Основы теории рядов. Учебное пособие для студентов-бакалавров ИТТСУ

31

Задача 5

Исследовать ряд на сходимость

33

ЗАДАНИЕ 2

2.ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

2.1.Теоретические вопросы

1.Определения рядов с членами произвольного знака: знакопеременные и знакочередующиеся числовые ряды.

2.Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница).

3.Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.

4.Свойство знакопеременных рядов.

5.Остаток знакочередующегося ряда и его оценка.

2.2. Краткие теоретические сведения

Знакочередующиеся ряды – это ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т. е. ряды вида

1 − 2+ 3 − 4 … + (−1) −1 + ,

Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница)

Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняются одновременно два условия:

34

1. | 1| > | 2| > | 3| > | 4| >

. lim | | = 0

→∞

Свойства знакопеременных рядов

Знакопеременные ряды – это не только ряды знакочередующиеся, но и ряды с произвольным

данный ряд называется абсолютно сходящимся. Сходящийся знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного знакопеременного ряда, расходится.

Если знакопеременный ряд абсолютно сходится, то ряд, полученный после любой перестановки бесконечного множества его членов, абсолютно сходится и имеет ту же сумму, что и первоначальный ряд. Если знакопеременный ряд условно сходится, то у ряда, полученного после перестановки бесконечного множества его членов, сумма ряда может измениться. В частности, при соответствующей перестановке членов условно сходящегося ряда можно превратить его расходящийся ряд.

35

Для произвольного знакопеременного ряда часто довольно сложно установить условную сходимость.

записать как разность между суммой ряда и n-ой

Величина остатка оценивается с помощью неравенства | | < | +1| , т. е. остаток знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница, имеет знак первого отброшенного члена и не превосходит его по абсолютной величине.

36

2.3. Примеры для выполнения задач задания 2

ПРИМЕР № 2.1. Исследовать ряд на сходимость и абсолютную сходимость

Так как данный ряд является знакочередующимся, то для его исследования на сходимость воспользуемся признаком Лейбница.

Первое условие выполнено, так как члены ряда по абсолютной величине убывают.

2. lim→∞| | = 0

1

lim | | = lim ∙ 7 = 0

→∞ →∞

Второе условие выполнено.

Следовательно, знакочередующийся ряд сходится, так как абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член ряда стремится к нулю.

Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного знакочередующегося ряда:

37

Проверим условия признака:

1. | 1| > | 2| > | 3| > | 4| >

1 1 1 1

1 > 2 > 3 > 4 >

Так как члены ряда по абсолютной величине убывают, то первое условие выполнено.

. lim | | = 0

→∞

1

lim | | = lim = 0 .

→∞ →∞

Второе условие выполнено.

Следовательно, знакочередующийся ряд сходится, так как абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член ряда стремится к нулю.

Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного знакочередующегося ряда:

∞ 1

∑ .

=1

Этот ряд является гармоническим. Так как = 1, то он расходится. Поэтому, знакочередующийся ряд сходится условно.

Второй ряд в сумме данного для исследования ряда является знакопостоянным расходящимся гармоническим рядом ( = 1).

Известно, что сумма сходящегося и расходящегося рядов представляет собой расходящийся ряд. Значит, данный для исследования ряд, состоящий из суммы двух рядов, является расходящимся.

39

Задача 6

Исследовать ряд на сходимость и абсолютную сходимость