Микроэкономика. Продвинутый уровень. Учебное пособие
.pdf
Задачи к главе 3
Задача 1
Необходимо найти оптимальный выбор потребителя, максимизирующего общую полезность при фиксированном уровне дохода, методом Лагранжа. Дана функция полезности: U = 2x0,5y0,5, где х, у – объемы благ. Цены благ: Рx = 4, Рy = 5, доход потребителя I = 80.
Решение
Имеем задачу математического программирования:
= 2 , , → max.
4+5 = 80;
,≥ 0.
Решим ее методом Лагранжа. Построим функцию Лагранжа:
( , ,φ) = 2 , , + φ(80 − 4 − 5 ).
Найдем частные производные функции Лагранжа по всем переменным и приравняем их к нулю.
( , ,φ) = ( , ,φ) =
,,
,,
−4φ = 0; (1)
−5φ = 0; (2)
|
( , ,φ) |
= 80 − 4 |
− 5 = 0.(3) |
||||
Решим полученную |
систему уравнений. Из уравнений (1) и (2) выра- |
||||||
φ |
|
|
|
|
|
||
зим φ. Получим: |
φ = 0,25 |
|
|
, |
; (1′) |
||
|
|
|
|||||
|
φ = 0,2 |
|
|
, |
; (2′) |
||
|
|
|
|||||
Так как левые части |
4 + 5 |
= 80.(3′) |
|||||
|
уравнений |
и |
(2′) |
одинаковы, значит, их пра- |
|||
вые части равны. Приравняем: (1′) |
|
|
|
||||
51
0,25 |
|
, = 0,2 |
|
, |
| ∙ |
, , . |
|
|
|||||
Домножим обе части уравнения на |
, |
, |
и выполним преобразова- |
|||
ния. Получим |
= 0,8 |
(4). |
|
|||
|
|
|||||
Полученное выражение (4) подставим вместо y в уравнение (3′).
4 +5 ∙0,8 = 80,= 10.
Из (4) найдем y. Отсюда решение:
= 10;
= 8.
Это оптимальный выбор потребителя, максимизирующего общую полезность при фиксированном уровне дохода.
Задача 2
Найдите оптимальный выбор потребителя, максимизирующего общую полезность при фиксированном уровне дохода, методом Лагранжа. Дана функция полезности: U = 2x0,1y0,5, где х, у – объемы благ. Цены благ: Рx = 2, Рy = 5, доход потребителя I = 80.
Задача 3
Найдите оптимальный выбор потребителя, максимизирующего общую полезность при фиксированном уровне дохода, методом Лагранжа. Дана функция полезности: U = 2x0,5y0,5, где х, у – объемы благ. Цены благ: Рx = 2, Рy = 5, доход потребителя I = 40.
Задача 4
Найдите оптимальный выбор потребителя, максимизирующего общую полезность при фиксированном уровне дохода, методом Лагранжа. Дана функция полезности: U = x0,5y0,5, где х, у – объемы благ. Цены благ: Рx = 5, Рy = 5, доход потребителя I = 50.
Задача 5
Найдите оптимальный выбор потребителя, максимизирующего общую полезность при фиксированном уровне дохода, методом Ла-
52
гранжа. Дана функция полезности: U = x0,5y0,1, где х, у – объемы благ. Цены благ: Рx = 2, Рy = 1, доход потребителя I = 120.
Задача 6
Найдите оптимальный выбор потребителя, максимизирующего общую полезность при фиксированном уровне дохода, методом Лагранжа. Дана функция полезности: U = x0,2y0,4, где х, у – объемы благ. Цены благ: Рx = 5, Рy = 5, доход потребителя I = 90.
Задача 7
Найдите оптимальный выбор потребителя, максимизирующего общую полезность при фиксированном уровне дохода, методом Лагранжа. Дана функция полезности: U = x0,1y0,1, где х, у – объемы благ. Цены благ: Рx = 2, Рy = 1, доход потребителя I = 100.
Задача 8
Найдите оптимальный выбор потребителя, максимизирующего общую полезность при фиксированном уровне дохода, методом Лагранжа. Дана функция полезности: U = x0,1y0,1, где х, у – объемы благ. Цены благ: Рx = 1, Рy = 1, доход потребителя I = 30.
