Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы теории рядов. Учебное пособие для студентов-бакалавров ИТТСУ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

990 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

4. Радикальный	признак	Коши
Если для ряда + + + + + существует
1 2	3

предел

lim √ = ,

→∞

то этот ряд сходится при < 1 и расходится при > 1. При= 1 вопрос о сходимости ряда не решен (надо использовать другой признак).

5. Интегральный признак Коши

Если ( ) при	≥ 1	− непрерывная, положительная
и монотонно убывающая функция, то ряд
∞
∑	,	где = ( )	,

сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл:

∞
∫ ( )	( ≥ 1) .

.

1.3. Примеры для выполнения задач задания 1

ПРИМЕР № 1.1. Исследовать ряд на сходимость

∞ ! ∑ .

Воспользуемся для исследования ряда на сходимость признаком Даламбера. Тогда:

=	!	;		=	( + 1)!	.
			+1
					( + 1) +1

Вычислим предел:

( +1)!

( + 1)! ∙

lim

= lim

( +1)

= lim

→∞

→∞ ( + 1) +1

∙ !

= lim

( + 1) ∙

= lim

→∞ ( + 1) ∙ ( +

→∞ ( + 1)

= lim ( )

→∞ + 1

= lim (	1		)
= lim (		1	)
→∞	1 +
→∞	1 +

1 = < 1 .

= lim (	1			) =

		1
→∞	(1 +		)

Так как получено число меньшее единицы, то исследуемый ряд сходится.

ПРИМЕР № 1.2. Исследовать ряд на сходимость

∞	2
	( + 1)
∑		.
	2 ∙ 3
=3

Воспользуемся для исследования ряда на сходимость радикальным признаком Коши. Тогда:

( + 1) 2

( + 1)

;

√

2 ∙ 3

∙ 3

Вычислим предел:

( + 1)

+ 1

lim

= lim

lim (

)

∙ 3

→∞

√

→∞

lim (1 +

)

∙ =

< 1 .

→∞

Так как получено число меньшее единицы, то исследуемый ряд сходится.

ПРИМЕР № 1.3. Исследовать ряд на сходимость

∞∑=1 2 2 .

Воспользуемся для исследования ряда на сходимость интегральным признаком Коши. Тогда:

=		;	( ) =		.
	2 2
				2 2
			13

Исследуем несобственный интеграл:

		∞
	∫ ( ) = lim ∫												=				lim ∫ 2− 2 =
	∫ ( ) = lim ∫												=				lim ∫ 2− 2 =
						→ ∞					2 2						→ ∞
										1									1
			1															1				2− 2
			1				− 2				2							1				2− 2
	= −				lim ∫ 2					(−				)	= −					lim				\|		=
	= −		2		lim ∫ 2					(−				)	= −			2		lim		2		\|	1	=
			2		→ ∞													2		→ ∞		2			1
				1
= −		1			lim (	1		−		1		) = −					1			(0 −		1	) =			1	−
= −	2	2			lim (	2		−		2		) = −				2 2				(0 −	2		) =		4 2		−
	2	2		→ ∞		2			21							2 2					2				4 2

несобственный интеграл сходится.

Поскольку несобственный интеграл сходится, то данный исследуемый ряд тоже сходится.

ПРИМЕР № 1.4. Исследовать ряд на сходимость

∞
∑ 2			.

	4	√
=1	4	√
=1

Воспользуемся для исследования ряда на сходимость предельный признак сравнения. Тогда данный ряд

∞	∞
∑	= ∑ 2			.


=1	=1	4	√
		4	√

В качестве ряда, с которым будем сравнивать данный ряд, возьмем гармонический ряд

∞

2 ∞

∑

= ∑ (

) =

∑

4√

16 =1

Так как

= 1 ,

то ряд,

выбранный

для

сравнения,

расходится.

Вычислим предел:

4 √

lim

= lim

4 √

→∞

4 √

= lim

= 1 ≠ 0

→∞

Так как существует конечный и отличный от нуля предел,

∞∞

то оба ряда ∑	и ∑ ведут себя одинаково.

=1	=1

Следовательно, исследуемый данный ряд расходятся.

ПРИМЕР № 1.5. Исследовать ряд на сходимость

∞

1 ∑ (1 − ) .

Проверим необходимый признак сходимости ряда:

lim = lim (1 − 1 ) = (1 − 0) = 1 ≠ 0 .

