Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы теории функций в геометрии. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

989 Кб

Скачать

☆

1 / 131 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

КАЛИНИНГРАДСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТ

Н.В. Малаховский

МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ В ГЕОМЕТРИИ

УтвержденоРедакционно-издательским советом КГУ в качестве учебного пособия

Издательство Калининградского государственного университета

2005

УДК 517.2(07) ББК 22.161.11я73

М 181

Рецензент Л.А. Жарикова, кандидат физико-математических наук,

доцент Калининградского государственного технического университета

Малаховский Н.В.

М Методы теории функций в геометрии. – Калининград:

Изд-во КГУ, 2005. – 128 с. ISBN 5-88874-549-9

Содержит наиболее важные приложения математического анализа к геометрии: вектор-функции скалярного и векторного аргументов; основные свойства скалярных и векторных полей; простейшие дифференциально-геометрические характеристики плоских и пространственных кривых и поверхностей.

Предназначено для студентов математического и физического факультетов, обучающихся на специальностях, где дифференциальная геометрия не преподаётся в качестве отдельной дисциплины.

УДК 517.2(07) ББК 22.161.11я73

ISBN 5-88874-549-9	© Н.В. Малаховский, 2005
	© Издательство КГУ, 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ..............................................................................	5
Глава I. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ
СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
§ 1. Вектор-функция скалярного аргумента .....................	6
§ 2. Координаты вектор-функции и её производной.
Дифференциал ...............................................................	12
§ 3. Формула Тейлора .........................................................	15
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ
§ 1. Основные дифференциально-геометрические
понятия, связанные с кривой ......................................	17
§ 2. Основные формулы дифференциальной геомет-
рии кривых в пространстве ................................................	24
§ 3. Сопровождающий трехгранник ..................................	31
§ 4. Инвариантные формулы ..............................................	34
Глава III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ПЛОСКИХ КРИВЫХ
§ 1. Дифференциальные уравнения плоской кривой .......	39
§ 2. Кривизна плоской кривой ...........................................	40
§ 3. Соприкасающаяся окружность ...................................	41
§ 4. Эволюта .........................................................................	42
§ 5. Эвольвента ....................................................................	44
Глава IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 1. Вектор-функции многих скалярных аргументов ......	46

§ 2. Параметрически заданные поверхности.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности .... 48

§ 3. Площадь области на поверхности ..............................	52
§ 4. Первая квадратичная форма поверхности .................	56
§ 5. Вторая квадратичная форма поверхности .................	59
§ 6. Главные направления и главные кривизны
поверхности .................................................................	64
§ 7. Криволинейные координаты в пространстве ............	69
Глава V. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
§ 1. Скалярная функция векторного аргумента ................	74
§ 2. Поверхности уровня. Линии уровня ...........................	77
§ 3. Градиент. Производная по направлению ...................	78
§ 4. Градиентскалярногополявдекартовыхкоординатах ..	82
§ 5. Свойства градиента ......................................................	85
§ 6. Градиент в криволинейных координатах ...................	88
§ 7. Скалярные функции многих векторных
переменных ...................................................................	91
Глава VI. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ
§ 1. Вектор-функция векторного аргумента.
Векторное поле ............................................................	95
§ 2. Линейные операторы ...................................................	98
§ 3. Дифференцируемость векторных полей ....................	103
§ 4. Дивергенция векторного поля .....................................	106
§ 5. Ротор векторного поля .................................................	112
§ 6. Циркуляция векторного поля ......................................	116
§ 7. Вихрь векторного поля в криволинейных
координатах ..................................................................	122
§ 8. Дивергенция в криволинейных координатах ............	125
Список рекомендуемой литературы ..............................	127

ВВЕДЕНИЕ

С момента возникновения дифференциального и интегрального исчисления большое значение придавалось приложениям анализа к геометрии. В XIX веке возник особый раздел математики — дифференциальная геометрия, который включался в число обязательных дисциплин на математических и физико-математических факультетах многих университетов мира. Однако с появлением в XX веке многих новых областей математики и активным внедрением компьютеров в учебный процесс интерес к дифференциальной геометрии был утрачен, а сама дисциплина была упразднена в учебных планах многих специальностей с математическим уклоном. Учитывая, что в основной математической дисциплине — математическом анализе — широко используются геометрические интерпретации, то упразднение дисциплины «Дифференциальная геометрия» отрицательно сказалось на глубоком усвоении математического анализа.

Учебное пособие «Методы теории функций в геометрии» позволяет студентам самостоятельно ознакомиться с наиболее важными приложениями дифференциального и интегрального исчисления к геометрии и обеспечивает успешное восприятие всех основных разделов математического анализа. В пособии содержится предусмотренный учебными программами материал по дифференциальной геометрии и теории скалярных и векторных полей.

