Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы теории рядов. Учебное пособие для студентов-бакалавров ИТТСУ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

990 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

∞

6.8

∑ (−1) +1

ряд сходится

(2 + 1)

абсолютно

∞

6.9

∑ (−1) +1

ряд сходится

условно

√ + 1

∞

(−1) −1

ряд сходится

6.10

∑

абсолютно

√

∞

2 + 1

6.11

∑ (−1) +1

ряд сходится

( + 1)

условно

∞

+ 5

6.12

∑ (−1)

ряд сходится

абсолютно

∞

6.13

∑ (−1) +1

ряд расходится

3 − 1

∞

(−1)

ряд сходится

6.14

∑

условно

2 − 1

∞

(−1)

6.15

∑

ряд сходится

=1 (2 − 1) ∙ 3

абсолютно

∞

(−1) −1

ряд сходится

6.16

∑

условно

∞

2 + 1

6.17

∑ (−1) +1

ряд расходится

∞

(−1)

6.18

∑

ряд сходится

+ 1

абсолютно

∞

(−1)

ряд сходится

6.19

∑

абсолютно

=1 √

∞ (−1) −1

ряд сходится

6.20

∑

∙ 5

абсолютно

∞

(−1) −1

ряд сходится

6.21

∑

абсолютно

∞

6.22

∑ (−1)

ряд сходится

( + 1)

условно

∞

2 + 1

6.23

∑ (−1) +1

ряд сходится

5 ( + 1)

условно

∞

(−1) +1

ряд сходится

6.24

∑

условно

2 + 1

∞

(−1) +1 ∙ 3

ряд сходится

6.25

∑

(2 + 1)

абсолютно

∞

(−1) −1

ряд сходится

6.26

∑

условно

√ + 5

∞

+ 5

6.27

∑ (−1)

ряд сходится

абсолютно

∞

ряд сходится

6.28

∑ (−1) +1

(

)

2 + 7

абсолютно

∞

(−1) −1

6.29

∑

ряд сходится

=1 (3 − 2)!

абсолютно

∞

6.30

∑ (−1) +1

(1 +

)

ряд сходится

условно

Задача 7

Исследовать ряд на сходимость и абсолютную сходимость

Пример

∞

(−1) +1

∞

(−1) +1

7.1

∑

7.2

∑

( + 1)3

(2 + 1)!

∞

(−1) +1

∞

(−1) −1

7.3

∑

7.4

∑

2 + 1

( + 1)

∞

(−1) −1

∞

(−1) +1 ∙ 2

7.5

∑

7.6

∑

∙ 2

∞

2 − 1

∞

2 + 1

7.7

∑ (−1) +1

7.8

∑ (−1)

∞

(−1)

∞

(−1) +1

7.9

∑

7.10

∑

3 + 1

=1 ( ( + 1))

∞

(−1)

∞

7.11

∑

7.12

∑ (−1) (

)

( )2

2 + 1

∞

(−1) +1

∞

7.13

∑

7.14

∑(−1) +1

( + 1)!

∞

7.15

∑ (−1)

7.16

∑

(12)

=1 √( + 1)

∞

2 + 1

7.17

∑ (−1)

7.18

∑(−1) +1

9 − 1

( + 1)

∞

(−1)

∞

7.19

∑

7.20

∑(−1)

(5 + 1)

∞

+ 1

∞

7.21

∑(−1)

7.22

∑(−1) +1

2 + 1

∞

7.23

∑(−1)+1

7.24

∑(−1)

2 + 2

∞

(−1) +1

∞

7.25

∑ −

7.26

∑(−1)

( + 1)( + 4)

∞

2 + 1

∞

− 3

7.27

∑ (−1)−1

7.28

∑ (−1)

( + 2)

2 − 1

∞

(−1)−1

∞

7.29

∑

7.30

∑ (−

)

5 + 1

=1 √

√( + 1)

ЗАДАНИЕ 3

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

3.1. Теоретические вопросы

1.Функциональный ряд: определение, область сходимости.

2.Степенной ряд: определение, свойства.

3.Теорема Абеля. Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда. Способы нахождения радиуса сходимости степенного ряда.