Задача 9
Найдите оптимальный выбор потребителя, максимизирующего общую полезность при фиксированном уровне дохода, методом Лагранжа. Дана функция полезности: U = x0,2y0,2, где х, у – объемы благ. Цены благ: Рx = 1, Рy = 1, доход потребителя I = 40.
Задача 10
Найдите оптимальный выбор потребителя, максимизирующего общую полезность при фиксированном уровне дохода, методом Лагранжа. Дана функция полезности: U = x0,5y0,5, где х, у – объемы благ. Цены благ: Рx = 1, Рy = 1, доход потребителя I = 60.
Задача 11
Найдите оптимальный выбор потребителя, минимизирующего затраты при фиксированном уровне полезности (благосостояния), методом Лагранжа. Дана функция полезности: U = 2xy, где х, у– объемы благ. Цены благ: Рx = 4, Рy = 5, уровень полезности (благосостояния)
U0 = 40.
53
Задача 12
Домашнее хозяйство потребляет два блага в количествах x и y; его предпочтения описываются функцией полезности U(x, y). Найдите функцию спроса домашнего хозяйства, если U(x, y) = x2 · y3.
Задача 13
Удовлетворяют ли следующие потребительские предпочтения слабой аксиоме выявленных предпочтений?
Номер |
|
Цены |
Выбираемые потребительские |
|||
|
|
наборы |
||||
наблюдения |
|
|
|
|
||
р1 |
|
р2 |
х1 |
|
х2 |
|
|
|
|
||||
1 |
2 |
|
2 |
3 |
|
4 |
2 |
4 |
|
1 |
4 |
|
2 |
3 |
1 |
|
3 |
2 |
|
4 |
Задача 14
Удовлетворяют ли следующие потребительские предпочтения слабой аксиоме выявленных предпочтений?
Номер |
|
Цены |
Выбираемые потребительские |
|||
|
|
наборы |
||||
наблюдения |
|
|
|
|
||
р1 |
|
р2 |
х1 |
|
х2 |
|
|
|
|
||||
1 |
1 |
|
2 |
1 |
|
2 |
2 |
2 |
|
1 |
2 |
|
1 |
3 |
1 |
|
1 |
2 |
|
2 |
Задача 15
Потребитель расходует весь свой доход на приобретение трех продуктов X, Y и Z. В таблице содержатся данные о ценах и объемах потребления каждого продукта в 2007, 2008 и 2009 гг.
Год |
Объемы потребления продуктов |
|
Цены |
|
|||
X |
Y |
Z |
pX |
pY |
pZ |
||
|
|||||||
2007 |
5 |
6 |
7 |
10 |
25 |
30 |
|
2008 |
6 |
5 |
6 |
20 |
50 |
70 |
|
2009 |
6 |
5 |
7 |
30 |
80 |
90 |
|
Как изменилось благосостояние потребителя в 2008 г., в 2009 г., по сравнению с 2007 г.? Обоснуйте свои ответы.
54
Задача 16
Потребитель расходует весь свой доход на приобретение трех продуктов X, Y и Z. В таблице содержатся данные о ценах и объемах потребления каждого продукта в 2007, 2008 и 2009 гг.
Год |
Объемы потребления продуктов |
|
Цены |
|
|||
X |
Y |
Z |
pX |
pY |
pZ |
||
|
|||||||
2007 |
10 |
12 |
14 |
1 |
2 |
3 |
|
2008 |
12 |
10 |
10 |
2 |
5 |
8 |
|
2009 |
11 |
10 |
15 |
3 |
8 |
10 |
|
Как изменилось благосостояние потребителя в 2008 г., в 2009 г., по сравнению с 2007 г.? Обоснуйте свои ответы.
Задача 17
Москвичка Галя тратит 100 руб. ежемесячно на мороженое и конфеты. Находясь в родном городе, она покупает в месяц 20 порций мороженого по 4 руб. и 3 кг конфет по 20 руб. Лето Галя проводит у бабушки в Твери, где конфеты стоят 24 руб. за кг, а мороженое
– 2,5 руб. Как изменяется благосостояние Гали в летние месяцы?
