Методы теории функций в геометрии. Учебное пособие

§ 2. Линейные операторы

В заданной системе координат между множеством линейных функций и матрицами вида (6.11) существует взаимно одноr-

значное соответствие. Суммой линейных операторов A и B

называют такой линейный оператор C , для которого выпол-

няется равенство

Cr(vr) = Ar(vr)+ B(vr), или C = Ar + B.

Аналогично определяется оператор разности линейных опера-

торов и умножение линейного оператора на скаляр λ :

Cr(vr)= λAr(vr), или C = λAr.

Произведением двух линейных операторов A и B называют

такой линейный оператор C , для которого выполняется ра-

венство

Cr(vr)= Ar(Br(vr)), или C = Ar B.

Легко проверяются свойства линейности (6.5) для опера-

тора C во всех случаях, как и то, что все рассмотренные операции над линейными операторами описываются аналогичными операциями над соответствующими матрицами.

Произведение линейного оператора A на самого себя назы-

вают квадратом (второй степенью) и обозначают A2 . Анало- r r

гично через A3 обозначают произведение A A2 и т. д. По определению полагают, что

A0 = E .

Сложение операторов ассоциативно, коммутативно, умножение операторов ассоциативно, но не коммутативно. Умножение и

функцией трех векторных аргументов, линейной по всем трем аргументам. Для первых двух это очевидно (так как смешан-

101

§ 2. Линейные операторы

так как слева стоит трилинейная кососимметричная функция,

а I2 — скаляр, определяемый этой функцией. Следовательно, r

величина I2 определяется только линейным оператором A и

называется вторым инвариантом линейного оператора. На-

A(w), стоящее в левой части равенства (6.13), определяет три-

линейную кососимметричную скалярную функцию от векто- r r r

ров u,v, w . Это функция определяет скаляр I3 , а так как эта трилинейная rфункция однозначно определяется линейным

оператором A , то и скаляр I3 определяется линейным опера- r

тором A . Этот скаляр называют третьим инвариантом ли-

руемым в точке rr0 , если его приращение a в этой точке может быть представлено в виде

103

Глава VI. Векторное поле

dar = A(drr).

Определение. Векторное поле называется дифференцируемым, если оно дифференцируемоr в каждой своей точке. Ли-

нейный оператор A называется производной от векторного поля a .

Ограничимся рассмотрением только дифференцируемых векторных полей. Определим для векторного поля производную по направлению. В фиксированной точке M зададим направлением l и проведем через эту точку, в направлении l кривую rr = rr(s). В точке s кривой вектор поля есть ar = ar(s),

§ 3. Дифференцируемость векторных полей

Существование производной доказано и найдено её выражение, из которого видно, что эта производная не зависит от выбора кривой, а зависит только от точки M и от направления l в этой точке, поэтому ее называют производной векторного поля по направлению l . Её значение совпадает со значением

линейного оператора A от орта drr данного направления. ds

Используя формулу (6.15), найдём матрицу, соответст-

вующую линейному оператору A — производной векторного поля. Продифференцируем a в направлении оси Ox , вектор-

ное уравнение которой имеет вид rr = (s − x0 )i + rr0 . В коорди-

Глава VI. Векторное поле

нормали nr был направлен во внешнюю (по отношению к замкнутой поверхности) часть пространства.

Зафиксируем на поверхности S произвольную точку M и рассмотрим в этой точке элемент поверхности dS . Количество жидкости, протекающей за единицу времени через элемент dS , равно (с точностью до бесконечно малых высших

Выражение dQ положительно, если угол между вектором ско-

рости а движущейся жидкости и ортом n — острый; и отрицательно в противном случае. Ориентированный элемент dS поверхности имеет две стороны: положительную, которая видна с конца вектора n , и отрицательную — противоположную. Таким образом, положительное значение величины (6.20) означает, что при своем движении жидкость проходит через поверхность с отрицательнойr стороны на положительную (в направлении орта n ). Отрицательное же значение величины (6.20) означает, что, наоборот, текущая жидкость проходит через поверхность с положительной стороны на отрицательную.

Суммируя все такие элементарные потоки dQ по всей поверхности S , приходим к интегралу

S

который даёт разность между количеством жидкости, протекающей через поверхность в положительном направлении (в направлении нормали) и количеством жидкости, протекающей в обратном направлении. Величина Q называется потоком

векторного поля ar через поверхность S . В координатах (если обозначить через cosα, cos β, cosγ компоненты вектора nr )

интеграл (6.21) имеет вид

108

§ 4. Дивергенция векторного поля

Q = ∫∫(ax cosα +ax cos β + az cosγ )dS.

Обозначим dSr = ndSr . Длина вектора dS равна площади эле-

мента поверхности. Направление вектора dS совпадает с направлением вектора n . При таком обозначении интеграл

(6.21) можно записать в виде Q = ∫∫ar dS.

S

Рассмотрим случай замкнутой ориентированной поверхности S . Если вектор n в каждой точке поверхности направлен во внешнюю часть пространства, то движение жидкости в положительном направлении — в сторону нормали — означает, что жидкость вытекает из области V , ограниченной поверхностью S . Напротив, движение в отрицательном направлении — в сторону, противоположную направлению нормали n , — означает, что жидкость втекает в область V через поверхность

S . Вместе с тем сам поток вектора Q = ∫∫ar dS через замкну-

S

тую поверхность дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области V , и количеством жидкости, втекающей в эту область. Если этот интеграл равен нулю, то из области V вытекает ровно столько же жидкости, сколько в нее и втекает. Если же этот интеграл положителен, то это означает, что из области V вытекает жидкости больше, чем втекает в нее. Так как в рассматриваемом примере жидкость несжимаемая, то количество жидкости внутри поверхности S неизменно. Поэтому тот факт, что вытекает ее больше, чем втекает, означает наличие источников внутри области V. Числен-

ную величину Q называют мощностью всех источников

внутри V.

Отрицательное значение интеграла (6.21) также означает, что втекает внутрь области V больше жидкости, чем вытекает из нее, следовательно, внутри V должны быть стоки, поглощающие избыток жидкости.

109