Микроэкономика. Продвинутый уровень. Учебное пособие
.pdf
разумеется, привести в движение, потребить производительно определенную массу средств производства, машин, сырья и т. д. Отношение это очень различно в различных отраслях производства, часто даже в различных подразделениях одной и той же отрасли промышленности, хотя, с другой стороны, в очень отдаленных друг от друга отраслях промышленности оно случайно может быть совершенно или почти одинаковым».4
В 1871 г. в Санкт-Петербурге вышла небольшая книга Н. Огроновича, в которой была сформулирована идея производственной функции. Автор пишет: «Труд мой “Наука о концентрировании атомов, индивидов, ферм”… будет по преимуществу не социальный, а политико-экономический, ибо в основу войдет математическая функция, найденная для определения производства; из этой функции мы можем определить maximum и minimum функции, или наибольшее и наименьшее производство всякого организма индивидуального, всякого организма фермы и всякого другого организма. Потом будет определена ценность из этой функции всякой производительной силы, которая есть не что иное, как прибыль или как дифференциал производства этой производительной силы, помноженной на то число, какое будет показывать, сколько раз производительная сила участвовала в производстве общем в данный момент производства».5 Таким образом, Н. Огронович задолго до работ П. Дугласа пришел к идее производственной функции.
2.2. Производственная функция «Кобба – Дугласа»
Существует широкий выбор формул, которые можно использовать для представления производственных функций. Производственная функция показывает зависимость между количеством используемых факторов производства и максимально возможным при этом выпуском продукции.
Наиболее популярна производственная функция Кобба – Дугласа. Макроэкономическая производственная функция описывает статистически значимую связь между совокупным выпуском (доходом) Y и различными видами затрат или объемами используемых ресурсов. Простейшая производственная функция Кобба – Дугласа,
4Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т. 23. С. 626.
5Огронович Н. Новое определение труда и капитала. СПб., 1873. С. 3.
21
примененная в анализе экономики США в 20–30-х гг. прошлого века, имеет вид
= ( , ) = |
, |
(2.1) |
где A – коэффициент, характеризующий эффективность производства; α и β – коэффициенты эластичности по капиталу K и труду L, соответственно, которые согласно классической теории отражают роль каждого фактора производства в приросте конечного продукта или долю дохода соответствующего фактора в единице совокупного дохода.
В результате расчёта с помощью метода наименьших квадратов при условии, что α+ß = 1, было установлено, что за исследуемый период значение А равно 1,01, α – ¼ , ß – ¾ , отсюда функция приняла
следующий вид: |
= 1,01 |
/ / |
. Из неё следует, что самым важ- |
|
ным фактором |
|
|
|
|
|
производства является труд, так как созданная им доля |
|||
составила 3/4 всего объёма производства и 1 % увеличения затрат труда расширяет объём производства в 3 раза больше, чем 1 % прироста капитала. Функция показывает также, что прирост объёма производства происходит медленнее, чем прирост затрат каждого из факторов: при росте на 1 % затрат труда объём производства практически возрастёт на ¾, а при увеличении на 1 % затрат капитала – на ¼.
α = |
∂ |
∙ |
|
; β = |
∂ |
∙ |
|
. |
∂ |
|
∂ |
|
Для графического представления производственной функции длинного периода в двухмерном пространстве используют семейство линий равного выпуска. Линия равного выпуска, или изокванта, представляет множество различных сочетаний объемов труда и капитала, при которых достигается один и тот же объем выпуска (рис. 2.1).