→∞ →∞

Так как при → ∞ предел общего члена ряда не стремится к нулю (он равен единице), то исследуемый числовой ряд расходится.

Задача 1

Исследовать ряд на сходимость

				Пример												Ответ

1								2								3
			∞		3 ( + 2)!
1.1			∑													ряд расходится
1.1			∑							5						ряд расходится
			=1							5
			=1

			∞			7 − 1
1.2			∑			7 − 1										ряд сходится
1.2			∑													ряд сходится
			=1	5				( + 1)!
			=1

			∞	7									1		7
				7									1		7
1.3			∑ (						) (					)		ряд сходится
1.3			∑ (			8			) (					)		ряд сходится
			=1

			∞
1.4		∑(2 + 1)														ряд сходится

															3
		=1

						∞
						∞						2
1.5					∑											ряд расходится
1.5					∑											ряд расходится
					=1					3
					=1

	∞		4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ … ∙ ( + 3)
1.6	∑															ряд сходится
1.6	∑		5 ∙ 7 ∙ 9 ∙ … ∙ (2 + 3)													ряд сходится
	=1

			∞					9
								9
1.7			∑ (								) 7					ряд сходится
1.7			∑ (				10				) 7					ряд сходится
			=1				10
			=1

													16

∞

1 ∙ 7 ∙ 13 ∙ … ∙ (6 − 5)

1.8

∑

ряд расходится

2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ … ∙ ( + 1)

∞

3 ( + 1)

1.9

∑

ряд сходится

∞

( + 2)!

1.10

∑

ряд сходится

∞

1.11

∑

ряд сходится

∞

( + 1)

1.12

∑

ряд сходится

∞

1.13

∑

ряд сходится

5 ( + 3)!

∞

1 ∙ 6 ∙ 11 ∙ … ∙ (5 − 4)

1.14

∑

ряд расходится

3 ∙ 7 ∙ 11 ∙ … ∙ (4 − 1)

∞

1.15

∑

ряд расходится

( + 3)!

∞

1.16

∑ 3

ряд сходится

∞

( 2 + 3)

1.17

∑

ряд сходится

( + 1)!

∞

1.18

∑

ряд сходится

(2 + 3)!

∞

( + 1)

1.19

∑

ряд расходится

∞

2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ … ∙ (3 − 1)

1.20

∑

ряд сходится

3 ∙ 7 ∙ 11 ∙ … ∙ (4 − 1)

∞

1.21

∑(3 − 1)

ряд сходится

∞

+ 2

1.22

∑

ряд сходится

∞

3 − 1

1.23

∑

ряд сходится

√ ∙ 7

∞

1 ∙ 5 ∙ 9 ∙ … ∙ (4 − 3)

1.24

∑

ряд расходится

1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ (3 − 2)

∞

1.25

∑

ряд сходится

4 !

∞

1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ (2 − 1)

1.26

∑

ряд сходится

2 ∙ 7 ∙ 12 ∙ … ∙ (5 − 3)

∞

1.27

∑

ряд расходится

( + 1)!

∞

(2 − 1)3

1.28

∑

ряд сходится

(2 )!

∞

1.29

∑

ряд сходится

5 (2 − 1)

∞

2 + 1

1.30

∑

ряд сходится

√ ∙ 2

Задача 2

Исследовать ряд на сходимость

		Пример											Ответ

1				2									3
	∞			10
	∑			10									ряд расходится
2.1
2.1			(	+ 1		)
	=1
	=1


	∞		5 − 1					2
2.2	∑ (							)					ряд сходится
2.2	∑ (			5				)					ряд сходится
	=1			5
	=1

	∞						1

2.3	∑ (											)	ряд сходится

					2 + 1
	=1

	∞				1
2.4	∑				1								ряд сходится

		( ( +					2))
	=1	( ( +					2))

	∞					1					3
						1					3
2.5	∑ (								)				ряд сходится
2.5	∑ (								)				ряд сходится
	=1					2
	=1

	∞	2 + 5 + 8
2.6	∑ (										)		ряд сходится
2.6	∑ (		3 2 − 2								)		ряд сходится
	=1

	∞						1
							1
2.7	∑ (									)			ряд сходится
2.7	∑ (									)			ряд сходится
	=1					5
	=1

								20

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]