Задача 18
Номинальный доход потребителя вырос на 10 %, а цены продуктов питания – на 20 %. Как изменилось благосостояние потребителя, если до повышения цен он тратил на продукты питания 40 % своего дохода?
Задача 19
Пусть имеется экономика с двумя индивидами А и В. Их предпочтения представлены функциями полезности: ( , ) =
и ( , ) = |
. Индивид А изначально располага- |
ет 2 ед. блага X и ни одной единицей блага Y. Индивид В изначально располагает 3 ед. блага Y и ни одной единицей блага X. Рассчитайте равновесные цены (относительные) и равновесное размещение благ между индивидами.
Задача 20
До изменений в налогообложении потребитель 20 % своего дохода тратил на основные продукты питания. Правительство отменяет налог (НДС) на эти продукты, в результате чего их розничная цена снижается на 10 %. Одновременно повышается подоходный налог,
55
в результате чего располагаемый доход потребителей снижается на 2 %. Как изменилось при этом благосостояние потребителя? Как бы вы ответили на предыдущий вопрос, если бы рост подоходного налога сократил располагаемый доход потребителя на 3 %?
Предположим теперь, что правительство повышает НДС и снижает подоходный налог. В результате этого цены основных продуктов питания вырастают на 10 %, а располагаемый доход возрастает на 2 %. Как в этом случае изменится благосостояние потребителя?
Тесты к главе 3
1.Среди следующих утверждений одно является неправильным. Укажите на него:
а) каждая точка на кривой безразличия означает различную комбинацию двух благ; б) каждая точка на бюджетной линии означает различную комбинацию двух благ;
в) все точки на бюджетной линии означают одинаковый уровень денежного дохода; г) все точки на кривой безразличия означают одинаковый уровень денежного дохода;
д) все точки на кривой безразличия означают одинаковый уровень удовлетворения потребностей.
2.Снижение дохода потребителя графически выражается:
а) в изменении наклона бюджетной линии; б) параллельном сдвиге бюджетной линии вправо;
в) параллельном сдвиге бюджетной линии влево; г) параллельном сдвиге кривой безразличия вправо; д) параллельном сдвиге кривой безразличия влево.
3. Какой из следующих перечней значений общей полезности иллюстрирует закон убывающей предельной полезности?
а) 200, 300, 400, 500; б) 200, 450, 750, 1100; в) 200, 300, 350, 380; г) 200, 400, 1600, 9600; д) 200, 350, 450, 600.
56
4.Цена товара Х составляет 1,5 руб. Цена товара Y составляет 1 руб. Если потребитель оценивает предельную полезность товара Y в 20 ютилей и максимизирует удовлетворение от покупки товаров X и Y, тогда предельная полезность товара X должна составлять:
а) 15 ютилей; б) 20 ютилей; в) 30 ютилей; г) 45 ютилей;
д) в условии недостаточно информации для ответа на вопрос.
5.Положение и наклон бюджетной линии для отдельного потребителя объясняется:
а) его предпочтениями и размерами дохода; б) только ценами покупаемых товаров;
в) предпочтениями, размерами дохода и ценами покупаемых товаров; г) только его предпочтениями; д) ценами покупаемых товаров и размерами дохода.
6.Предположим, что потребитель имеет доход в 10 долл. Цена товара А равна 1 долл., а цена товара В – 0,5 долл. Какая из следующих комбинаций товаров находится на бюджетной линии?
а) 8А и 1В; б) 7А и 1В; в) 6А и 6В; г) 5А и 6В; д) 4А и 12В.
7.Закон убывающей предельной полезности означает, что:
а) отношение предельных полезностей к ценам на предметы роскоши меньше, чем на товары первой необходимости; б) отношение предельных полезностей к ценам одинаково для всех товаров;
в) полезность, приносимая каждой последующей единицей товара, убывает по мере увеличения количества приобретаемых товаров; г) полезность приобретаемых товаров убывает по мере увеличения дохода потребителя; д) ни один из ответов не является верным.
57
8.Общая полезность достигает максимального значения, когда предельная полезность:
а) уменьшается; б) увеличивается; в) равна нулю;
г) является величиной положительной; д) является величиной отрицательной.
