Методы теории функций в геометрии. Учебное пособие

§ 7. Криволинейные координаты в пространстве

С геометрической точки зрения векторы (4.45) являются нормалями к координатным поверхностям в данной точке пространства. Из соотношений (4.46) следует, что в произвольных криволинейных координатах u,v, w даже постоянный

вектор ar может иметь переменные компоненты.

На практике наиболее часто встречаются ортогональные криволинейные координаты, т. е. такие, у которых координатные линии пересекаются под прямым углом. Для этого необходимо и достаточно, чтобы векторы (4.44) были попарно ор-

тогональны: rru′ rrv′ = 0, rrv′ rrw′ = 0, rrw′ rru′ = 0. Действительно, векторы (4.46) являются касательными векторами к соответствующим координатным линиям. Для ортогональных координат в качестве векторов локального базиса выбирают обычно не сами векторы (4.44), а их орты:

Эти орты образуют в каждой точке пространства локальный декартовый ортонормированный базис, состоящий из трех взаимно перпендикулярных единичных векторов. Взаимный базис в этом случае состоит из тех же самых векторов (4.47), т. е. совпадает с исходным.

В качестве примеров рассмотрим две простые системы координат, часто встречающиеся на практике.

Цилиндрические координаты определяются уравнением rr = u cos vir +u sin vjr + wk

или тремя координатными уравнениями:

x = u cos v, y = u sin v, z = w,

точки М являются полярные координаты ρ,ϕ проекции М на плоскость xOy и аппликата z точки М. Координатными линиями служат: прямые, параллельные плоскости xOy и пере-

71

§ 7. Криволинейные координаты в пространстве

Координатными поверхностями, проходящими через данную точку M (ρ,θ,ϕ) являются: сфера с центром в начале ко-

ординат; полуплоскость, содержащая ось Oz ; конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz . Координатными линиями являются полупрямые, выходящие из начала координат (линии ρ ); окружности, лежащие в плоско-

стях, параллельных плоскости xOy , и имеющие центры на оси Oz (линии ϕ ); окружности с центрами в начале координат,

расположенные в плоскостях, проходящих через ось Oz (линии θ ). Непосредственное вычисление векторов (4.44) дает

В силу попарной ортогональности векторов (4.50) система сферических координат ортогональна. Базисными векторами

локального базиса являются векторы

erρ′ = sinθ cosϕi +sinθ sinϕrj + cosθk , erθ′ =rcos′ θ cosϕi + cosθ sinϕ rj −sinr θk , eϕ = −sinθ sinϕi +sinθ cosϕ j,

образующие в каждой точке тройку взаимно перпендикулярных единичных векторов.

Таким образом, ось Oz является особой линией для сферической системы координат.

Сферические координаты точки выражаются через декартовы ее координаты по следующим формулам:

73

Глава V

СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ

§ 1. Скалярная функция векторного аргумента

Определение. Говорят, что задана скалярная функция век-

торного rаргумента, если каждому вектору v из данного мно-

жества V векторов ставится в соответствие определенный

скаляр ϕ . Скалярную функцию векторного аргумента обозначают в видеϕ =ϕ(vr).

Если векторный аргумент v интерпретировать как радиусвектор точек пространства и обозначать его через r , то задание

скалярной функции ϕ(rr) означает, что каждому радиусу-век-

тору rr , принадлежащему множеству V , ставится в соответствие число ϕ(rr). В силу взаимно однозначного соответствия между точками пространства и их радиусами-векторами задание функции ϕ(rr) означает также, что каждой точке M пространства с радиусом-вектором rr ставится в соответствие число ϕ , равное ϕ(rr), т.е. возникает функциональная зависимость между точками M некоторой области пространства и числами ϕ . Эту функциональную зависимость обозначают в виде ϕ =ϕ(M ) . Множество точек M , определяемых радиусами-векторами rr из множества Vr , образует часть D пространства, на котором определенафункция точки ϕ(M ).

74

§ 1. Скалярная функция векторного аргумента

Определение. Говорят, что на точечном множестве D задано скалярное поле, если каждой точке множества D поставлено в соответствие некоторое число ϕ . Другими словами,

скалярное поле — это часть пространства, в каждой точке которой задано некоторое число.

Примерами скалярных полей являются: поле температур (каждой точке пространства ставится в соответствие число, выражающее температуру в этой точке по абсолютной шкале); поле земного атмосферного давления (оно определено в той части области D пространства, где имеется атмосфера Земли). Наиболее часто на практике встречаются такие скалярные поля, для которых область определения D является открытой, или замкнутой, областью пространства (в частности, всем пространством), либо же открытой или замкнутой областью плоскости (в частности, всей плоскостью). В дальнейшем будем ограничиваться только такими скалярными полями. Каждая точка M пространства, отнесённого к прямоугольной декартовой системе координат, взаимно однозначно определяется своими координатами x, y и z .

Поэтому функция ϕ(M ) точки M является также функци-

Таким образом, скалярному полю ϕ в заданной системе коор-

динат соответствует числовая функция трех скалярных переменных (5.1), и наоборот: функция (5.1) в фиксированной системе координат определяет некоторое скалярное поле ϕ .

Следовательно, между скалярными функциями векторного аргумента, скалярными полями и числовыми функциями трёх переменных (5.1) существует соответствие, определённое выше. Однако нельзя отождествлять изучение скалярного поля с изучением функции (5.1), так как изменение системы координат в пространстве изменяет и вид функции (5.1), в то время как скалярное поле остается тем же самым.

75

§ 1. Скалярная функция векторного аргумента

является функцией вида (5.4), и, очевидно, каждая функция (5.4), где cr — постоянныйвектор, являетсялинейной.

Определение. Скалярная функция ϕ(rr) векторного аргу-

Определение. Функция ϕ(rr) называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Например, для линейной функции ϕ =ϕ(cr, rr) имеем ϕ = c rr . Следовательно, линейная функция является не-

прерывной. В векторном анализе рассматривают только непрерывные скалярные функции и соответственно непрерывные скалярные поля.

§ 2. Поверхности уровня. Линии уровня

При изучении скалярных полей будем ограничиваться той частью V пространства R3 , в которой скалярное поле задано, и, говоря в этом случае о некоторой точке M , будем подразумевать, что M V . Пусть задано некоторое скалярное поле

ϕ(M ). Рассмотрим множество H всех точек пространства

R3 , в которых значение поля равно постоянному значению ϕ0 .

Для постоянного скалярного поля множество H совпадает со всей областью определения функции. Оставляя в стороне этот тривиальный случай, получим, что координаты точек M из множества H удовлетворяют уравнению

в левой части которого стоит функция (5.1) трех переменных, соответствующая скалярному полю в данной системе коорди-

нат. Уравнение (5.5) определяет в R3 некоторую поверхность.

77

§ 3. Градиент. Производная по направлению

ренцируемо, а его градиент совпадает с вектором c . Условие

ние поля ϕ равно ϕ(rr(s)) и, следовательно, зависит от s . Таким образом, получаем функцию ϕ =ϕ(s) скалярного переменного. Покажем, что эта функция имеет производную. Да-

79