Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы теории рядов. Учебное пособие для студентов-бакалавров ИТТСУ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

990 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

5.3. Примеры для выполнения задач задания 5

ПРИМЕР № 5.1. Вычислить 2 приближенно с заданной степенью точности = 0,00001 , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции.

Воспользуемся разложением в степенной ряд функции логарифм, положив = 1

(1 + 1) = 1 +

2 ∙ 1 + 1

3(2 ∙ 1 + 1)3

5(2 ∙ 1 + 1)5

7(2 ∙ 1 + 1)

9(2 ∙ 1 + 1)

11(2 ∙ 1 + 1)

т. е.

2 ≈ 0 +

5 ∙ 3

3 ∙ 3

7 ∙ 3

9 ∙ 3

11 ∙ 3

Примем за приближенное значение сумму следующих после нуля пяти членов разложения.

2 ≈ 0 +	2	+	2	+	2	+	2		+	2	≈
			3		5		7 ∙ 3	7		9
3			3 ∙ 3		5 ∙ 3					9 ∙ 3
≈ 0,666667 + 0,024691 + 0,001646 + 0,000131 +
+0,000011 = 0,693146
или, округляя до точности = 0,00001,								2 ≈ 0,69315 .

Так как ряд является знакопостоянным, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

2	+	2	+	2	+ =

11		13		15
11 ∙ 3		13 ∙ 3		15 ∙ 3
		81

=		2	(	1	+	1		+	1		+ ) <	2	(1 +	1	+	1	+ )
		11		11		13 ∙ 3	2		15 ∙ 3	4		11		2		4
	3											11 ∙ 3		3		3

Геометрическая прогрессия имеет первый																												член				1 = 1 ,
знаменатель					=				1		и ее сумма вычисляется по формуле
знаменатель					=				2		и ее сумма вычисляется по формуле
		1						3
=		1	.
=			.
		1−
	2			(	1					) =				2			∙	9		=					1			< 0,00001 .
	11			(				1		) =				11			∙			=							9	< 0,00001 .
11 ∙ 3					1 −								11 ∙ 3				8						44			∙ 3
11 ∙ 3					1 −			2					11 ∙ 3				8						44			∙ 3
							3
ПРИМЕР № 5.2. Вычислить																				18°							приближенно с
					заданной							степенью								точности									= 0,0001 ,
				воспользовавшись													разложением в степенной
					ряд соответствующим															образом								подобранной
				функции.
Переводя градусную меру в радианную, получим
											18° =											.

																			10
Воспользуемся									разложением											в						степенной						ряд
тригонометрической функции косинус
												1			2				1						4			1				6
18° =								≈ 1 −						(		)	+				(					)	−			(		) +
18° =						10		≈ 1 −				2!		(	10	)	+		4!		(			10		)	−		6!	(	10	) +

Для приближенного вычисления достаточно взять первые три члена ряда, так как он является знакопеременным, удовлетворяющим условиям признака Лейбница и поэтому допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Первый

					1		(		)	6
из отброшенных членов равен										,	так как
из отброшенных членов равен					6!			10		,	так как
1				6	6!			10
1				6
		(		)	< 0,0001 .
6 !		(	10	)	< 0,0001 .
Следовательно,
18° ≈ 1 −	0,09870				+	0,00974					≈ 0,9511 .
18° ≈ 1 −					+			24			≈ 0,9511 .
			2					24
				82

ПРИМЕР № 5.3.	Вычислить	1	приближенно с

		5
		√
точностью	= 0,00001 ,		воспользовавшись

разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции.

Преобразуем выражение и воспользуемся разложением в степенной ряд показательной функции

1	= −	1	≈ 1 −	1	+	1	−	1	+	1	−	1	+
		5
5√
				1! 5 2! 52				3! 53		4! 54		5! 55

Для приближенного вычисления следует взять первых пять слагаемых, так как ряд знакопеременный. Он удовлетворяет условиям признака Лейбница и поэтому допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Первый из

отброшенных членов равен 5! 55 , так как нетрудно видеть,

что

1 5! 55 < 0,00001 .

