Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы теории функций в геометрии. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

989 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1313

§ 6. Циркуляция векторного поля

∂a

∂ay

∂a

diva

z =

∂y

∂x

∂z

∂2b

−

∂2by

∂2b

−

∂2b

∂2by

−

∂2b

= 0.

∂y∂x

∂z∂x

∂z∂y

∂x∂z

∂y∂z

∂x∂y

uuurr

Таким образом,

div(rotb )= 0,

что и доказывает равенство

(6.37), следовательно, поле a , являющееся ротором другого поля, — соленоидальное. r Наоборот, пусть справедливо соотношение (6.37), т.е. поле a

— соленоидальное. Будем искать поле b , для которого выполня-
	uuurr		r	. Обозначим bx = P (x, y, z), by = Q(x, y, z),
ется равенство rotb			= a
bz =	0 и найдём функции P и Q ,				для которых справедливо
	r	r
равенство rotb		= a	, сводящееся к равенствам
∂Q	= −ax (x, y, z),		∂P	= ay (x, y, z),	∂Q	− ∂P = az (x, y, z). (6.38)
∂z			∂z		∂x	∂y

В силу равенства (6.37) полученная система дифференциальных уравнений является разрешимой. Из первых двух уравнений находим

P = ∫z	ay (x, y, z)dz + f1 (x, y);	Q = −∫z	ax (x, y, z)dz + f2 (x, y),
z0		z0

где f1 и f2 — произвольные функции переменных x, y . Подставляя эти решения в левую часть третьего уравнения (6.38) и

учитывая соотношение (6.37) и ∂∂azz = − ∂∂axx − ∂∂ayy , получаем

∂Q

∂P

∂a

∂ay

∂f

−

= −∫

x dz

− ∫

dz +

2 −

∂x

∂y

∂x

∂y

∂a

∂f

−

∂f

= az (x, y, z )− az (x,

y, z0 )+

∂f

−

∂f

= ∫

∂x dz

∂x

∂y

∂x

∂y .

Полагая

f1 (x, y) = 0,

f2 (x, y) = ∫x

az (x, y, z0 )dx,

получим (6.38).

121

Глава VI. Векторное поле

Теорема полностью доказана, кроме того, показано, как для соленоидального поля найти второе поле, ротор которого и является вектором данного соленоидального поля. Заметим, что если два векторных поля имеют одинаковые роторы, то они отлича-

ются друг от друга только на некоторое потенциальное поле.
		uuur	uuur	uur	r
Действительно, из rotav = rotb следует				rot	(av −b )= 0,	поэтому
r	v	— потенциальное поле, то		есть	r	uuuur
a	−b	— потенциальное поле, то		есть	a −b = gradϕ и
r	r	uuuur
a	= b	+ gradϕ , где ϕ — некотороескалярноеполе.

§ 7. Вихрь векторного поля в криволинейных координатах

Вычислим вихрь векторного поля a в криволинейных координатах u,v, w . При этом ограничимся только ортогональными координатами u,v, w . Предположим, что единичные базисные векторы evu′,evv′,evw′ локального базиса криволинейных

координат образуют правую тройку. Следовательно,
eru′ = erv′ ×erw′ , erv′ = erw′ ×eru′, erw′ = eru′ ×erv′.	(6.39)

Найдём вихрь для каждого из базисных векторов. Для этого

каждый раз будем пользоваться третьей формулой (6.28). На-
пример, так как eu′	uuuur
пример, так как eu′	= H1 gradu, то в силу формулы (6.28)
uuur	uuuuur	uuuuur	uuur	uuuuur
roteru′ = gradH1		× gradu + H1 rot		(gradu).
			uuurr			1	uuuuur	r
Второе слагаемое равно нулю, поэтому roteu′					=		gradH1	×eu′.
Второе слагаемое равно нулю, поэтому roteu′					=	H1	gradH1	×eu′.
						H1

Аналогично, используя формулы (5.27), находятся вихри от других базисных векторов. В результате получим

uuurr

uuuuur

uuurr

uuuuur

roteu′ =

gradH1

×eu′,

rotev′

gradH2

×ev′,

(6.40)

uuurr

uuuuur

rotew′ =

gradH3

×ew′ .

