полученного степенного ряда

(−1) +1

( − 1) ;

;

3 +1

= lim |

| = lim

3 +

= 3

→∞

и установим интервал его сходимости

| − 1| < 3

или −3 < − 1 < 3 , т. е.

−2 < < 4 .

Посмотрим, что происходит в граничных точках.

На левом конце (при = −2 ) данный степенной ряд превращается в знакочередующийся числовой ряд:

∞	(−1)+1	∞	(−1)+1		∞
∑		(−2 − 1) = ∑		3 (−1)	= ∑(−1)2 +1 ,
	3		3
=1		=1			=1

который расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда


	lim	\|		\|	= lim \|(−1)2 +1\| = lim 1 = 1 ≠ 0
	→∞				→∞		→∞
	→∞				→∞		→∞
На правом конце (при						= 4 ) данный			степенной	ряд
превращается в знакочередующийся числовой ряд:
∞						∞			∞
∑	(−1)+1		(4 − 1) =			∑	(−1)+1	3 = ∑(−1)+1		,
∑	3		(4 − 1) =			∑		3 = ∑(−1)+1		,
	3						3
=1						=1			=1

который расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда

lim	\|	\| = lim \|(−1)+1\| = lim 1 = 1 ≠ 0
→∞		→∞	→∞

Таким образом, областью сходимости степенного ряда является интервал (−2; 4).

Задача 11

Разложить в ряд Маклорена функцию ( ). Указать область сходимости полученного ряда к этой функции

Пример

Ответ

∞

(−1) ∙ 52

∑

11.1

( ) = 5

(2 )!

| | < ∞

∞

(−1) −1 2 +2

∑

11.2

( ) = 3

2 − 1

| | ≤ 1

∞

(−1) −1 4 −2

∑

11.3

( ) = 2

(2 − 1)!

| | < ∞

∞

11.4

( ) =

∑ (−1) +

1 +

| | < 1

∞

(−1)

∙ 22 6

∑

11.5

( ) =

(2 )!

| | < ∞

∞

2 ∑ 3 2

11.6

( ) = 1 − 3 2

| | <

√3

∞

∑

11.7

( ) = 3

| | < ∞

∞

11.8

( ) =

∑ (−1)

1 +

| | < 1

∞

2 6

∑

11.9

( ) = 2 3

| | < ∞

∞

(−1)

∑

11.10

( ) =

2 !

√

| | < ∞

∞

−

∑

11.11

( ) =

(2 − 1)!

| | < ∞

∞

(−1) 4

( ) = − 4

∑

11.12

| | < ∞

∞

(−1)

2 2

( ) = 2− 2

∑

11.13

| | < ∞

∞

( ) = 5

∑

11.14

| | < ∞

∞

(−1) +1

∑

(2 )!

11.15

( ) = √

0 < < +∞

∞ (−1)−1 ∙ 32 −1 −

∑

11.16

( ) =

(2 − 1)!

| | < ∞

Разложить функцию ( ) в ряд Тейлора в окрестности точки 0. Найти область сходимости полученного ряда к этой функции

	Пример				Ответ

1	2					3
	1			1	∞		( + 2)
	( ) =		−		∑
11.17	( ) =		−	2	∑		2
	0 = −2				=0
	0 = −2			−4 < < 0

		76

1		2															3
		1							∞
		1							∑ (−1)									(		+ 2)

11.18	( ) = + 3
11.18	( ) = + 3
	0 = −2								=0
	0 = −2										−3 < < −1

	( ) =											∞			( − 1)
											∑
11.19											∑							!
11.19	0 = 1									=0								!
										=0
													\| \| < ∞
													\| \| < ∞

						1		∞											2
		1
	( ) =	1						∑ (−1) (														) ( − 3)
								∑ (−1) (														) ( − 3)
11.20			2 + 5			11		=0										11
						11												11


	0 = 3									−		5			< <							17
	0 = 3									−	2				< <						2
											2										2
			1					1		∞				+ 1
	( ) =		1					1		∑				+ 1							( − 1)
11.21	( ) =		( − 3)2					4		∑						2					( − 1)
11.21			( − 3)2					4		=0						2
										=0
	0 = 1											−1 < < 3
							∞													2		( − 2)2
	( ) =							(−1)												2		( − 2)2
							∑						(					)
					4
11.22					4											4							(2 )!
	0 = 2						=0
	0 = 2												\| \| < ∞
													\| \| < ∞

	( ) = (5 + 3)						∞		(−1) −1 ∙ 5															2
	( ) = (5 + 3)						∑															( −			)
11.23							∑															( −		5	)
11.23				2			=1
	0	=		2								1									3
	0	=										1			< ≤						3
		5									5				< ≤						5
	( ) =	1						∞				(−1)								( − 1)2
								∑
11.24		2 − 2 + 2						∑
11.24		2 − 2 + 2						=1
	0 = 1							=1
	0 = 1											0 ≤ ≤ 2
						77

1					2														3
	(	)						1			∞ (−1) (2 − 1)!
	(	)
11.25				= √				4 +	1 + ∑									2			!									( + 3)
									=1
		0 = −3												−4 < ≤ −2
														−4 < ≤ −2

	( ) =								∞		(							+ ∙								)
	( ) =										(							+ ∙				2				)
									∑																				( −			)
11.26		0			=				∑								!												( −		4	)
									=1
								4	=1									\| \| < ∞
								4


	(	)						1		∞ (−1) (2 − 1)!!
	(	)
11.27				= √				− 1	1 + ∑									2			!									( − 2)
									=1
			0 = 2													1 < ≤ 3
																1 < ≤ 3

								1	∞		1										1
	( ) =							1	∑ (		1						−				1								) ( + 2)
11.28	( ) =				2		− 4 + 3		∑ (								−												) ( + 2)
11.28							− 4 + 3		=0		6 ∙ 3									10 ∙ 5
		0 = −2							=0
		0 = −2													−5 < < 1
															−5 < < 1

									∞			( +												)
	( ) =								∑			( +									2			)					( − )
																					2
11.29																		!
11.29			0			=			=0									!
			0			=

																		\| \| < ∞

												∞		(−1)−1											5
	( ) = (5 + 3)								8 + ∑														(					) ( − 1)
									8 + ∑														(		8			) ( − 1)

11.30											=1
11.30											=1
			0 = 1										−			3			< ≤								13
													−			5			< ≤								5

									78

ЗАДАНИЕ 5

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

5.1. Теоретические вопросы

1.Способ вычисления приближенного значения

функции.

2.Приближенное вычисление определенного

интеграла.

3.Оценки погрешности найденного приближенного значения.

5.2. Краткие теоретические сведения

Для вычисления приближенного значения функции( ) в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые n членов (n − конечная величина), а остальные члены отбрасывают. Для оценки погрешности найденного приближенного значения нужно оценить сумму отброшенных членов. Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знакопеременного ряда, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница, используется оценка

| | < +1 , где +1 − первый из отброшенных членов ряда.

Для приближенного вычисления логарифмов очень эффективна формула

(1 + ) = +	2	+	2	+	2	+ ,

	2 + 1		3(2 + 1)3		5(2 + 1)5

в которой ряд в правой части равенства сходится тем быстрее, чем больше .

Многие нужные с практической точки зрения определенные интегралы не могут быть вычислены по формуле Ньютона-Лейбница или ее применение связано с нахождением первообразной не выражаемой в элементарных функциях. Однако, приближенное вычисление интеграла осуществимо с наперед заданной степенью точности , если подынтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]