Произведя вычисления, в результате получим

1	≈ 0,81873 .
5√

ПРИМЕР № 5.4. Вычислить 3√130 приближенно с точностью = 0,0001 , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции.

Преобразуем число

				1		1
		1				3
3√130 = (53	+ 5)	1	= 5 (1 +		)	3
		3
		3		2
				5
	83

Приближенное вычисление корней производится при помощи биномиального ряда.

(1 + ) = 1 +		+	( − 1)	2 +
	1!		2!

+ ( − 1)( − 2) 3 + … + 3!

+ ( − 1) … ( − + 2) −1 + … ( − 1)!

Для биномиального ряда в нашем случае разложение имеет

место при =							1			:
место при =							3			:						1 1											1 ( 1 − 1)					1 2
		1			3		3
		1			3
					1
5 (1 +				) = 5 (1 +												3								+			3		3			(		) +
5 (1 +			2	) = 5 (1 +												1!					2			+					2!			(	2	) +
	5															1!		5											2!			5
			1			(		1			− 1) (				1		− 2) ( 12 ) + … ) =
	+ 3					(		3			− 1) (				3		− 2) ( 12 ) + … ) =
																													3
													3!									5
= 5 +	1		+									−2								+								−2 ∙ (−5)							+ =
= 5 +	3 ∙ 5		+													3				+													5		+ =
	3 ∙ 5				3 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5																	3 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5
= 5 +			1						+					−1					+						−1 ∙ (−1)							+ =
= 5 +			3 ∙ 5						+							3			+						4							+ =
			3 ∙ 5									3 ∙ 3 ∙ 5											3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5
	= 5 +									1				−		1						+							1		+ =
	= 5 +								3 ∙ 5					−	3	2		3				+					4		4		+ =
									3 ∙ 5						3		∙ 5									3				∙ 5

Для приближенного вычисления следует взять сумму первых трех слагаемых, так как полученный ряд является знакопеременным. Он удовлетворяет условиям признака Лейбница и поэтому допускаемая погрешность по

абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Первый из отброшенных членов

равен 34∙54 , так как нетрудно видеть, что

34 ∙ 54 < 0,0001 .

Вычислим приближенное значение

3√130	≈ 5 +	1	−			1		≈ 5 + 0,0667 − 0,0009 ≈
		3 ∙ 5			2	∙ 5	3
			3
				≈ 5,0658 .

ПРИМЕР №5.5.Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить

определенный интеграл

∫ − с точностью до 10−4 .

Воспользуемся разложением в степенной ряд показательной функции

= 1 +

+ … +

−1

+ …

( − 1)!

(−∞ < < +∞) ,

в котором заменим

на (− 2):

− 2 = 1 + − 2

+ (− 2)2 + (− 2)3

+ … +

(− 2) −1

+ … =

( − 1)!

= 1 −

−

+ … = 1 −

−

+ …

Интегрируя этот ряд почленно, получим

	1						1
4						4										4									6
∫ −			2	= ∫ (1 − 2 +												4				−					6			+ … ) =
∫ −				= ∫ (1 − 2 +												2				−						6		+ … ) =
0						0										2										6
0						0
						3					5					7											1
		= ( −								+			−									+ … ) \|								4	=
		= ( −				3				+	2 ∙ 5		−		6 ∙ 7							+ … ) \|								4	=
						3					2 ∙ 5				6 ∙ 7												0
																											0
						1				3			1		5									1		7
				1		(			)			(		)					(							)
=				1	−	(		4	)		+	(	4	)			−		(					4		)		+ =
=				4	−	3					+	2 ∙ 5					−				6 ∙ 7							+ =
				4		3						2 ∙ 5									6 ∙ 7
=				1	−	1					+		1					−								1			+
=				4	−					3	+					5		−										7	+
				4		3 ∙ 4						10 ∙ 4											42 ∙ 4

Полученный числовой ряд является знакопеременным. Он удовлетворяет условиям признака Лейбница и, следовательно, допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных

членов ряда. Первый из отброшенных членов равен 10∙45 ,

так как
				1			< 0,00001 .