Дальнейшее развитие этой функции пошло в направлении введения фактора времени, отражающего процесс перехода от статической модели Кобба – Дугласа типа Y = F(K, L) к динамической функции Y = F(K, L, t) с учётом влияния технического прогресса на объём производимой продукции. В итоге функция Кобба – Дугласа приобрела следующий обобщённый вид:
= |
, |
(2.2) |
где ert – фактор, отражающий влияние качественных изменений в производстве, в т. ч. технического прогресса. Особенность этой функции в том, что r выступает в ней как комплексный показатель
22
роста совокупной экономической эффективности всех факторов производства. Этот показатель помимо изменений в технике отражает улучшение качества и повышение эффективности использования овеществлённого или живого труда, а также ряд других факторов. Так, Я. Тинберген, изучив динамику объёма производства, капитала, занятых в экономике и технических изменений для четырёх стран: Германии, Великобритании, Франции и США – за 1870–1914 гг., получил следующие результаты (при том условии, что в качестве параметров α и ß были взяты доли капитала и труда в национальном доходе, соответственно, ¼ и ¾): в Германии экстенсивные факторы – увеличение затрат капитала и труда – обеспечили 60 % роста, технический прогресс – 40 %; в Великобритании – соответственно, 80 и 20 %;
в США – 73 и 27 %.
Рис. 2.1. Изокванта
Для оценки влияния экономических факторов на макроэкономическую динамику мы поставили перед собой задачу построения производственной функции для России. Для этого были собраны следующие данные:
•объем ВВП Y,
•инвестиции в основной капитал K,
•начисленная заработная плата всех занятых в экономике России L за период 2001 – I квартал 2008 г.
В качестве переменной Y взят ВВП, в качестве L – среднемесячная заработная плата всех занятых в экономике России. Заработная плата в России до сих пор остается главной составляющей в структуре доходов, и ее динамика отражает структурные изменения в потреблении. В качестве K рассматриваются инвестиции в основной капитал, являющиеся важным показателем сферы накопления.
23
При оценке производственной функции по имеющимся данным необходимо использовать метод последовательных разностей для устранения тенденции и сглаживания сезонных колебаний. Можно ожидать, что отдача от масштаба этой функции будет возрастающей. Для построения производственной функции использовалась модель с нейтральным НТП (2.1), так как она отражает выявленные связи между показателями и позволяет исследовать влияние НТП на прирост ВВП Y.
Производственная функция России (в приростах за квартал) за период 2001–2008 г. по нашим расчетам имеет следующий вид в приростах за квартал:
= −0,0361+0,2606 +0,4322 +0,9472 , (2.3)
при этом R2 = 0,925 – коэффициент детерминации, DW = 2,35 – статистика Дарбина – Уотсона.
В последние годы влияние инвестиций в основной капитал и оплаты труда на макроэкономическую динамику России несколько изменилось. Динамика ВВП по-прежнему зависит от изменения инвестиций с лагом 1 год, но влияние капитала стало более существенным, чем в период 1996–2005 г. Большее влияние на макроэкономическую динамику России оказывает оплата труда с лагом 1 квартал и 3 квартала. Влияние НТП остается несущественным.
2.3. Линейная производственная функция
Линейная производственная функция имеет вид
= α + β , где α = |
|
, β = |
|
, |
(2.4) |
|
|
т. е. это коэффициенты, представляющие предельную производительность факторов.
Изокванта для линейной производственной функции будет иметь вид, представленный на рис. 2.2.
Прямая изокванта иллюстрирует случай совершенной взаимозаменяемости факторов производства, когда для замены единицы капитала требуется 1,4 ед. труда независимо от количества используемого труда и капитала.
24
K
10
L
14
Рис. 2.2. Изокванта для линейной производственной функции
2.4. Производственная функция Леонтьева
Производственная функция, отображающая технологию с использованием взаимодополняемых факторов производства, называется производственной функциейЛеонтьева. Онаимеетследующийвид:
= min (α ; α ),
где
α = |
|
; α = |
|
. |
(2.5) |
|
|
Изокванта для производственной функции Леонтьева будет иметь вид, представленный на рис. 2.3.
Прямоугольная изокванта Y = 20 представляет технологию с жестко взаимодополняемыми факторами: при уменьшении труда или капитала на единицу 20 ед. продукции уже произвести нельзя, как ни увеличивай объем использования второго фактора. С другой стороны, сколько ни добавляй труда к объему капитала, выпуск не увеличивается.
