Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы теории рядов. Учебное пособие для студентов-бакалавров ИТТСУ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

990 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

1			2			3
	0,2				2
	∫			−	2
13.16		√				0,159
13.16		√			4	0,159
	0

	0,5
13.17	∫	1 +				2,568
13.17	∫		2			2,568
	0,3		2
	0,3

	0,5	2
13.18	∫					0,498
13.18	∫		2			0,498
	0		2
	0

	0,8
13.19	∫	1 −				0,156
13.19	∫					0,156
	0
	0

	1
13.20	∫ 2					0,310
	0

	0,1	(1 + )
13.21	∫	(1 + )				0, 098
13.21	∫					0, 098
	0
	0

	1
	∫ 3√
13.22	∫ 3√					0,718
	0

	1

13.23	∫ √					0,364
	0

			91

1								2					3
		25			−2 2
13.24			∫										0,976

							√
		0					√
		0

		1							2
13.25			∫						2				0,994
13.25			∫							4			0,994
		0

	1									√
13.26	∫ (									√		)	0,318

										2
	0

	0,5
13.27	∫		−										0,039
13.27	∫						2						0,039
	0						2
	0

		0,4

13.28		∫ √1 − 3											0,397
		0

				0,5
13.29			∫ − 2										0,461
		0

		0,5

13.30		∫		√							3		0,508
13.30		∫				1 +							0,508
		0

ЗАДАНИЕ 6

РЯДЫ ФУРЬЕ

6.1. Теоретические вопросы

1.Определение ряда Фурье.

2.Условия Дирихле.

3.Ряд Фурье периодической функции с периодом 2 , определенной на интервале [− ; ].

4. Ряд Фурье функции, определенной на интервале

[− ; ].

5.Ряд Фурье для четной и нечетной функции.

6.Ряд Фурье для функции заданной на интервале [0 ; ].

6.2. Краткие теоретические сведения

Рядом Фурье периодической функции = ( )					с
периодом 2 ,	определенной			на интервале [ − ;	],
называется ряд
	0	∞
( ) =	0	+ ∑(	+ ) ,


	2
	2	=1
		=1

где:

	1			1
0 =		∫ ( ) ,	=

		−

1= ∫ ( )

−

∫ ( ) ,

−

( = 1,2, . . . ) .

При вычислении коэффициентов ряда Фурье

учитывают, что cos = (−1) ,	sin = 0 .
93

Если функция = ( ) задана на интервале [- ; ] , где − произвольное число, то при выполнении на этом интервале условий Дирихле указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье:

						0		∞
	( )			=		0	+ ∑(									+				) ,


						2
						2	=1
							=1
где:
		1											1
0	=	1			∫ ( ) ,						=		1		∫ ( )						,
0	=				∫ ( ) ,						=				∫ ( )						,
					−									−
					−									−
								1
							=	1		∫ ( )							.
							=			∫ ( )							.

										−
										−
В случае, когда функция													= ( ) −						четная, то ее
ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы:
									0			∞
						( ) =			0		+ ∑							,
						( ) =			2		+ ∑							,
									2			=1
												=1
где:
			2										2
0	=		2		∫ ( ) ,						=		2	∫ ( )						.
0	=				∫ ( ) ,						=			∫ ( )						.
				0										0
				0										0

Вслучае, когда функция = ( ) − нечетная, то

ееряд Фурье содержит только синусы, т. е.

	∞
	( ) = ∑			,
	( ) = ∑			,

	=1
	=1
	94

где:

	2
=	2	∫ ( )	.
=		∫ ( )	.

		0
		0

Если функция ( ) задана на интервале [0; ] , то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить ее на интервале [- ;0] произвольным образом, а затем разложить

еев ряд Фурье, считая ее заданной на интервале [- ; ]. Наиболее целесообразно функцию доопределить так, чтобы

еезначения в точках интервала [- ;0] находились из условия

(− ) = − ( ) или	(− ) = ( ) . В одном случае
функция на интервале	[- ; ] будет нечетная, а в другом –
четной.

Коэффициенты разложения такой функции в ряд можно определить по формулам для коэффициентов четных и нечетных функций.

