Методы теории функций в геометрии. Учебное пособие

§ 2. Параметрически заданные поверхности

диткуравнениям(4.5) этойкривойвкриволинейныхкоординатах.

всевозможные кривые на поверхности, проходящие через точку M0 (u0 ,v0 ). Касательный вектор к любой из этих кривых в точке

лагаютсяводнойплоскостивекторов ∂rr и ∂rr . Этаплоскостьна-

∂u ∂v

зываетсякасательнойплоскостьюкповерхности.

Запишем уравнение касательной плоскости как плоскости, проходящей через точку M0 (u0 ,v0 ) с радиусом-вектором

Определение. Прямая, проходящая через точку M0 (u0 ,v0 )

перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в этой точке, называется нормалью к поверхности в точке М.

51

Глава IV. Дифференциальная геометрия поверхностей

Очевидно, вектором нормали является вектор Nr = ∂rr × ∂rr,

∂u ∂v

а ортом нормали — вектор nr = NNr .

§ 3. Площадь области на поверхности

Рассмотрим произвольное взаимно однозначное преобразование параметров u и v поверхности в новые параметры α

и β : u = u (α, β ), v = v(α, β ). Будем предполагать, что в рас-

сматриваемой области это преобразование является взаимнооднозначным, функции u и v имеют непрерывные частные производные и определитель преобразования (якобиан)

∂(u,v) отличен от нуля. Радиус-вектор текущей точки по-

∂(α, β )

верхности rr = rr(u,v) является сложной функцией новых параметров: rr = rr(u (α, β ),v(α, β )). По правилу дифференцирования сложной функции получаем

∂(u,v) положителен, и противоположны, если он отрицате-

∂(α, β )

52

§ 3. Площадь области на поверхности

ные области (σk ), ни от выбора в них точек Mk , ни от параметризации поверхности.

Вычислим сначала площадь σk проекции. Если за начало координат взять точку Mk (uk ,vk ) , то радиусом-вектором rr

текущей точки M (u,v) проекции σk будет дифференциал

(4.9). Находя его частные производные по текущим параметрам получим

т. е. σ k = rru (uk ,vk )×rrv (uk ,vk )σk , где σk — площадь плоской частичной области (σk ), соответствующей на плоскости пара-

метров частичной области (σk ) поверхности, а следовательно,

и её проекции (σk ) на касательную плоскость к поверхности

вточке Mk . Подставляя найденное выражение для площади

σk в формулу (4.12), определяющую площадь поверхности,

получим

Таким образом, площадь σ поверхности (σ ) выражается

пределом интегральной суммы. Этот предел не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора точек на соответствующих частичных областях и равен двойному интегралу

55

Глава IV. Дифференциальная геометрия поверхностей

является образом области (σ ) при ее взаимно однозначном отображении на плоскость параметров.

Формула (4.13) для вычисления площади области поверхности называется формулой компланации.

Определяемая формулой компланации площадь области поверхности не зависит от параметризации поверхности. Действи-

тельно, положим α =ϕ(u,v), β =ψ (u,v). Используя формулу (4.7) иправило замены переменныхв интеграле, находим

т. е. для вычисления площади σ получаем прежнюю формулу в новых параметрах.

§ 4. Первая квадратичная форма поверхности

Рассмотрим поверхность, заданную векторно-параметри- ческим уравнением rr = rr(u,v). Независимо от того, являются ли параметры u,v независимыми аргументами или же произвольными функциями других независимых аргументов, полный дифференциал dr радиуса-вектора r текущей точки поверхности определяется векторной инвариантной линейной дифференциальной формой drr = rru du + rrv dv, т. е. однородным

многочленом относительно дифференциалов аргументов. В зависимости от степени этого многочлена форма может быть

56

§ 4. Первая квадратичная форма поверхности

линейной, квадратичной и т. д. Тем же свойством инвариантности обладает и скалярный квадрат этой формы, представляющий собой скалярную квадратичную дифференциальную форму

(4.15)

Определение. Скалярный квадрат полного дифференциала drr радиуса-вектора текущей точки поверхности называется

первой квадратичной формой ϕ1 поверхности:

ϕ1 = drr2 .

В развернутом виде ее записывают следующим образом:

ϕ1 = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2 .

Коэффициенты E,G, F первой квадратичной формы определяются из полученного для неё выражения (4.15):

квадратичная форма в обыкновенной точке поверхности является положительно определенной.

Квадрат дифференциала ее дуги имеет вид

ds2 = drr2 = rru2 du2 + 2rru rrv dudv + rrv2 dv2 ,

57

§ 4. Первая квадратичная форма поверхности

Следовательно, для определения угла между двумя кривыми на поверхности, заданными своими внутренними уравнениями (4.17), достаточно знать только коэффициенты E,G, F .

Таким образом, площадь любой области на поверхности выражается через коэффициенты E,G, F первой квадратичной формы поверхности.

§ 5. Вторая квадратичная форма поверхности

Рассмотрим поверхность rr = rr(u,v). Первый и второй пол-

ные дифференциалы радиуса-вектора r её текущей точки имеют вид

Полученное выражение для второго дифференциала d 2 rr не является инвариантной квадратичной формой относительно первых дифференциалов du, dv параметров u,v в силу нали-

59

Глава IV. Дифференциальная геометрия поверхностей

аргументами, но они становятся добавочными квадратичными формами, если параметры u,v сами являются функциями от

векторами, лежащими в касательной плоскости к поверхности в рассматриваемой точке, а следовательно, перпендикулярными орту нормали nr . Умножив скалярно выражение (4.21) для второ-

го дифференциала d 2 rr на орт n нормали к поверхности и учитывая равенство нулю скалярных произведений добавочных членов на перпендикулярный к ним орт нормали n , получим следующуюинвариантнуюквадратичнуюформу:

nr d 2 rr = nr rruu du2 + 2nr rruv dudv + nr rrvv dv2 .

Определение. Скалярное произведение полного дифференциала второго порядка d 2 rr радиуса-вектора r текущей точки поверхности на орт нормали n в этой точке называется

второй квадратичной формой ϕ2 поверхности:

ϕ2 = nr d 2 rr.

Вразвернутом виде эта формула имеет вид

ϕ2 = Ddu2 + 2D′dudv + D′′dv2 ,

этих тождеств по параметрам u и v , получим

nru rru + nr rruu = 0, nrv rru + nr rruv = 0, nru rrv + nr rruv = 0, nrv rrv + nr rrvv = 0.

60