В современном обществе важную роль играет система образования, внедрение современных информационных технологий, развитие средств транспорта и связи, углубление специализации, совершенствование управления предприятиями. Конкурентоспособность страны на мировом рынке определяется уже не столько дешевизной рабочей силы, сколько качеством труда, уровнем образования работников, их способностью осваивать новые технологические процессы, качеством менеджмента.
25
K
20
L
Рис. 2.3. Изокванта для функции Леонтьева
Современные экономисты неоклассического направления, используя аппарат производственных функций в сочетании с другими методами моделирования, эконометрики и статистики, делают попытку оценить влияние всех перечисленных факторов на экономический рост, повышение производительности труда.
2.5. Предельная норма технического замещения
Предельная норма технического замещения одного фактора другим, например капитала трудом MRTSL,K, показывает, на какую величину следует изменить количество одного фактора (капитала K) при изменении количества другого фактора (труда) на одну единицу ( L), чтобы размеры выпуска не изменились.
Иными словами,
, = − |
∆∆ |
| |
(2.6) |
или в дифференциальной форме
, = − |
|
| |
. |
(2.7) |
|
Чтобы при изменении количества используемых факторов производства выпуск оставался неизменным, количества труда и капитала должны изменяться в разных направлениях. Если количество капи-
26
тала сокращается K < 0, то количество труда должно увеличиваться L > 0. Поэтому отношение K/ L(Qconst) всегда отрицательное.
Между тем предельная норма технического замещения представляет собой просто пропорцию, в которой один фактор производства может быть замещен другим, и является величиной положительной (MRTSL,K > 0). Отсюда следует, что MRTSL,K равна соотношению
K/ L(Qconst), взятому с обратным знаком.
MRTSL,K определяется соотношением предельных продуктов труда MPL и капитала MPK. Вспомним, что предельный продукт фактора производства характеризует изменение выпуска при изменении количества данного фактора на одну единицу и при неизменном количестве других факторов.
Соответственно, MPL = Q/ L; MPK = Q/ K или в дифференциальной форме MPL = dQ/dL; MPK = dQ/dK.
Можно доказать, что MRTSL,K = MPL/ MPK.
Когда мы изменяем затраты труда на L, выпуск изменяется L· MPL, когда же изменяем затраты капитала на K, выпуск изменяется на K· MPK. Поскольку определение MRTS предполагает, что общий выпуск при изменении затрат труда и капитала остается неизменным, можно записать: L· MPL + K· MPK = 0, отсюда K· MPK = – L· MPL или – K/ L = MPL/ MPK, что и доказывает справедливость выраже-
ния MRTSL,K = MPL/ MPK.
MRTS может быть интерпретирована как численное выражение тангенса угла наклона изокванты K/ L. Величина и динамика MRTS характеризуют степень взаимозаменяемости факторов производства.
Важной характеристикой производственной функции является показатель эластичности замещения. Коэффициент эластичности δ показывает, насколько процентов должна измениться капиталовооруженность труда, т. е. соотношение между капиталом и трудом, чтобы при неизменном выпуске предельная норма технического замещения изменилась на один процент:
δ = |
%∆% ∆ |
|
, |
= |
|
∆ |
|
|
|
|
|
∆ |
,, |
(2.8) |
|||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
или в дифференциальной форме |
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
δ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
. |
|
(2.9) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
27
Поскольку вдоль каждой изокванты отношения K/L и MRTS меняются в одном и том же направлении, снижаются при увеличении количества труда в способах производства и возрастают при увеличении капитала, показатель δ всегда положителен.
Он может варьироваться от бесконечности (для линейной производственной функции) до нуля (для леонтьевской функции). Данный коэффициент позволяет соизмерять степень взаимозаменяемости ресурсов для различных производственных процессов.
Контрольные вопросы и задания
1.Охарактеризуйте способы описания технологий: производственное множество, производственная функция и множество необходимых факторов производства.
2.Перечислите свойства производственных множеств.
3.Определите понятие агрегирования в теории производства.
4.Какие виды производственных функций используются в экономическом анализе и прогнозировании? Назовите и их свойства.
