Методы теории функций в геометрии. Учебное пособие

§ 1. Основные понятия, связанные с кривой

Таким образом, производные rr′(t ) и rr′′(t ) первого и второго порядков от радиуса-вектора rr(t ) текущей точки опреде-

ляют соответствующую соприкасающуюся плоскость, в случае если эти производные не коллинеарны, т. е. если

rr′×rr′′ ≠ 0.

В дальнейшем это условие будем предполагать всегда выполненным.

Определение. Прямая, проходящая через точку М пространственной кривой и перпендикулярная касательной к кривой в этой точке, называется нормалью к кривой в точке М. Главной нормалью пространственной кривой в точке M назы- вается нормаль кривой в этой точке, лежащая в соприкасающейся плоскости. Бинормалью пространственной кривой в точке M называется нормаль к кривой в этой точке, перпендикулярная соприкасающейся плоскости.

Из доказанных теорем следует, что в точке M (rr(t )) кри-

вой rr = rr(t ) касательная определяется вектором T = rr′(t ), би-

нормаль — вектором B = rr′(t )×r′′(t ), а главная нормаль — вектором Nr = (rr′(t )×r′′(t ))×rr′(t ).

Рассмотрим на кривой rr = rr(t ) точку M и касательную в ней. При переходе в соседнюю точку M1 касательная повер-

нется на некоторый угол ϕ . Отношение ϕs угла ϕ к длине

s дуги MM1 называется средней кривизной дуги MM1 и характеризует в среднем степень изогнутости дуги MM1 . Очевидно, что дуга MM1 в различных своих точках может быть изогнута различно. Однако чем меньше дуга MM1 , тем точнее

средняя кривизна определяет степень изогнутости в каждой точке этой дуги.

21

ГлаваII. Дифференциальнаягеометрияпространственныхкривых

Определение. Кривизной K кривой в данной её точке M называется предел, к которому стремится средняя кривизна дуги MM1 кривой при стремлении точки M1 к точке M :

Найдем, например, кривизну окружности радиуса R . Для этого рассмотрим на ней две смежные точки М и M1 . Угол между касательными к окружности равен углу ϕ между радиу-

Следовательно, кривизна окружности в любой ее точке есть величина, обратная радиусу окружности:

K = R1 .

Рассмотрим на кривой rr = rr(t ) точку М и соприкасающуюся плоскость в ней. При переходе в соседнюю точку M1 кривой соприкасающаяся плоскость повернется на некоторый угол ψ . Отношение этого угла ψ к длине s дуги MM1 на- зывается средним кручением дуги MM1 . Оно характеризует в среднем степень отклонения пространственной кривой от плоской. Устремляя длину дуги MM1 к нулю, приходим к сле-

дующему определению кручения кривой в данной точке. Определение. Кручением T кривой в данной её точке M на-

зывается предел, к которому стремится среднее кручение дуги MM1 кривой при стремлении точки M1 к точке М: При этом

22

§ 1. Основные понятия, связанные с кривой

кручение считается положительным, если при движении вдоль кривой соприкасающаяся плоскость совершает правовинтовое движение, в противном случае — отрицательным. Таким образом, абсолютнаявеличинакрученияопределяетсяформулой

Вместо угла поворота ψ соприкасающейся плоскости можно

взять равный ему угол поворота бинормали. Из определения кручения следует равенство нулю кручения любой плоской кривой.

Пусть между точками дуги АВ кривой rr = rr(t ) и значениями параметра t из соответствующего отрезка [α, β] его изменения существует взаимно-однозначное соответствие. Функцию rr(t ) будем предполагать непрерывно дифференцируемой на отрезке [α, β]. Разобьем дугу АВ произвольным об-

разом на n частей точками A1 (rr(t1 )),..., An−1 (rr(tn−1 )). Соединив соседние точки хордами, получим вписанную ломаную.

Определение. Длиной L дуги AB кривой называется конечный предел длин вписанных в нее ломаных при неограниченном увеличении числа их звеньев и стремлении к нулю максимума их длин:

ГлаваII. Дифференциальнаягеометрияпространственныхкривых

Применяя к каждой из получившихся разностей формулу конечных приращений Лагранжа

f (b)− f (a) = (b − a) f ′(ξ) при a <ξ < b ,

находим

n

L = lim ∑ x′(ξk ) 2 + y′(ηk ) 2 + z′(ζk ) 2 (tk −tk −1 ),

n→∞ k =1

где tk −1 <ξk ,ηk ,ζk < tk . Предел интегральной суммы равен оп- ределенному интегралу

β

или в векторных обозначениях L = ∫ rr′(t )dt.

α

Теорема. Предел отношения бесконечно малой дуги к стягивающей ее хорде равен единице.

