Методы теории функций в геометрии. Учебное пособие

§ 5. Вторая квадратичная форма поверхности

Используя эти соотношения, придадим формулам (4.22) для

коэффициентов второй квадратичной формы следующий вид:

D = −nru rru , D′ = −nrv rru = −nru rrv , D′′ = −nrv rrv .

Рассмотрим параметризованную поверхность rr = rr(u,v) и кривую, расположеннуюнаэтойповерхности: u = u (t ), v = v(t ).

Определение. Вектором кривизны любой кривой, в частности кривой, расположенной на поверхности, называется произведение кривизны K этойкривойнаортееглавнойнормалиν .

В силу формулы (2.8) это произведение равно производной орта касательной τr по дуге s , т. е. производной второго порядка от радиуса-вектора r текущей точки кривой по дуге:

Определение. Нормальной кривизной Kn кривой на по-

верхности называется проекция вектора кривизны этой кривой на нормаль к поверхности в данной точке.

Другими словами, нормальная кривизна Kn кривой на по-

верхности есть скалярное произведение вектора кривизны Kνr этой кривой на орт нормали n поверхности:

или

Kn = nr d 2 rr. ds2

В силу определений квадратичных форм поверхности имеем

ds2 = drr2 =ϕ1 = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2 , nr d 2 rr =ϕ2 = Ddu2 + 2D′dudv + D′′dv2 .

§5. Вторая квадратичная форма поверхности

иимеет ту же самую нормальную кривизну. Её кривизну и орт главной нормали обозначим K0 и ν0 .

Так как нормальное сечение является плоской кривой, то ее главная нормаль лежит в секущей плоскости и поэтому совпадает с нормалью к поверхности. Откуда следует, что векторы ν0 и nr равны или противоположны: ν0 n = ±1. Поэтому

из (4.24) получаем

Обозначим через θ угол между соприкасающейся плоскостью линии (L) и нормалью поверхности, т. е. острый угол

между главной нормалью линии (L) и нормалью поверхно-

сти. Очевидно, cosθ =ν n. Учитывая равенство (4.25) в равенстве (4.23), получим

Так как кривизны K и K0 в силу их определения неотрицательны, то, учитываяравенство(4.26), получаем K0 = K cosθ, или

Обозначим радиусы кривизны произвольной кривой (L) и

нормального сечения (L0 ) соответственно R и R0 : R = K1 ,

R0 = 1 . Тогда равенство (4.27) примет вид R = R0 cosθ.

K0

Теорема (Менье). Радиус кривизны кривой (L), лежащей

на поверхности в данной точке кривой, равен произведению радиуса кривизны нормального сечения, проходящего через

данную точку и имеющего в ней общую с кривой (L) касательную, на косинус угла между соприкасающейся плоскостью кривой (L) и нормалью поверхности в данной точке.

63

§ 6. Главные направления и главные кривизны поверхности

Ранее отмечалось, что в обыкновенной точке первая квадратичная форма положительно определена. Поэтому знаменатель в правой части последнего равенства не равен нулю, и необходимое условие экстремума нормальной кривизны заключается в равенстве нулю числителя:

(Eξ2 + 2Fξ +G)(Dξ + D′)−(Dξ2 + 2D′ξ + D′′)(Eξ + F )= 0 , (4.29)

или

(FD − ED′)ξ2 +(GD − ED′′)ξ +(GD′− FD′′)= 0. (4.30)

Вобыкновенной точке поверхности дискриминант квадратного уравнения (4.30), вообще говоря, положителен. Действительно, введя на поверхности ортогональную параметрическую сеть, т. е. такую, в которой в каждой точке линия u

перпендикулярна линии v , получим из соотношений (4.16) F = 0. В силу этого уравнение (4.30) примет вид

дискриминант которого равен (GD − ED′′)2 + 4EGD′2 . Но в

обыкновенной точке коэффициенты E и G положительны, поэтому дискриминант неотрицателен. Он обращается в ноль только при условии GD − ED′′ = 0 и D′ = 0. Но при этом условии все коэффициенты уравнения (4.31) обращаются в нуль, т. е. это уравнение, а потому и уравнение (4.30) обращаются в тождество.

Следовательно, если уравнение (4.30) не является тождеством, то в обыкновенной точке поверхности оно имеет два различных действительных корня — ξ1 и ξ2 .

