Методы теории функций в геометрии. Учебное пособие

§ 3. Градиент. Производная по направлению

видно, что правая часть формулы (5.10) зависит не от выбора кривой, проходящей через точку M в направлении l , а только от точки M и от направления l в этой точке, поэтому выражение (5.8) называется производной от скаляр-

ного поля в направлении l , или производной по направлению l .

В силу произвольности точки M и направления l формула (5.9) является общей формулой для вычисления произ-

водной по направлению от скалярного поля ϕ . Вектор drr , в ds

этой формуле является ортом данного направления. Формулами (5.9) и (5.10) удобно пользоваться для нахож-

дения градиента скалярного поля ϕ(rr). Действительно, считая rr функцией параметра s : rr = rr(s), находят производную

ddsϕ по правилам дифференцирования вектор-функций скаляр-

ного аргумента. Если после этого ddsϕ приводится к виду фор-

мулы (5.8), т. е. к скалярному произведению некоторого век-

тора p на drr, , то этот вектор p и будет являться градиен- ds

бовалось доказать.

81

§ 4. Градиент скалярного поля в декартовых координатах

Учитывая, что левая часть равенства (5.12) является производной по направлению оси Ox от поля ϕ в точке M0 , перепишем равенство (5.12) в виде

денных рассуждений следует также существование частной производной по x от функции ϕ(x, y, z), соответствующей

дифференцируемому скалярному полю.

Аналогично доказываются равенства и существование част-

Координаты вектора совпадают со скалярными произведениями этого вектора на орты осей координат, поэтому из формул (5.13) и (5.14) следует, что координаты градиента являются частными производными от функции ϕ по переменным

x, y, z. Следовательно, формула для выражения градиента в координатах имеет вид

Используя полученные формулы, найдем выражение для производной по направлению в координатах. Пусть данное

83

§ 5. Свойства градиента

§ 5. Свойства градиента

Обобщением последней формулы является формула нахождения градиента от скалярного поля F , являющегося функцией нескольких скалярных полей. Например, если

F = F(ϕ, ψ, χ) , то

Приведем доказательство последней формулы, являющей наиболее общей, из которой непосредственно следуют все предыдущие. Имеем

dFds = ∂∂Fϕ ∂∂ϕs + ∂∂ψF ∂∂ψs + ∂∂Fχ ∂∂χs .

мулы (5.18). Если функция F зависит только от двух скалярных полей ϕ и ψ , то формула (5.18) принимает вид

Пусть M0 является обыкновенной точкой скалярного поля ϕ , а rr0 — радиусом-вектором этой точки. Рассмотрим поверхность уровня, проходящую через эту точку:

§ 5. Свойства градиента

В особых точках градиент равен нулю и может рассматриваться как вектор, ортогональный любому направлению.

Получим уравнение касательной плоскости к поверхности

уровня (5.19) в данной точке M0 . Если R — текущий радиус-

вектор точек касательной плоскости, то вектор R − rr0 , где rr0 —

радиус-вектор точки касания, лежит в этой плоскости и поэтому ортогонален градиенту:

где все частные производные вычислены в точке (x0 , y0 , z0 ).

Например, уравнение касательной плоскости в точке (1, 2, 3) к поверхности уровня поля ϕ = xyz , проходящей через эту точку

имеет вид 6(X −1)+3(Y − 2)+ 2(Z −3)= 0.

данного направления.

Правая часть равенства (5.23) положительна в том и только в том случае, если угол θ — острый. Таким образом, плоскость (5.22) разбивает все направления, исходящие из точки M0 , на две части. Одна из этих частей состоит из всех направ-

лений, лежащих по ту же сторону плоскости, что и вектор-

градиент. Для всех таких направлений ddsϕ > 0 , а следова-

87

§ 6. Градиент в криволинейных координатах

ортогонален и к координатной поверхности w = const . Следовательно, этот вектор ew′ коллинеарен градиенту скаляра w и справедливо равенство

(5.24)

где H3 — некоторый множитель. Всякая кривая в пространстве задается в криволинейных координатах уравнениями

u = u (s),v = v(s), w = w(s).

где rru′, rrv′, rrw′ — частные производные вектор-функции rr(u,v, w) по переменным u,v, w (4.44). Умножим скалярно равенство

Глава V. Скалярное поле

где rru′ = H1 , rrv′ = H2 . Беря модули от обеих частей равенств

(5.24) и (5.27), находим

Используя формулу (5.18), в силу равенств (5.24) и (5.27) получим

Формула (5.28) вычисляет градиент в криволинейных координатах. Она дает разложение градиента по векторам локального базиса криволинейных координат. Чтобы применить общую формулу (5.28) к случаю цилиндрических или сферических координат, необходимо подсчитать величины H1 , H2 , H3 в этих ко-

ординатах. Используя формулы (4.48), находим (rrρ′)2 =1,

(rrϕ′)2 = ρ2 , (rrz′)2 =1, откуда для цилиндрических координат по-

лучаем H1 =1, H2 = ρ, H3 =1.

Аналогично, используя формулы (4.50), вычисляем для сферическихкоординат (rrρ′)2 =1, (rrθ′)2 = ρ2 , (rrϕ′)2 = ρ2 sin2 θ. Следова-

тельно, длясферическихкоординатсправедливыравенства

Получаем формулу для вычисления градиента в цилиндрических координатах:

Аналогично получаем формулу для вычисления градиента в сферических координатах:

90