9.Теория потребительского поведения предполагает, что потребитель стремится максимизировать:
а) разницу между общей и предельной полезностью; б) среднюю полезность; в) предельную полезность; г) общую полезность;
д) каждую из перечисленных величин.
10.Потребительское равновесие на карте безразличия – это:
а) любое пересечение бюджетной линии и кривой безразличия; б) та точка, в которой наклон бюджетной линии равен наклону касательной к ней кривой безразличия; в) любая точка на самой высокой из кривых безразличия;
г) любая точка, расположенная на бюджетной линии; д) любая точка, расположенная на пространстве, ограниченном бюджетной линией.
11. Совместите следующие карты кривых безразличия со словесными описаниями предпочтений потребителя:
1 |
2 |
3 |
|||||
Y |
|
|
|
|
|
Y |
Y |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
X |
X |
а) товары X и Y совершенно взаимозаменяемые для потребителя; б) товары X и Y жестко взаимодополняемые для потребителя; в) потребитель предпочитает товар X и равнодушен к товару Y; г) потребитель предпочитает товар Y и равнодушен к товару X.
58
12.Функция полезности потребителя имеет вид U (X; Y) = 3X + 5Y. Предельная норма замещения (MRS) товара Y товаром X составит:
а) 3/5; б) 5/3;
в) 3X + 5Y; г) 8;
д) 3X.
13.Увеличение дохода потребителя графически выражается:
а) в изменении наклона бюджетной линии; б) параллельном сдвиге бюджетной линии вправо;
в) параллельном сдвиге бюджетной линии влево; г) параллельном сдвиге кривой безразличия вправо; д) параллельном сдвиге кривой безразличия влево.
14.Гипотеза ненасыщения потребительских предпочтений состоит в том, что:
а) при наличии двух различных наборов благ потребитель всегда предпочитает один из них другому или признает их равноценными (одинаково предпочтительными); б) при прочих равных условиях потребитель предпочитает большее
количество данного блага меньшему его количеству;
в) если потребитель предпочитает набор A набору B, а набор B набору C, то он предпочитает набор A набору C;
г) при наличии двух одинаковых наборов благ потребитель считает, что любой из них не хуже другого.
15.Эффект дохода имеет место в следующем случае:
а) если доходы людей падают, они покупают меньше данного продукта; б) удешевление товаров приводит к тому, что потребитель может ку-
пить больше данного товара, не сокращая объема приобретения других товаров; в) объем покупок некоторых товаров сокращается по мере увеличения доходов людей;
г) по мере того, как доходы людей растут, они сберегают увеличивающуюся часть дохода; д) во всех перечисленных случаях.
59
16. Потребитель расходует 20 долл. в неделю на покупку товаров А и В.
Товар |
Цена |
Количество |
Общая |
Предельная |
|
полезность |
полезность |
||||
|
|
|
|||
А |
70 |
20 |
500 |
30 |
|
В |
50 |
12 |
1 000 |
20 |
Чтобы получить максимальное удовлетворение, потребитель должен: а) покупать меньше товара А и больше товара В; б) покупать прежнее количество товара А и больше товара В; в) покупать больше товара А и меньше товара В;
г) покупать больше товара А и прежнее количество товара В; д) не изменять структуру покупок, так как он уже получает максимальное удовлетворение.
17.Эффект замены – это рост спроса на товар, вызванный: а) изменением общего уровня цен на все товары;
б) изменением во вкусах потребителя, предпочитающего покупать то- вары-заменители; в) изменением в реальном доходе, вызванном снижением цен на потребляемые товары;
г) предложением новых заменителей товара; д) ни один из предыдущих ответов не является верным.
18.Общая полезность растет, когда предельная полезность:
а) уменьшается; б) увеличивается; в) равна нулю;
г) является величиной положительной; д) является величиной отрицательной.
19. Предельная норма замещения товара А товаром В означает:
а) сколько единиц товара А потребитель приобретает, когда цена товара В уменьшается на 1 руб.; б) в какой степени увеличивается предельная полезность, если по-
требление товаров А и В увеличивается на 1 единицу; в) сколько единиц товара В потребитель покупает, когда его доход возрастает, а потребление товара А остается прежним;
60