Определение. Определяемые этими корнями направления на поверхности называются главными направлениями, а соответствующие им нормальные кривизны называются главными кривизнами поверхности.

65

§ 6. Главные направления и главные кривизны поверхности

Вычитая второе равенство (4.36) из первого равенства (4.35) находим

Но K2 ≠ K1 , так как в противном случае из равенств (4.35)

и (4.36) следовала бы пропорциональность DE = DF′ = DG′′, в си-

лу которой уравнение (4.30) обратилось бы в тождество и главные направления не были бы определены. Поэтому из равенств (4.37) получаем F = 0. А так как по определению коэф-

фициент F равен скалярному произведению векторов rru и rrv ,

направления которых в данном случае совпадают с главными направлениями, то эти векторы, а потому и главные направления перпендикулярны.

Отнесем поверхность к главным направлениям. Так как эти направления перпендикулярны, то F = 0. Кроме того, из

Обозначим через ϕ угол между направлением, которое определяется отношением du / dv =ξ, и линией u . Так как на-

правление задается отношением дифференциалов, то один из этих дифференциалов можно задать произвольно. Для первого направления положим du =ξ , dv =1. Вторым направлением

является направление линии u , и поэтому δv = 0, а δu можно

§7. Криволинейные координаты в пространстве

§7. Криволинейные координаты в пространстве

Рассмотрим вектор-функцию трех скалярных аргументов rr(u,v, w). Ограничимся рассмотрением вектор-функций, для которых выполняется дополнительное условие

∂rr ∂rr ∂rr ≠ 0. (4.39)

∂u ∂v ∂w

Рассмотрим годограф вектор-функции rr(u,v, w), который определяется уравнением rr = rr(u,v, w), которое в декартовых

Правые части уравнений (4.40) являются компонентами век- тор-функции rr(u,v, w). Условие (4.39) в координатах имеет

∂(x, y, z)

вид ∂(u,v, w) ≠ 0 и означает отличие от нуля функционального

определителя (якобиана) трех функций правых частей уравнений системы (4.40). Откуда следует в силу теоремы о неявных функ-

циях, что в некоторой окрестности точки (x0 , y0 , z0 ), где

x0 = x(u0 ,v0 , w0 ), y0 = y (u0 ,v0 , w0 ), z0 = z (u0 ,v0 , w0 ), уравнения

(4.40) разрешаютсяотносительно u,v, w единственнымобразом:

Следовательно, между точками пространства, лежащими в окрестности точки (x0 , y0 , z0 ), и точками (u,v, w), принадлежа-

щими соответствующей окрестности точки (u0 ,v0 , w0 ), суще-

ствует взаимно однозначное соответствие.

Кривые, определяемые уравнениями

а) rr = rr(u,c2 ,c3 ), б) rr = rr(c1 ,v,c3 ), в) rr = rr(c1 ,c2 , w), (4.42)

69

Глава IV. Дифференциальная геометрия поверхностей

где c1 ,c2 ,c3 — некоторые произвольные постоянные, называ-

ются координатными линиями.

Поверхности, определяемые уравнениями

а) rr = rr(u,v,c3 ), б) rr = rr(c1 ,v, w), в) rr = rr(u,c2 , w), (4.43)

называются координатными поверхностями. Координаты u,v, w называются криволинейными координатами в про-

странстве. Через данную точку (u0 ,v0 , w0 ) проходят три и

только три координатные линии и только три координатные поверхности, определяемые уравнениями (4.42) и (4.43), в которых полагают, что c1 = u0 , c2 = v0 , c3 = w0 . Векторы

в силу условия (4.39) линейно независимы. Они определяют векторный базис. Не умаляя общности, будем считать, что векторы (4.44) образуют правую тройку. Векторы (4.44) определяют локальный векторный базис для векторов, отнесенных к данной точке пространства. При использовании криволинейных координат в пространстве компоненты векторов вычисляются относительно соответствующего криволинейным

координатам локального базиса следующим образом ar = au rru′ + av rrv′+ awrrw′,

где au , av , aw — компоненты вектора a относительно криволинейных координат u,v, w. Локальный базис выбирается в той точке, в которой рассматривается вектор a . Для нахождения компонент вектора в криволинейных координатах используют взаимный векторный базис, состоящий из векторов