Методы теории функций в геометрии. Учебное пособие

Глава VI. Векторное поле

интеграле по поверхности S вектор n направлен во внешнюю сторону по отношению к области V и, следовательно, во внутреннюю — по отношению к самой поверхности S . Изменение ориентации поверхности S ведёт к изменению знака

второго интеграла: ∫∫ar dS = ∫∫ar d *Sr.

Таким образом, если при деформации поверхности мощность источников или стоков внутри области, охватываемой поверхностью, не меняется, то остается неизменным также и поток вектора через деформированную поверхность. В ча-

стности, для точечного источника поток вектора через любую замкнутую поверхность, охватывающую этот источник, является одним и тем же.

§ 5. Ротор векторного поля

Пусть ar(rr) — некоторое векторное поле и A — соответ- ствующий линейный оператор, являющийся производной это- го поля. Значением A(ur) этого оператора от вектора u явля- ется некоторый вектор. Умножая его скалярно на произвольный вектор vr, получим число f = vv A(ur). Это число за-

висит от выбора векторов u и v . Следовательно, получаем скалярную функцию

двух векторных переменных. Эта функция является билинейной (т. е. линейной по каждому аргументу). Действительно, её линейность по первому аргументу следует из того, что скалярное произведение дистрибутивно, кроме того, скалярный множитель у вектора сомножителя можно выносить за знак

скалярного произведения. Линейность f (uv,vv) по второму аргументу следует из свойств скалярного произведения и из ли-

112

Глава VI. Векторное поле

Функция (6.24) кососимметрична по векторным аргументам и определяется смешанным произведением векторов u,vr и не-

которого третьего вектора m , который однозначно определя-

ется только функцией (6.24), а значит, только линейным опе- r

ратором A . Линейный оператор A как производная векторного поля ar однозначно определяется этим полем, а сле-

векторного поля.

Учитывая формулы (6.25) и (6.17) и тот факт, что векторное произведение двух ортов определяет третий орт, получим

Используя формулу (6.27), непосредственно получаем не- uuurr

которые свойства rota :

114

Глава VI. Векторное поле

§ 6. Циркуляция векторного поля

Рассмотрим вектор ar(M ) данного векторного поля a как

силу, приложенную к точке М. Произвольным образом выберем точки M1 и M2 и соединим их кривой L . Найдем работу

силы ar(rr) вдоль пути L . Зададим кривую L векторнопараметрическим уравнением rr = rr(s). Пусть ds — элемент

дуги кривой L в точке М, а drr — единичный вектор касатель- ds

ной к кривой L . Тогда работа dW силы a вдоль пути ds r

равна величине dW = ar drds ds. Вся работа поля сил ar(rr)

вдоль пути L определяется интегралом

Глава VI. Векторное поле

этой кривой значение скаляра ϕ(s) находится в силу инте-

Полученное равенство верно в данной точке М для любого на-

правления в силу произвольного выбора кривой, тогда uuuuurgradϕ = ar, что и требовалось доказать. Заметим, что два ска-

лярных поля, имеющие одинаковый градиент, могут отли-

этому любой другой потенциал потенциального поля a может отличаться от определяемого по формуле (6.32) только постоянным слагаемым.

Определение. Работа вектора a вдоль замкнутого контура L называется циркуляцией векторного поля по контуру L .

Циркуляция определяется интегралом C = ∫ar drr. Линей-

L

ный интеграл (6.30) не зависит от пути тогда и только тогда, когда циркуляция вектора a по любому замкнутому контуру равна нулю. Действительно, пусть работа вектора a не зависит от пути. Рассмотрим замкнутый контур L . Разобьем его точками M1 и M2 на две части L1 и L2 . Имеем

Так как работа не зависит от пути, то правая часть равенства (6.33) равна нулю, а значит, равна нулю и левая часть этого равенства, т. е. циркуляция вектора по контуру L . И наоборот, пусть циркуляция по любому контуру L равна нулю. Рассмотрим две произвольные точки M1 и M2 этого

118

§ 6. Циркуляция векторного поля

контура. Соединим их двумя произвольно взятыми кривыми L1 и L2 и рассмотрим замкнутый контур L . Так как соотно-

шение (6.33) снова имеет место, а левая часть его по условию равна нулю, то равна нулю и его правая часть, а это означает, что работа вектора a по пути L1 равна работе век-

тора a по пути L2 .

Циркуляция вектора по замкнутому контуру может быть выражена через поверхностный интеграл, как это следует из теоремы Стокса. Пусть на замкнутый контур L натянута некоторая поверхность S , т. е. L является границей поверхности

S . Если P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z) — непре-

рывно дифференцируемые функции координат x, y, z , областью определения которых является поверхность S , то справедлива следующая формула Стокса:

∫ Pdx +Qdy + Rdz =

L

где cosα,cos β,cosγ — направляющие косинусы орта нор-

мали к поверхности. Применяя формулу (6.34) к случаю, когда функции P,Q, R являются координатами векторного поля ar ,

получим

Левая часть этого равенства представляет собой циркуляцию вектора ar по контуру L , а справа под знаком интеграла стоит скалярное произведение ротора на орт нормали к поверхности, поэтому интеграл справа является потоком ротора

119

Глава VI. Векторное поле

через поверхность S . В векторной форме равенство (6.35) за-

S

Следовательно, циркуляция вектора a по замкнутому контуру L равна потоку ротора этого вектора через произвольную поверхность S , имеющую L своей границей (и расположенную в области задания поля a ).

Равенство нулю циркуляции вектора a по любому замкнутому контуру является необходимым и достаточным признаком потенциальности векторного поля. В силу равенства (6.36) получаем следующий признак: поток ротора векторного поля ar через любую поверхность должен равняться нулю, но последнее, очевидно, возможно только в том случае, когда ротор

тождественно равен нулю:

rotauurr = 0.

Теорема. Обращение в нуль ротора векторного поля является необходимымидостаточнымпризнакомпотенциальногополя.

Определение. Векторное поле a называется соленоидальным, если его дивергенция равна нулю:

Соленоидальное поле не имеет ни источников, ни стоков. Поток соленоидального поля через любую замкнутую поверхность равен нулю в силу формулы (6.22).

Теорема. Векторное поле a тогда и только тогда является соленоидальным, когда оно является ротором некоторого другого векторного поля.

Доказательство. Пусть ar = rotb . Тогда

и

120