Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы теории рядов. Учебное пособие для студентов-бакалавров ИТТСУ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

990 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

∞	(−1) −1 ∙ (3) −1		1	∞	(−1) −1
= ∑		=		∑		.
= ∑	∙ 3 ∙	=	3	∑	∙	.
=2				=2

Это знакочередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница:

1. \| 1\| > \| 2\| > \| 3\| > \| 4\| >
1		>	1	>	1	>	1	>

	2 ∙ 2		3 ∙ 3		4 ∙ 4		5 ∙ 5

Первое условие выполнено, так как члены ряда по абсолютной величине убывают.

2. lim | |

= 0

→∞

lim

| |

= lim

= 0

→∞

→∞ ∙

∞

Второе условие выполнено.

На правом конце (при

= 5 ) данный

степенной ряд

превращается в числовой ряд:

∞

(5 − 2) −1

∞

(3) −1

∞

∑

= ∑

∑

∙ 3 ∙

∙

Это знакопостоянный ряд, который расходится по

интегральному признаку:
=	1		; ( ) =		1		.


	∙					∙
	∙					∙
Исследуем несобственный интеграл:
∞		1
∫ ( ) =	lim ∫	1		=		lim ( ) \|		=

		∙
	→ ∞	∙			→ ∞		2
	2
		51

=lim ( ( ) − ( 2)) = ∞ − ( 2) = ∞ −

→ ∞

несобственный интеграл расходится.

Поскольку несобственный интеграл расходится, то исследуемый знакопостоянный ряд тоже расходится.

Таким образом, областью сходимости данного степенного

ряда является промежуток −1 ≤ < 5,

т. е.

[−1; 5).

ПРИМЕР № 3.2. Найти область сходимости ряда

∞

∑

Вычислим радиус сходимости степенного ряда

;

( +

1)3

( + 1)3

= lim |

| = lim

= lim

→∞

( +1)3

+ 1

= lim (

) = lim (1 +

) = (1 + 0) = 1

→∞

и установим интервал сходимости ряда

| | < 1 или

−1 < < 1 .

Посмотрим, что происходит в граничных точках.

На левом конце (при = −1 ) данный степенной ряд превращается в знакочередующийся числовой ряд:

∞	(−1)
∑		,
∑	3	,
=1	3
=1
	52

который абсолютно сходится, так как ряд, составленный из модулей, сходится:

∞	(−1)	∞	1	( = 3 > 1) .
∑ \|		\| = ∑
∑ \|	3	\| = ∑	3
=1		=1
На правом конце (при = 1 )				данный степенной ряд

превращается в знакопостоянный числовой ряд, называемый обобщенным гармоническим рядом:

∞	1	∞	1
∑		= ∑
∑	3	= ∑	3
=1		=1

и при = 3 > 1 сходится.

Таким образом, областью сходимости данного степенного

ряда является отрезок

[−1; 1] .

ПРИМЕР № 3.3. Найти область сходимости ряда

∞

( − 6)

∑

( + 2)!

Вычислим радиус сходимости степенного ряда

( − 6)

;

( + 2)!

( + 1 +

2)!

( + 3)!

= lim

= lim |

| = lim

( +2)!

→∞

→∞ ( + 2)!

( +3)!

= lim ( + 3) = ∞ .

→∞

Так как радиус сходимости степенного ряда стремится к бесконечности, то данный ряд сходится абсолютно на всей числовой оси.