Учебное пособие написано лишь с привлечением простейших свойств производных и дифференциалов, что делает его доступным для понимания студентами первого курса, впервые приступающими к изучению высшей математики.

Автор выражает искреннюю благодарность, доценту А.Я. Шпилевому за ценные советы и замечания.

Глава I

ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА

§ 1. Вектор-функция скалярного аргумента

Определение. Вектор-функцией скалярного аргумента t с областью определения T R называется отображение, ставящее в соответствие каждому действительному числу t T единственный вектор a A V3 , где R — множество действи-

тельных чисел, а V3 — трёхмерное векторное пространство. Вектор-функцию скалярного аргумента обозначают в виде

ar = ar(t ). Область определения T будем предполагать или интервалом (конечным, замкнутым, бесконечным), или объеди-

нением интервалов. Длину вектора

обозначают символом

и называют модулем вектора a . Для любых двух векторов

и b справедливы неравенства:

а)

≥

−

≥ 0 и б)

≥

(1.1)

−b

первое из которых равносильно утверждению о том, что разность длин двух сторон треугольника не больше длины третьей стороны, а второе — равносильно утверждению, что сумма длин двух сторон треугольника не меньше длины третьей сто-

роны. Пусть вектор-функция ar(t ) определена в некоторой окрестности точки t0 , исключая, быть может, саму точку t0 .

§ 1. Вектор-функция скалярного аргумента

Определение. Вектор		a0 называется пределом вектор-
функции	ar(t ) при t →t0 ,	если для любого положительного
числа ε	найдется такое положительное число δ =δ (ε ), что

для всех значений t из указанной окрестности точки t0 , удов-

летворяющих неравенству

0 <

t −t0

<δ , выполняется

нера-

венство

ar(t )

− ar0

<ε , т. е. lim ar(t )= ar0 .

t →t0

ar0

Лемма. Если lim ar(t )= ar0

, то lim

ar(t )

t →t0

lim ar(t )= ar0 ,

Доказательство.

Так

как

то

ar(t )− ar0

t →t0

lim

= 0 , но

тогда

силу неравенства (1.1а)

также

t →t0

ar(t )

−

ar0

= 0 , откуда lim

ar(t )

ar0

lim

. Лемма доказана.

t →t0

Пусть вектор-функция ar(t ) определена в некоторой окре-

стности точки t0 .

Определение. Вектор-функция ar(t ) называется непрерывной в точке t0 , если при t →t0 она стремится к пределу ar(t0 ),

т. е. lim ar(t )= ar(t0 ). Вектор-функция называется непрерывной

t →t0

на заданной области ее определения, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Пусть вектор-функция ar(t ) определена в некоторой окре-

стности точки t0 . Рассмотрим отношение приращения вектор--
функции ar(t0 )= ar(t0 +		t )− ar(t0 )			к приращению аргумента
t = t −t0 :
	ar(t0 )	=	ar(t0 + t )− ar(t0 )			.	(1.2)
	t			t

Определение. Вектор-функция ar(t ) называется дифференцируемой в точке t0 , если при t →t0 существует предел век-

Глава I. Вектор-функция скалярного аргумента

тора (1.2). Этот предел называется производной вектор-функ-
ции ar	(t ) в точке t0 и обозначается символом ar′(t0 ):
	r	ar(t0 )		ar(t0 + t )−ar(t0 )
	a′(t0 )= lim		= lim		.	(1.3)
		t		t
	t→0		t→0

Вектор-функция, имеющая производную в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области.

Если вектор-функция ar(t ) дифференцируема в точке t0 , то, очевидно, она и непрерывна в этой точке.

Теорема. Пусть вектор-функции ar(t ), b (t ) и скалярная

функция f (t )	имеют пределы при t →t0 , равные соответст-
венно ar(t0 ), br	(t0 )	и f (t0 ):
lim ar(t )= ar(t0 ), limb (t )= br(t0 ) и lim f (t )= f (t0 ).							(1.4)
t →t0		t→t0			t →t0
Тогда при t →t0 существует предел суммы ar(t )+b (t )							и пре-
дел любого из произведений f (t )ar(t ), ar(t )b (t ) и ar(t )×br(t ),
а также справедливы равенства
I) lim(ar(t )+br		(t ))= ar	0 +br0 ;		II) lim f (t )ar(t )= f0 ar	0 ;
t →t0					t→t0
III) lim(ar(t ) br(t ))= ar				0 br0 ;	IV) lim ar(t )×br(t )= ar	0× br0 .
t →t0					t→t0

Докажем равенства I—IV.