Доказательство. Применяя теорему о среднем значении к определенному интегралу, выражающему длину L дуги AB ,

β −α

§ 2. Основные формулы дифференциальной геометрии линий в пространстве

Рассмотрим произвольную кривую. Выберем на ней одно из двух возможных направлений. Пусть M0 — произвольная

24

§ 2. Основные формулы геометрии кривых в пространстве

точка кривой С. Длину дуги кривой С между M0 и текущей

точкой М, взятую с определенным знаком, обозначим через s и назовём её дугой s . Дугу s будем считать положительной, если текущая точка М смещена в положительном направлении по отношению к начальной точке M0 , в противном случае —

отрицательной. Тогда положение точки M на кривой однозначно соответствует определенному значению дуги s . Наоборот, всякому значению дуги s соответствует определенное

Уравнение (2.5) называется векторным уравнением кривой, в котором параметром является дуга s . Рассмотрим модуль производной радиуса-вектора r текущей точки кривой по ее дуге:

Будем использовать тот факт, что предел отношения длины

Этот факт достаточно очевиден, если исходить из интуитивного понятия кривой. Ранее он был строго доказан для правильно параметризованной кривой, у которой радиус-вектор текущей точки и его производная являются непрерывными функциями. В силу этого факта и равенства (2.6) заключаем, что модуль производной радиуса-вектора r текущей точки

25

ГлаваII. Дифференциальнаягеометрияпространственныхкривых

кривой по её дуге равен единице: drr =1. Откуда следует ds

drr = ds .

Таким образом, абсолютная величина дифференциала дуги пространственной кривой равна модулю дифференциала ра- диуса-вектора текущей точки кривой.

Замечание 1. При перемещении по кривой в сторону возрастания дуги s дифференциал дуги ds будет положителен. Следовательно, при таком перемещении знак абсолютной величины в полученной формуле можно опустить: ds = drr .

Замечание 2. Если линия отнесена к параметру t , то пола- r

гают ds = drdt dt, считая тем самым, что знаки ds и dt совпа-

дают, т. е. положительное направление отсчета дуг выбирается в сторону возрастания параметра t .

Замечание 3. Дифференцируя разложение радиуса-вектора rr по координатам x, y, z текущей точки M (x, y, z): rr = xir + yjr + zkr,

— получим drr = dxir + dyjr + dzk . Откуда находим дифференциал дуги в координатной форме:

ds = drr = dx2 + dy2 + dz2 .

Известно, что производная drr определяет вектор, направ- ds

ленный по касательной к линии в сторону возрастания дуги s . По доказанному ранее этот вектор единичный. Обозначая его через τ , получим первое основное уравнение дифференциальной геометрии кривой:

Следовательно, производная радиуса-вектора r текущей точ- ки кривой по ее дуге s равна орту касательной τ в этой точ-

26

§ 2. Основные формулы геометрии кривых в пространстве

ке. При этом орт касательной τ направлен в сторону положительного возрастания дуг на кривой.

Выясним геометрический смысл модуля его производной.

ям дуги, и проведем в них орты касательных τr(s) и τr(s +Δs). Совместим начало смежного орта τr(s +Δs) с началом M (s) исходного орта τr(s). Радианную меру угла между этими ортами обозначим через ϕ . Приращение τ орта касательной является основанием равнобедренного треугольника с единичными боковыми сторонами τr(s) и τr(s +Δs) и углом ϕ при вершине. Следовательно, модуль этого приращения равен

зывается кривизной кривой в данной точке. Таким образом,

ГлаваII. Дифференциальнаягеометрияпространственныхкривых

правлен по той нормали к кривой, которая лежит в соприкасающейся плоскости. Эта нормаль называется главной нор-

малью. Орт вектора dτr обозначается через ν и называется ds

ортом главной нормали. Вектор dτr равен своему модулю K , ds

умноженному на свой орт ν . Получаем вторую основную формулу дифференциальной геометрии кривой

Следовательно, производная орта касательной по дуге рав- на произведению кривизны линии на орт главной нормали. Из формулы (2.8) непосредственно следуют формулы для вычисления кривизны и орта главной нормали:

Прямая, перпендикулярная к касательной и к главной нормали в данной точке, называется бинормалью. Перемножив векторно орт касательной τ и орт главной нормали ν , полу-

чим орт бинормали, который обозначим через β :

28

§ 2. Основные формулы геометрии кривых в пространстве

Исследуем направление производной ddsβ . Дифференцируя тождество βr2 =1, получим 2βr ddsβ = 0. Откуда следует, что век-

кривой. Обозначим угол между этими ортами через ψ . При- ращение βr орта бинормали β (s) является основанием рав- нобедренного треугольникаr с единичными боковыми сторо- нами β (s) и β (s + s) и углом ψ при вершине. Поэтому

βr = 2sinψ2 . В силу этого из условия (2.11) получаем

29

ГлаваII. Дифференциальнаягеометрияпространственныхкривых

абсолютную величину кручения кривой. При этом кручение считается положительным, если при движении вдоль кривой соприкасающаяся плоскость совершает правовинтовое движение, и отрицательным — если левовинтовое. Следовательно, абсолютная величина скаляра λ есть абсолютная величина кручения.

Установим геометрический смысл знака скаляра λ . Если скаляр λ отрицателен, то вектор ddsβ = λνr направлен в сто-

рону, противоположную вектору ν . Отсюда следует, что при движении в направлении вектора τ вектор β будет совершать правовинтовое движение. Если скаляр λ положителен, то движение будет, очевидно, левовинтовое. А это значит, что знак скаляра λ противоположен знаку кручения T . Следова-

Полученная формула называется третьей основной фор-

мулой дифференциальной геометрии кривой в пространстве.

Умножая скалярно на ν обе части третьей основной формулы, получим следующую формулу для вычисления кручения:

T = −νr ddsβ .

30