6.3. Примеры для выполнения задачи задания 6

ПРИМЕР № 6. 1. Разложить функцию в ряд Фурье

( ) = {	0,	− 2 ≤ < 0
	1,	0 ≤ ≤ 2

Функция общего вида задана на интервале [−2; 2] и при выполнении на этом интервале условий Дирихле она может быть представлена в виде суммы ряда Фурье:

					0					∞
( ) =					0			+ ∑ (														+						) ,
( ) =								+ ∑ (														+						) ,
						2
						2				=1
										=1
где:
		1											1					0					2
0 =		1		∫ ( ) =									1		( ∫ 0 ∙ + ∫ 1 ∙ ) =
0 =				∫ ( ) =									2		( ∫ 0 ∙ + ∫ 1 ∙ ) =
				−									2				−2						0
				−													−2						0
			=				1		(0 + ) \|2					=				1	(2 − 0) = 1 ;
			=			2			(0 + ) \|2					=				2	(2 − 0) = 1 ;
						2					0							2
	1																		1		0
=	1	∫ ( )										=							1	( ∫ 0 ∙									+
=		∫ ( )										=							2	( ∫ 0 ∙					2				+
		−																	2			−2			2
		−																				−2
2														1							2
+ ∫ 1 ∙										) =				1		(0 +					2					\|	2		) =
+ ∫ 1 ∙						2				) =				2		(0 +								2		\|	0		) =
0						2								2										2			0
0
														96

=		1	(						2			−					0					) =			1				( − 0) = 0 ;

									2								2
				1																						1		0
		=		1			∫ ( )													=						1		( ∫ 0 ∙							+
		=					∫ ( )													=								( ∫ 0 ∙							+
																									2								2
							−																		2					−2			2
							−																							−2
		2																			1							2				2
																					1							2				2
	+ ∫ 1 ∙													) =										(0 −										\|	) =
	+ ∫ 1 ∙										2			) =							2			(0 −								2		\|	) =
		0									2										2											2	0
		0
		1								2									0									1			( − 0) =
= −					(								−											) = −
= −					(						2		−						2					) = −
							= −				1	((−1) − 1) =													1				(1 − (−1) ) .
							= −					((−1) − 1) =																	(1 − (−1) ) .

Следовательно,
			1						∞																1
( ) =			1				+ ∑ (0 ∙																+		1		(1 − (−1) )									) =
( ) =			2				+ ∑ (0 ∙																+				(1 − (−1) )									) =
			2						=1
									=1
								1				∞				1
						=		1			+ ∑ (					1		(1 − (−1) ) ∙															) .
						=					+ ∑ (							(1 − (−1) ) ∙															) .
						2						=1
												=1
ПРИМЕР № 6. 2.															Разложить											функцию						в	ряд		Фурье
															функцию											с			периодом				2,		если
															( ) = \| \|,													− ≤ ≤

Эта функция непрерывная. Она удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и, следовательно, раскладывается в свой ряд Фурье. Функция четная. Поэтому ее ряд Фурье

содержит только свободный член и косинусы:

∞

( ) = 20 + ∑ ,

где:

0 =

∫ ( ) =

∫ =

∙

2 = ;

= ;

∫ = |

| =

= ;

(( ∙

) |0

− ∫ (

) ) =

( ∙ − 0 +

|0 ) =

(0 +

( − 0)) =

2 ((−1) − 1)

Следовательно,

∞

( ) =

2 ((−1) − 1)

+ ∑

−2

(−2 +

2 +

3 +


+	0	4 +			−2	5 +		0			6 + ) =

	16				25			36
=		−	4	( +		1	3 +			1		5 + )

	2					9			25

ПРИМЕР № 6. 3. Разложить функцию в ряд Фурье

		,	− < <

( ) = {	2
0,			=

Эта функция разрывная. Она удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и, следовательно, раскладывается в свой ряд Фурье. Функция нечетная. Поэтому ее ряд Фурье

содержит только синусы, т. е.

∞

		( ) = ∑	,

		=1
где:
	2		2
=	2	∫ ( ) =	2	∫		=
=		∫ ( ) =		∫		=
					2
		0		0	2
		0		0
		99

= ;

∫ = |

| =

= ;

= −

((− ∙

) |0 − ∫ (−

) ) =

= −

( ∙ − 0 −

|0 ) =

= −

( ∙ (−1) −

( − 0)) = −

(−1)

(−1)+1

Следовательно,

∞

(−1)+1

( ) = ∑

= +

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]