I. В силу неравенства (1.1а)

ar(t )+br(t )−(ar0 +br0 ) ≤ ar(t )− ar0 + br(t )−br0 ,

а так как оба слагаемых в правой части в силу условий (1.4) стремятся к нулю при t →t0 , то и левая часть последнего со- отношения также стремится к нулю, что и доказывает ра-

венство I. Рассмотрим соотношения:

а)

; б)

≤

;

в)

≤

(1.5)

×b

Равенство (1.5а) очевидно (в силу правила умножения вектора на число). Неравенство (1.5б) следует из определения

§ 1. Вектор-функция скалярного аргумента

rr	=	r	r	r r
rr		r	r	r r
скалярного произведения ab		a	b	cos(a,b ) и неравенства

cosα

≤1 . Наконец, неравенство (1.5в) — из неравенства для

модуля

векторного произведения

ar×br

≤

sin (ar,br)

и не-

равенства

sinα

≤1.

II. В силу выражений (1.1б) и (1.1а) имеем

f (t )ar(t )− f0 ar0

≤

f (t )

ar(t )− ar0

f (t )− f0

ar0

В правой части в первом слагаемом

f (t )

стремится к

, а

второй сомножитель в силу условий (1.4) стремится к нулю. Во втором слагаемом правой части первый сомножитель в си- лу условий (1.4) стремится к нулю, а второй сомножитель по- стоянный. В целом вся правая часть стремится к нулю, а сле- довательно, и левая часть последнего соотношения стремится

кнулю при t →t0 , что и доказывает равенство II. III. В силу выражений (1.1б) и (1.3а) имеем

≤

(t )

(t ) b

(t )−a0

(t )−b0

(t )− a0

В первом слагаемом правой части

ar(t )

стремится к

ar0

, а

второй сомножитель стремится к нулю. Во втором слагаемом первый сомножитель по условию (1.4) стремится к нулю, а второй сомножитель постоянный. Следовательно, вся правая часть стремится к нулю, что и доказывает равенство III.

IV. Имеем, в силу выражений (1б) и (5в)

≤

(t )

(t )×b

(t )− a0

×b0

(t )−b0

(t )− a0

Откуда аналогично предыдущему случаю получаем доказательство равенства IV.

Замечание 1. Если помимо условий (1.4) также и для век-

тор-функции cr(t ) выполняется равенство lim cr(t )= cr0 , то

lim ar(t )br(t )cr(t )= ar0br0cr0 .

t →t0

Глава I. Вектор-функция скалярного аргумента

Замечание 2. При предположениях замечания 1

limt t (ar(t )×(br(t )×cr(t )))= ar0 ×(br0 ×cr0 ).

→ 0

Теорема. Пусть вектор-функции ar(t ), b (t ) и скалярная функция f (t ) дифференцируемы в точке t0 , тогда в этой точке

дифференцируемы сумма		ar(t )+b (t ) и произведения f (t )ar(t ),
ar(t ) b (t ), ar(t )×br(t ), атакжесправедливыравенства
	(ar(t )+br(t ))′		= ar′(t )+br′(t );								(1.6)
	(f (t )ar(t ))′	= f ′(t )av(t )+ f (t )ar′(t );									(1.7)
	(ar(t ) br(t ))′	= ar′(t ) br(t )+ a (t ) br′(t );									(1.8)
	(ar(t )×br(t ))′ = ar′(t )×br(t )+ ar(t )×br′(t );										(1.9)
Доказательство формулы (1.6). Имеем
	ar(t )+br(t )−(ar(t0 )+br(t0 ))		=	ar	(t )− ar(t0 )	+	br(t )−br			(t0 )	.
	t −t0		=		t −t0	+		t	−t0		.
	t −t0				t −t0			t	−t0

Каждое слагаемое правой части по условию имеет предел при t →t0 . В этом случае по первой теореме о пределах сущест-

вует предел всей правой части, и он равен сумме пределов. Для доказательства формулы (1.7) рассмотрим равенство

f (t )ar(t )− f (t0 )ar(t0 )		f (t )− f (t0 ) r		(t )+ f (t0 )	ar(t )− ar(t0 )
	=		a			.
t −t0					t −t0
		t −t0

В первом слагаемом справа первый сомножитель имеет предел

при t →t0 , равный	f ′(t0 ). Второй сомножитель имеет предел
ar(t0 ). Так как ar(t )	— непрерывная вектор-функция в точке

t0 , то по второй теореме о пределах первое слагаемое справа

1 / 131 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]