122

§ 7. Вихрь векторного поля в криволинейных координатах

Для вычисления вихря векторного поля a = au eru′ + averv′ + awerw′

используем формулы (6.28). Имеем
uuurr	uuuuur	r	uuurr	uuuuur	r
rota	= gradau ×eu′ + au roteu′			+ gradav	×ev′ +
	uuurr	uuuuur	r	uuurr
	+ av rotev′ + gradaw ×ew′			+ aw rotew′ .

(6.41)

(6.42)

Заменяя вихри базисных векторов их значениями по формулам (6.40) и объединяя в правой части равенства (6.42) слагаемые первой пары, затем слагаемые второй пары и, наконец, слагаемые третьей пары, находим

uuuuur	r	uuurr		uuuuur	r			a	uuuuur	r
gradau ×eu′ + au roteu′ = gradau ×eu′ +								u	gradH1	×eu′ =
gradau ×eu′ + au roteu′ = gradau ×eu′ +								H1	gradH1	×eu′ =
								H1
uuuuur		au	uuuuur		1	uuuuur
= gradau +		au	gradH1 ×eru′ =		1		grad (au H1 )×eru′.
= gradau +			gradH1 ×eru′ =		H1		grad (au H1 )×eru′.
		H1			H1

Аналогичные формулы получаются при объединении слагаемых второй пары или третьей пары. Окончательно получаем

uuurr			1 uuuuur		r
rota		=		grad	(au H1 )×eu′ +

			H1					(6.43)
		1	uuuuur		r	1	uuuuur
								r
+			grad (av H2 )×ev′ +				grad	(aw H3 )×ew′ .
	H2					H3

Для определения компонент ротора в криволинейных координатах умножим соотношение (6.43) по очереди скалярно на каждый базисный вектор. Так, например:

uuurr

uuuuur

r r

(rota )

= eu′

rota

grad

(av H2 )ev′eu′ +

uuuuur

r r

1 r

uuuuur

grad

(aw H3 )ew′eu′ = −

ew′

grad

(av H2 )+

uuuuur

∂(arw H3 )

∂(arv H2 )

ev′ grad (aw H3 )

−

∂v

∂w

H2 H3

123

Глава VI. Векторное поле

Аналогично вычисляются и другие координаты вихря. Окончательно получаем

uuurr

∂(arw H3 )

∂(arv H2 )

(rota)

−

H2 H3

∂v

∂w

uuurr

∂(aru H1 )

∂(arw H3 )

(rota)

−

H3 H1

∂w

∂u

uuurr

∂(arv H2 )

∂(aru H1 )

(rota)

−

H1H2

∂u

∂v

В цилиндрических координатах

ρ,ϕ, z

имеем H1 =1,

H2 = ρ, H3 =1. Следовательно, для вихря в цилиндрических координатах получаем

uuurr

∂arz

∂(

ρarϕ )

uuurr

∂aρ

∂arz

(rota)ρ

−

(rota)ϕ

−

∂ϕ

∂z

∂ρ

uuurr

∂(ρarϕ ) ∂arρ

(rota)z = ρ

∂ρ

− ∂ϕ

В сферических координатах ρ,θ,ϕ имеем H1 =1, H2 = ρ, H3 = ρsinθ, поэтому для вихря в сферических координатах получаем

uuur

∂

(

sinθ

)

∂

(rota)ρ

−

aθ

∂θ

∂ϕ

ρsinθ

uuurr

∂arρ

∂(ρsinθarϕ )

(rota)θ

−

∂ϕ

∂ρ

ρsinθ

∂arρ

uuurr

∂(ρarθ )

(rota)

−

∂ρ

∂θ

124

§8. Дивергенция в криволинейных координатах

Всилу соотношения

div(ar×br)= br rotar −ar rotbr ,

справедливого для любых векторных полей ar(rr),b

вого равенства (6.39), имеем			uurr r	uuurr
r	r r	r
diveu′	= div(ev′ ×ew′	) = ew′	rotev′ −ev′ rotew′ .