Задача 8

Найти область сходимости ряда

Пример

Ответ

∞

∑

8.1

[−

;

]

2 + 1

∞

−1

8.2

∑

(−6; 6)

−1

∙ 3

∞

8.3

∑

(−2; 2)

∞

8.4

∑

[−2; 2)

∙ 2

∞

8.5

∑

[−1; 1)

∞

2 +1

8.6

∑

(−1; 1)

2 + 1

∞

∑

8.7

[−

;

)

2 − 1

∞

8.8

∑ ( )

( ; )

∞

8.9

∑

[−1; 1]

( + 1)

∞

8.10

∑

[−2; 2]

(

+ 1)

∞

8.11

∑ ( + 1)

(−1; 1)

∞

8.12

∑

(−2; 2)

∞

[−

√

10 ;

10 )

8.13

∑

∞

8.14

∑

(− ; )

∞

8.15

∑

[−5; 5)

∞

8.16

∑

[−1; 1]

1									2					3
	∞						(0,1) 2
8.17	∑						(0,1) 2					(− √10 ; √10 )
8.17	∑											(− √10 ; √10 )
	=1
	=1

		∞												1
		∑						(			)			1

8.18												( 10 ; 10)
		=1

						∞

8.19					∑								(−5; 5)
8.19					∑								(−5; 5)
									5
					=1

	∞								5
									5				√3				√3
												[−		5 ;			5		]
	=1	(2 + 1)2 √3										[−		5 ;			5		]
8.20	∑

					∞

8.21			∑										[−1; 1)

									√
			=1						√

				∞					2					1			1
		=1							2			[−		1			1
		=1							√			[−		2 ;			2 )
8.22		∑

	∞							(− ) +1					[−1; 1]
8.23	∑
8.23	∑									3
	=1									3
	=1

					∞
8.24			∑						3			[−			1	;	1	)
									3						1		1


		=1							√					3			3

	∞

8.25	∑												[−2; 2)


				2 √3 − 1
	=1			2 √3 − 1
											56

1			2							3
	∞									1			1

				2
	=1 √2 − 1									[− 2 ;			2 )
8.26	∑

	∞ ( + 1)2									(−2; 2)
8.27	∑
8.27	∑				2
	=1				2
	=1

	∞			5						6			6

8.28	∑									[−		;		)
											5		5
					3
					3
	=1		6		∙ √

	∞						1
8.29	∑						1			[− 1; 1)
8.29	∑									[− 1; 1)
	=1
	=1

	∞							2
								2

8.30	∑ (					)				(−5 ; 5 )
8.30	∑ (	+ 1				)			5	(−5 ; 5 )
	=1

Задача 9

Найти область сходимости ряда

Пример

∞

√

9.1

∑

9.2

∑

( + 1)!

∞

( )

9.3

∑

9.4

∑

∙ 2

∞ ( − 3)

∞

( − 1)

9.5

∑

9.6

∑

( + 1)!

∞

2 −1

∞

9.7

∑(−1)+1

9.8

∑

(2 − 1)(2 − 1)!

∞

9.9

∑ − 2

9.10

∑

∞

9.11

∑

9.12

∑

∞

9.13

∑

9.14

∑

3√

=1 ( − 2)

∞

(−1)

9.16

∞

( + 1)

9.15

∑

∞

9.18

∞

9.17

∑

( )

3 √9 − 1

∞

9.20

∞ (2 − 1)

9.19

∑

(2 − 1)2

∞

9.22

∞

9.21

∑ 2

∑

∞

9.24

∞

∑ !

9.23

∑

∞

9.26

∞

9.25

∑

∞

9.28

∞

9.27

∑

∞

9.30

∞

9.29

∑

Задача 10

Найти область сходимости ряда

Пример

Ответ

∞

( − 4)2 −1

10.1

∑

3 < < 5

2 − 1

∞

( − 2)

10.2

∑

1 < < 3

(1 +

)

∞

( − 2)

10.3

∑

0 < < 4

∞

( − 1)

10.4

∑

0 ≤ ≤ 2

∞

( + 8)

10.5

∑

−9 ≤ ≤ −7

∞

10.6

∑ (2 + )

−3 < < −1

∞

( − 1)

10.7

∑

−1 ≤ < 3

( +

∞

( + 5)

10.8

∑

−6 ≤ ≤ −4

3√

√

+ 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]