				5
					10 ∙ 4
Поэтому
	1
4		1			1
∫ − 2 ≈		1	−		1	≈ 0,2500 − 0,0052 ≈ 0,2448 .
∫ − 2 ≈		4	−		3 ∙ 43	≈ 0,2500 − 0,0052 ≈ 0,2448 .
0		4			3 ∙ 43
0

Задача 12

Вычислить указанную величину приближенно с заданной степенью точности , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции

	Пример		Ответ		Пример		Ответ

1	2		3	4	5		6

12.1			2,7183	12.2	5√250		3,017
12.1	= 0,0001		2,7183	12.2	= 0,01		3,017
	= 0,0001				= 0,01

	1
12.3	1		0,	12.4	√1,3		1,140
12.3	= 0,00001		84147	12.4	= 0,001		1,140

					3

12.5		10	0,304	12.6			1,0986
	= 0,001				= 0,0001
	= 0,001

12.7	2		3,7622	12.8			0,4343
12.7	= 0,0001		3,7622	12.8	= 0,0001		0,4343
	= 0,0001				= 0,0001

12.9			3,14159	12.10	2		7,389
12.9	= 0,00001		3,14159	12.10	= 0,001		7,389

12.11	2°		0,999	12.12	3√80		4,309
12.11	= 0,001		0,999	12.12	= 0,001		4,309
	= 0,001				= 0,001

						1
	5
12.13	5		1,609	12.14	2		0,464
12.13			1,609	12.14	2		0,464
	= 0,001				= 0,001

			87

1			2	3	4	5				6
		6√738						3√
12.15		6√738		3,006	12.16			3√		1,3956
12.15	= 0,001			3,006	12.16					1,3956
	= 0,001					= 0,00001

		1 °				3
						3
12.17				0,0175	12.18		√8,36			2,030
							√8,36
	= 0,0001					= 0,001
						= 0,001
		10				1
12.19		10		2,3026	12.20					0,340
12.19	= 0,0001			2,3026	12.20				3	0,340
	= 0,0001					= 0,001
						= 0,001
		7
12.21		7		0, 8451	12.22			√		1,6487
								√
	= 0,001
	= 0,001					= 0,0001
						= 0,0001

		10°				1

12.23				0,9848	12.24		3√30			0,302
12.23	= 0,0001			0,9848	12.24		3√30			0,302
	= 0,0001					= 0,001
						= 0,001
	10					1
	10					1
12.25		√1080		2,031	12.26					0,3679
		√1080
	= 0,001
	= 0,001					= 0,0001
						= 0,0001
						4
						4
12.27			100	0,0314	12.28			√90		3,079
								√90

	= 0,0001					= 0,001

			1			1
		7√136
12.29				0,496	12.30			3√		0,716
12.29				0,496	12.30			3√		0,716
	= 0,001					= 0,001

Задача 13

Используя разложение подинтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001

		Пример						Ответ

1			2					3
	0,25
								0,070
13.1	∫ (1 + √						)	0,070
	0
	1				2
13.2	∫ (				2	)		0,162
13.2	∫ (				2	)		0,162
	0
	0,2
	∫ √			−				0, 054
13.3	∫ √			−				0, 054
	0

	0,5
13.4	∫							0,487
13.4	∫							0,487
	0
	0

	0,2
								0,059
13.5	∫ √							0,059
	0

	0,5
13.6	∫ (1 + 3)							0,015
	0

	1
13.7	∫							0, 223
	0

			89

1		2				3
	1		2
	∫ −		2
13.8	∫ −		2			0,855
	0

	0,5

13.9	∫ √1 + 2					0,480
	0

	0,5
13.10	∫					0,484

		1 + 5
	0

	1
	1			2
	3			2
13.11	∫ √1 +					1,0026
13.11	∫ √1 +				4	1,0026
	0				4
	0

	0,5				2
13.12	∫					0,493
13.12	∫					0,493
	0
	0

	0,1	− 1
13.13	∫					0,103
13.13	∫					0,103
	0
	0

	0,5
13.14	∫ 2 3					0,018
	0

	0,5
13.15	∫ (1 + 2)					0,385
	0

					90

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]