(rr), и пер-

(6.44)

Заменяя в правой части равенства (6.44) вихри базисных векторов по формуле (6.40), получим

1 uuuuur

r r

uuuuur

r r

diveu′ =

gradH2ev′ew′ −

gradH3ew′ev′ =

∂(H2 H3 )

(6.45)

∂H2 +

∂H3

H1H2 H3

H2 H1 ∂u

H3 H1 ∂u

∂u

Аналогично находятся дивергенции остальных базисных векторов:

r	1	∂(H1H3 )	r	1	∂(H1H2 )
divev′ =			, divew′ =			. (6.46)
divev′ =	H1H2 H3	∂v	, divew′ =	H1H2 H3	∂w	. (6.46)
	H1H2 H3	∂v		H1H2 H3	∂w

Найдем дивергенцию от произвольного векторного поля ar . Представим его сначала в форме (6.41) и воспользуемся правилами вычисления дивергенции от суммы и от произведения скаляра на вектор (6.45). В результате получим

r	r	uuuur		r		r	uuuuur
diva	= eu′	gradau	+ au diveu′			+ ev′ gradav +		(6.47)
		r r		uuuuur			r	(6.47)
+ av divev′ + ew′				gradaw	+ aw divew′ .

В силу равенств (6.45) и общей формулы для градиента в криволинейных координатах (5.28) находим

125

Глава VI. Векторное поле


			r	uuuur				r
			eu′	gradau + au		diveu			=
=	1	∂au +	au		∂(H2 H3 )		=		1
	H1 ∂u		H1H2 H3		∂u			H1H2 H3

∂(au H2 H3 ).

∂u

Аналогично, используя формулу (6.46), находим

r	uuuuur	r			1	∂(av H1H3 )
ev′	gradav + av divev		=					,
ev′	gradav + av divev		=	H1H2 H3			∂v	,
				H1H2 H3			∂v
r	uuuuur	r			1		∂(aw H1H2 )
ew′	gradaw + aw divew =								.
ew′	gradaw + aw divew =				H1H2 H3 ∂w				.
					H1H2 H3 ∂w

Подставляя найденные значения в правую часть формулы

(6.47), получим

r		1	∂(au H2 H3 )			∂(av H1H3 )		∂(aw H1H2 )
diva	=				+		+		.
diva	=				+		+		.
		H1H2 H3		∂u		∂v		∂w

Применим полученную формулу для случая цилиндрических и сферических координат. Для цилиндрических координат H1 =1, H2 = ρ, H3 =1, поэтому дивергенция в этих коор-

динатах вычисляется по формуле

r		1	∂(ρaρ )		∂aϕ
r		1	∂(ρaρ )		∂aϕ		∂(ρaz )
diva	=			+		+		.
diva	=	ρ	∂ρ	+	∂ϕ	+	∂z	.
		ρ	∂ρ		∂ϕ		∂z

Аналогично	для сферических координат H1 =1, H2 = ρ,
H3 = ρsinθ.	Подставляя эти значения в общую формулу, по-

лучим для дивергенции в сферических координатах формулу

r		1 ∂(ρ2 sinθaρ )			∂(ρsinθaθ )		∂(ρaϕ )
diva	=			+		+		.
diva	=			+		+		.
		ρ2 sinθ	∂ρ		∂θ		∂ϕ

126

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1973.

2.Лаптев Г.Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука,

1975.

3.Шилов Г.Е. Лекции по векторному анализу. М.: ГИТТЛ, 1954.

4.Либер А.Е., Ржехина Н.Ф. Основы векторного анализа. Саратов. Изд-во Саратов. ун-та, 1966.

5.Лагалли М. Векторное исчисление. М.; Л.: ОНТИ. НКТП.

СССР, 1936.

6.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.:

Наука, 1973. Ч. 2.

7.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высш. шк., 1988. Т. 2.

8.Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии. М.: ГИТТЛ,

1952.

9.Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии. М.:

ГИТТЛ, 1958.

10.Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.: ГУПИН. РСФСР, 1950.

11.Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: ГИТТЛ,

1969.

12.Бюшгенс С.С. Дифференциальная геометрия. М.; Л.: ГИТТЛ,

1940.

13.Гурса Э. Курс математического анализа. М.; Л.: ОНТИ. КТП.

СССР, 1936. Т. 1.

14.Монж Г. Приложение анализа к геометрии. М.; Л.: ОНТИ,

1936.

127

Научное издание

Николай Владиславович Малаховский

МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ В ГЕОМЕТРИИ

Учебное пособие

Редактор М.В. Королева. Корректор М.В. Бурлетова Оригинал-макет подготовлен О.М. Хрусталевой

Подписано в печать 25.02.2005.

Бумага для множительных аппаратов. Формат 60×90 1/16. Гарнитура «Таймс». Ризограф. Усл. печ. л. 8,0. Уч.-изд. л. 7,2. Тираж 100 экз. Заказ .

Издательство Калининградского государственного университета 236041, г. Калининград, ул. А. Невского, 14

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1313

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]