3.2. Краткие теоретические сведения

Ряд	( ) +	( ) + ( ) + +		( ) + ,		члены
1	2	3
которого являются		функциями от		,	называется
функциональным рядом.
Если	вместо	подставить	число		0	, то

функциональный ряд обращается в числовой ряд. Если этот числовой ряд сходится, то точка 0 называется точкой сходимости функционального ряда. Множество всех точек сходимости называется областью сходимости функционального ряда, т. е. областью сходимости функционального ряда называется множество значений переменной , при которых числовой ряд сходится.

Функциональный ряд вида

0 + 1( − ) + 2( − )2 + + ( − ) + ,

где , 0, 1, … , − действительные числа, называется

степенным рядом.

Теорема Абеля

Основное свойство степенных рядов, состоит в том, что если степенной ряд сходится при = 0 , то он сходится и притом абсолютно при всяком значении , удовлетворяющем неравенству | − | < | 0 − | .

Одним из следствий теоремы Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости | − | < или − < < +

с центром в точке , внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого он расходится. На концах интервала сходимости (в точках = ± ) различные степенные ряды ведут себя по-разному.

Число − половина длины интервала сходимости называется радиусом сходимости степенного ряда. В

частных случаях радиус сходимости ряда может быть равен нулю (степенной ряд сходится только в одной точке = ) или стремиться к бесконечности (ряд сходится на всей числовой оси).

Способы нахождения радиуса сходимости степенного ряда

1.	Если	среди		коэффициентов		ряда
1 + 2 + 3 + + + нет				равных нулю,		т. е. ряд
содержит все		целые положительные степени				разности
( − ) ,	то
		= lim \|			\| .
		= lim \|			\| .
		→∞	+1
		47

2. Во всех случаях интервал сходимости можно находить, непосредственно применяя признак Даламбера или признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда. Записав ряд в виде

	( ) + ( ) + ( ) + + ( ) +
	0		1	2
(здесь	=	,	( ) =	( − ) , где зависимость N
0	0

от n может быть любой, причем через								обозначен не
коэффициент при		( − ) ,				а коэффициент n-го члена
ряда), находят интервал сходимости из неравенств:
	\|			\|
	\|			\|
	+1
lim					< 1 ,	lim	√\| \|	< 1 .
lim					< 1 ,	lim	√\| \|	< 1 .
→∞	\|		\|			→∞
→∞	\|		\|			→∞

Свойство степенных рядов

Ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда. Таким образом, если

∞

( ) = ∑ ( − ) , то

		=0
		∞
	′( ) = ∑ ( − )−1 ;
		=1
	∞	( − )+1
	∞	( − )+1
∫ ( ) = ∑			, ( − < < + ) .
∫ ( ) = ∑		+ 1	, ( − < < + ) .
		+ 1

Операцию почленного дифференцирования и интегрирования можно производить над степенным рядом сколько угодно раз. Следовательно, сумма степенного ряда внутри его интервала сходимости является бесконечно дифференцируемой функцией.

3.3. Примеры для выполнения задач задания 3

ПРИМЕР № 3.1. Найти область сходимости ряда

∞	( − 2) −1
∑		.
	∙ 3 ∙
=2

Применим признак Даламбера для определения интервала сходимости ряда:

( − 2) −1

;

( − 2) +1−1

∙ 3 ∙

( + 1) ∙ 3 +1 ∙ ( + 1)

| − 2| ∙ ∙ 3 ∙

lim

= lim

∙ ( + 1)

∙ | − 2|

−1

→∞

→∞ ( + 1) ∙ 3

| − 2|

lim

∙

( + 1) ∙ ( + 1)

→∞

| − 2|

lim

∙

| − 2|

∙ 1 =

| − 2|

< 1

→∞ ( + 1) ∙

Таким образом,

| − 2| < 3

или −3 < − 2 < 3, т. е.

−1 < < 5 .

Следовательно, радиус сходимости ряда = 3, а интервал сходимости (−1; 5).

Выясним поведение ряда на концах интервала сходимости.

На левом конце (при = −1 )			данный степенной ряд
превращается в числовой ряд:
∞	(−1 − 2) −1	∞	(−3) −1
∑		= ∑		=
∑	∙ 3 ∙	= ∑	∙ 3 ∙	=
=2		=2
		50

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]