Методы теории функций в геометрии. Учебное пособие

§ 2. Кривизна плоской кривой

§ 3. Соприкасающаяся окружность

Определение. Соприкасающейся окружностью (кругом кривизны) кривой в данной её точке М называется окружность, которая:

1)проходит через точку М;

2)имеет в точке М общую касательную с кривой;

3)расположена с той стороны от касательной, куда направлен орт νr главной нормали;

4)имеет кривизну, равную кривизне кривой в точке М. Определение. Радиусом кривизны кривой в данной её точ-

ке М называется радиус R круга кривизны.

Радиус окружности есть величина, обратная ее кривизне. С другой стороны, кривизна соприкасающейся окружности совпадает с кривизной K кривой в рассматриваемой точке. Поэтому радиус кривизны R кривой в данной точке есть вели-

чина, обратная кривизне кривой в этой точке: R = K1 .

Определение. Центром кривизны кривой в данной её точке M называется центр M1 круга кривизны кривой в этой точке.

41

Глава III. Дифференциальная геометрия плоских кривых

uuuuur

Вектор MM 1 , соединяющий данную точку М кривой с соот-

ветствующим центром кривизны M1 , определяется равенст- uuuuur r

вом MM 1 = Rν .

§ 4. Эволюта

Определение. Эволютой данной кривой называется геометрическое место центров кривизны этой кривой.

Для получения уравнения эволюты, рассмотрим на исход-

Формула (3.2) определяет радиус-вектор r1 текущей точки эволюты как функцию параметра t , т. е. определяет уравнения эволюты.

Рассмотрим свойства эволюты. В качестве параметра

Из полученной формулы вытекают следующие заключения:

42

§ 4. Эволюта

а) вектор drr1 направлен по касательной к эволюте и коллинеарен вектору νr , т. е. касательная к эволюте совпадает с нормалью к исходной кривой;

б) сравнивая модули обеих частей соотношения (3.3), получим drr1 = dR . Но drr1 равен абсолютной величине диффе-

ренциала дуги ds1 эволюты. Следовательно, ds1 = dR .

Выберем направление отсчета дуг на исходной кривой так, чтобы с возрастанием дуги возрастал радиус кривизны R. Ограничимся отрезком кривой, на котором R меняется монотонно и не имеет экстремумов, тогда ds1 и dR будут совпадать не только по абсолютной величине, но и по знаку: ds1 = dR. Откуда следует, что s1 = R +C , где C — произвольная константа. Рассмотрим на исходной кривой дугу AB . В концах А и В этой дуги будем иметь s1A = RA +C, s1B = RB +C . Откуда следует, что s1B − s1A = RB − RA .

Следовательно, разность радиусов кривизны исходной кривой в двух ее точках равна длине дуги эволюты, заключенной

где x1 , y1 — координаты текущей точки эволюты, а x, y — координаты текущей точки рассматриваемой кривой, являющиеся известными функциями параметра t . Вычислим νx ,νy и R . Имеем

Глава III. Дифференциальная геометрия плоских кривых

§ 5. Эвольвента

Определение. Эвольвентой данной кривой называется новая кривая, для которой данная кривая является эволютой.

Докажем, что если с исходной кривой сматывать в на- тянутом состоянии нить, то любая фиксированная точка M2 этой нити будет описывать эвольвенту исходной кри-

вой (эволюты).

Таким образом, данная кривая имеет бесконечно много эвольвент. Действительно, обозначим через s дугу исходной кривой между начальной точкой M0 и текущей точкой М. На ка-

сательной в точке М в направлении, противоположном τ , отложим отрезок s +C, где C — произвольная константа, получим точку M2 , радиус-вектор rr2 которой имеет вид rr2 = rr −(s −C )τr.

Это уравнение и определяет радиус-вектор rr2 фиксированной

44

§ 5. Эвольвента

точки M2 нити, которая сматывается в натянутом состоянии с

данной кривой.

Найдем эволюту для кривой, которую описывает точка M2 . Снабжая индексом 2 все величины, связанные с этой кри-

диус-вектор rr3 текущей точки эволюты для кривой, описываемой точкой M2 , определится равенством

rr3 = rr2 + R2νr2 = rr −τr(s +C )+τr(s +C )= rr,

т. е. эта эволюта совпадает с исходной кривой, что и требовалось доказать.

45

Глава IV

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ

§ 1. Вектор-функции многих скалярных аргументов

Определение. Вектор-функцией n скалярных аргументов

называется отображение, ставящее в соответствие каждому упорядоченному набору n переменных (x1,..., xn ) из некото-

рой области T r Rn определения этих переменных единственный вектор a.

Вектор-функцию n скалярных аргументов обозначают в виде ar = ar(x1 ,..., xn ). Аналогично случаю вектор-функции одной

переменной для вектор-функции n скалярных аргументов вводятся понятия предела, непрерывности, дифференцируемости.

Определение. Вектор a0 называется пределом при (x1 ,..., xn )→ (x10 ,..., xn0 ) вектор-функции ar(x1 ,..., xn ), заданной на множестве T Rn , еслидлялюбого ε > 0 существует δ > 0 такое,

Определение. Вектор-функция ar(x1 ,..., xn ) называется непрерывной в точке (x10 ,..., xn0 ), если

46

§ 1. Вектор-функции многих скалярных аргументов

Эта частная производная является, в свою очередь, векторфункцией от скалярных аргументов (x1 ,..., xn ), поэтому от нее

также можно брать частные производные, которые называют частными производными второго порядка. Аналогично определяются и частные производные последующих порядков.

В дальнейшем, рассматривая вектор-функции многих скалярных аргументов, будем предполагать существование у них непрерывных частных производных достаточного для исследования порядка.

Определение. Вектор-функция ar(x1 ,..., xn ) называется дифференцируемой в точке (x10 ,..., xn0 ), если существуют такие

Аналогично случаю вектор-функции одной переменной легко убедится, что в случае вектор-функции n аргументов

47

§ 2. Параметрически заданные поверхности

Определение. Годограф вектор-функции rr(u,v) при условии (4.1) называется правильно параметризованной поверхностью.

В декартовых координатах x, y, z уравнение rr = rr(u,v)

где x(u,v) = rr(u,v) i , y (u,v)= rr(u,v) j, z (u,v)= rr(u,v) kr —

компоненты вектор-функции rr(u,v) . Соответственно компо-

нентами вектор-функций частных производных будут частные

производные от компонент исходной вектор-функции:

∂rr = ∂x ir + ∂y rj + ∂z kr, ∂rr = ∂x ir + ∂y rj + ∂z kr. ∂u ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v ∂v

Поэтому условие (4.1) в координатах имеет вид

∂(y, z)r ∂(z, x) r ∂(x, y) r

∂(u,v)i + ∂(u,v) j + ∂(u,v) k ≠ 0

иозначает, что по крайней мере один из определителей отличен от нуля. Не умаляя общности, будем для определенности считать, что

сти, определённая радиусом-вектором rr = rr(u,v) данной поверх-

ности. Пусть паре u0 ,v0 соответствует точка M0 поверхности, координаты x0 , y0 , z0 которой определяются в силу уравнений (4.2)

равенствами x0 = x(u0 ,v0 ), y0 = y (u0 ,v0 ), z0 = z (u0 ,v0 ). Тогда в силу неравенства (4.3) по теореме о неявных функциях уравнения x = x(u,v), y = y (u,v) можно однозначно разрешить относи-