5.Что такое эластичность замены одного ресурса другим?
6.Опишите производственную функцию с постоянной эластичностью замены ресурсов и ее связь с производственной функцией Кобба – Дугласа, линейной и производственной функцией Леонтьева.
7.Как реализуется учет в производственной функции научнотехнического прогресса в экзогенной и эндогенной формах?
Задачи к главе 2
Задача 1
Необходимо определить предельную производительность капитала и труда и предельную норму технологического замещения капитала трудом, если технология характеризуется линейной производственной функцией следующего вида: y = 5K + 7L.
Решение
MPK = = 5 – предельная производительность капитала; MPL = = 7 – предельная производительность труда;
MRTSKL = |
|
= |
|
= |
|
= 1,4 – предельная норма технологического |
|
|
|
замещения капитала трудом.
28
Задача 2
Конкурентная фирма имеет общие затраты TC = Q2 + 20Q + 800. Она получает в краткосрочном периоде максимально возможную прибыль, равную 800. Определите цену на рынке и объем выпуска данной фирмы.
Задача 3
Определите предельную производительность капитала и труда
ипредельную норму технологического замещения труда капиталом
икапитала трудом, если технология характеризуется линейной производственной функцией следующего вида: y = 2K + 5L.
Задача 4
Функция общих издержек конкурентной фирмы описывается уравнением ТС = 0,5Q3 – 20Q2 + 1600Q + 2000. При каком уровне цены фирма прекратит производство и уйдет с рынка?
Задача 5
Конкурентная фирма имеет общие затраты TC = 2Q2 + 40Q + 800. Она получает в краткосрочном периоде максимально возможную прибыль, равную 1000. Определите цену на рынке и объем выпуска данной фирмы.
Задача 6
Производственная функция конкурентной максимизирующей прибыль фирмы задана выражением Q = 10K0,5L0,5. Цена единицы труда равна цене единицы капитала и составляет 4 тыс. руб. Определите цену единицы выпуска.
Задача 7
Производственная функция конкурентной фирмы имеет вид
( ; ) = , , (K – количество капитала, L – количество труда). Цены капитала и труда, соответственно, равны r = 4 и w = 5. Лимит затрат на ресурсы равен C0 = 120. Определите комбинацию ресурсов (K*;L*), максимизирующую выпуск фирмы при лимите затрат на ресурсы; определите объем максимального выпуска ymax(K*;L*); напишите уравнение изокванты, проходящей через точку (K*;L*); постройте точку (K*;L*) на графике. Постройте по трем точкам изокосту; постройте по трем точкам изокванту.
29
Задача 8 |
|
|
|
|
Производственная функция |
конкурентной фирмы имеет вид |
|||
( ; ) = |
, |
, (K – количество капитала, L – количество труда). |
||
|
|
0 |
= 4. Цены на капитал и труд, соот- |
|
Фиксированный выпуск фирмы y |
|
|||
ветственно, равны r = 16 и w = 4. Определите комбинацию ресурсов (K*;L*), минимизирующую издержки фирмы при фиксированном объеме выпуска y0 = 4; определите минимальные издержки фирмы Cmin(K*;L*); напишите уравнение изокосты; постройте точку (K*;L*) на графике. Постройте по трем точкам изокосту; постройте по трем точкам изокванту.
Тесты к главе 2
1.Взаимосвязь между всеми возможными вариантами сочетаний факторов производства и объемом выпускаемой продукции выражается при помощи:
а) кривой производственных возможностей; б) производственной функции; в) эластичности предложения; г) кривой общих затрат.
2.Предельную норму технологического замещения капитала трудом (MRTSKL) можно определить по формуле:
а) ( , );
б) ;
в) ;
г) ( , ).
3. Если фирма увеличивает затраты на ресурсы на 10 %, а объем производства при этом возрастает на 15 %, то в этом случае:
а) наблюдается отрицательный эффект масштаба; б) наблюдается положительный эффект масштаба; в) действует закон убывающей производительности; г) кривая АТС сдвигается вверх.
30