Методы теории функций в геометрии. Учебное пособие

§ 1. Вектор-функция скалярного аргумента

имеет предел, равный f ′(t0 )ar(t0 ). Аналогично второе слагаемое справа имеет предел, равный f (t0 )ar′(t0 ). Следовательно,

водная вычисляется по формуле (1.7). Для доказательства формул (1.8) и (1.9) рассмотрим равенства

В правой части каждого из этих равенств находятся два слагаемых. В первом слагаемом первый сомножитель имеет

предел при t →t0 , равный ar′(t0 ), а второй сомножитель имеет предел при t →t0 , равный b (t0 ), поэтому по третьей (по четвертой) теореме о пределах первое слагаемое справа в формуле (1.10) имеет предел ar′(t0 ) b (t0 ), а для формулы (1.11) этот предел равен ar′(t0 )×b (t0 ). Аналогично находим предел

второго слагаемого в каждой из этих формул. Так как оба слагаемых имеют пределы, то по первой теореме о пределах их

сумма также имеет предел. Этот предел для формулы (1.10) равен ar′(t0 ) br(t0 )+ av(t0 ) b′(t0 ), а для формулы (1.11) — ar′(t0 )×br(t0 )+ av(t0 )×b′(t0 ). Таким образом, при t →t0 и ле-

вая часть формул (1.10) и (1.11) имеет предел, равный пределу правой части, что и доказывает существование производной и справедливость формул (1.8), (1.9).

Формулы (1.6) — (1.9) определяют основные правила дифференцирования вектор-функций скалярного аргумента.

11

§ 2. Координатывектор-функциииеёпроизводной. Дифференциал

трёх скалярных функций x(t ), y (t ), z (t ) — его координат, на-

зываемых компонентами вектор-функции ar(t ): ar(t ) = x(t )i + y (t ) rj + z (t )k , t T R,

Из дифференцируемости вектор-функции ar(t ) следует диф-

ференцируемость всех трех скалярных функций (1.15), откуда, учитывая формулы (1.12), получаем

С другой стороны, скалярные произведения ar′(t )i , ar′(t )rj, ar′(t )k являются соответственно первой, второй и третьей ко- ординатами вектора ar′(t ). Поэтому из равенств (1.16) следует, что координаты производной ar′(t ) от вектор-функции ar(t ) равны производным от координат исходной вектор-функции ar(t ). Таким образом, дифференцирование вектор-функции в

координатах сводится к дифференцированию ее компонент: ar′(t ) = x′(t )i + y′(t ) rj + z′(t )k.

Выше было доказано, что производная от постоянной век- тор-функции тождественно равна нулю. Справедливо обратное утверждение: если производная от вектор-функции тожде-

ственно равна нулю, то вектор-функция постоянна. Действительно, из ar′(t )= 0 следует x′(t )= y′(t )= z′(t )= 0 .

Тождественное выполнение последних соотношений означает по известной теореме о нуле производной функции, что x(t )= x0 , y (t )= y0 , z (t )= z0 , где x0 , y0 , z 0 — постоянные числа.

Поэтому ar(t )= x0ir + y0 rj + z0k является постоянным вектором. Из определения производной ar′(t ) в силу соотношений (1.5)

13

Глава I. Вектор-функция скалярного аргумента

при t →t0 . Умножая обе части последнего равенства на t −t0 ,

получим

ar(t )− ar(t0 )= a′(t0 )(t −t0 )+αr (t −t0 ),

Таким образом, приращение дифференцируемой векторфункции можно представить в виде суммы двух слагаемых, из

В силу соотношения (1.18) производную вектор-функции обо-

значают в виде: ar′(t )= dav(t ). Аналогично для k-й производ- dt

ной ar(k ) (t )= d k avk(t ). dt

§ 2. Координатывектор-функциииеёпроизводной. Дифференциал

t = t (u), где u — некоторая независимая переменная. Обозначим через ar(t (u)) результат подстановки в вектор-функцию ar(t ) вместо переменной t соответствующую функцию от u . Прида-

куда следует правило дифференцирования сложной функции: dar = dar dt .

du dt du

§ 3. Формула Тейлора

Разложим вектор-функцию ar(t ) скалярного аргумента t

по координатным ортам:

ar(t )= ax (t )ir + ay (t )rj + az (t )k.

15

Глава II

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ

§ 1. Основные дифференциально-геометрические понятия, связанные с кривой

Рассмотрим произвольную вектор-функцию rr(t ) скалярного аргумента t , отличную от тождественной постоянной. Будем откладывать значения вектор-функции rr(t ) от начала

O некоторой выбранной прямоугольной декартовой системы координат.

Определение. Кривая C , описываемая в пространстве концом M радиуса-вектора rr(t ) при непрерывном изменении аргумента t из области определения вектор-функции, называется годографом вектор-функции rr(t ).

При этом предполагается, что вектор-функция rr(t ) обладает в

области изменения аргумента t непрерывными производными первого, второго и третьего порядков.

17

ГлаваII. Дифференциальнаягеометрияпространственныхкривых

Так как компоненты x(t ), y (t ), z (t ) радиуса-вектора rr(t ) являются координатами точки М, то в координатах уравнение (2.1) имеет вид

Уравнения (2.2) называются параметрическими уравнениями кривой C , а саму кривую называют правильно параметризованной.

Определение. Точка t0 , в которой rr′(t0 )≠ 0,

называется обыкновенной точкой вектор-функции rr(t ). Определение. Касательной к кривой C в данной её точке

M0 называется предельное положение секущей, проходящей через точку M0 и соседнюю с ней точку M1 кривой, когда точка M1 стремится к точке M0 по кривой.

Пусть вектор-функция rr(t ) определена и непрерывна в некоторой окрестности обыкновенной точки t0 , а кривая C является годографом вектор-функции rr(t ). Дадим точке t0 ненулевое приращение t : t0 +Δt . Пусть точке M0 C соот-

кущая стремится к своему предельному положению, определяемому касательной к годографу C в точке M0 . Отсюда следует, что вектор

18

§ 1. Основные понятия, связанные с кривой

совпадает по направлению с касательной к годографу в точке M0 . Таким образом, производная вектор-функции в точке t0

определяется вектором rr′(t0 ), направленным по касательной к

годографу этой функции, причём производная направлена по касательной в ту сторону, куда смещается конец вектора по годографу при возрастании параметра.

Теорема. Производная rr′(t ) радиуса-вектора rr(t ) теку-

щей точки кривой по её параметру есть вектор, направленный по соответствующей касательной в сторону возрастания параметра t .

Данная геометрическая интерпретация справедлива только для направления вектора rr′(t ). Длина этого вектора не имеет

геометрической интерпретации. Это следует из того, что одна и та же криваяявляется годографомразличных вектор-функций.

лора (1.19) и ограничиваясь членами первого порядка малости,

стью до бесконечно малых высших порядков кривая совпадает со своей касательной в достаточно малой окрестности точки касания.

Определение. Соприкасающейся плоскостью кривой в данной её точке М называется предельное положение плоскости, проходящей через касательную к кривой в точке М и че-

19

ГлаваII. Дифференциальнаягеометрияпространственныхкривых

рез соседнюю точку M1 кривой, когда точка M1 стремится к

точке М по кривой.

Из определения соприкасающейся плоскости непосредственно следует, что соприкасающаяся плоскость плоской кривой всегда совпадает с плоскостью, в которой расположена эта кривая.

формулу Тейлора (1.19) и ограничиваясь членами второго порядка малости, получим

венно к векторам rr′(t ) и rr′′(t ), расположенным в соприкасающейся плоскости. Теорема доказана.

20