Методы теории функций в геометрии. Учебное пособие

§7. Скалярные функции многих векторных переменных

§7. Скалярные функции многих векторных переменных

Определение. Скалярной функцией k векторных аргумен-

тов называется отображение, ставящее в соответствие каждой

упорядоченной совокупности k векторов v1 ,vr2 ,...,vrk число ϕ :

ϕ =ϕ(vr1 ,vr2 ,...,vrk ).

Обычно скалярная функция задаётся только для тех значений векторных аргументов, которые принадлежат определенным областям. Например, вектор vi принадлежит области Vi ,

образующей часть множества всех векторов. Рассмотрим специальный класс скалярных функций многих векторных пере-

менных, так называемые многолинейные функции.

Определение. Скалярная функция ϕ =ϕ(vr1 ,vr2 ,...,vrk ) назы-

вается линейной по первому аргументу v1 , если выполняются следующие равенства:

ϕ= (λvr1 ,vr2 ,...,vrk )= λϕ(vr1 ,vr2 ,...,vrk ),

ϕ(vr1 + vr1 ,vr2 ,...,vrk )=ϕ(vr1 ,vr2 ,...,vrk )+ϕ( vr1 ,vr2 ,...,vrk ).

Аналогично определяется линейность функции по второму, третьему и другим векторным аргументам.

Определение. Скалярная функция ϕ =ϕ(vr1 ,vr2 ,...,vrk ) называ-

етсяk-линейной, еслионалинейнаповсемвекторнымаргументам. Ранее было показано, что каждой однолинейной скалярной функции векторного аргумента ставится в соответствие постоянный вектор cr и наоборот: вектору c ставится в соответствие однолинейная скалярная функция. Скалярной k-линейной функции ставится в соответствие тензор k-й валентности. Изу-

чениеэтих объектов составляет предмет тензорного анализа. Рассмотрим две функции частного вида: билинейную и три-

линейную скалярныефункции. Билинейная скалярная функция

ψ =ψ (ur,vr)

91

§ 7. Скалярные функции многих векторных переменных

венства (5.31) получаются аналогично. В силу равенств (5.31) написанное выше выражение для функции ψ принимает вид

темы координат в пространстве и однозначно определяется самой билинейной функцией ψ . Действительно, пусть при

другом выборе векторного базиса — i , rj, k — мы получили бы другой вектор mr и второе выражение для функции ψ :ψ = muvr rr. Тогда для одной и той же функции ψ мы имели бы

Таким образом, всякая билинейная кососимметричная скалярная функция ψ двух векторных аргументов представима

единственным образом в виде смешанного произведения некоторого постоянного вектора m (однозначно определяемого самой функцией ψ ) на векторы аргументов.

Глава VI

ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ

§ 1. Вектор-функция векторного аргумента. Векторное поле

Определение. Говорят, что на множестве векторов Vr за-

дана вектор-функция векторного аргумента, если каждому

вектору vr из множества векторов V поставлен в соответствие определенный вектор a .

Вектор-функцию векторного аргумента обозначают в ви-

деar = ar(vr).

Если векторный аргумент v рассматривать как радиус-век- тор точек пространства и обозначать через r , то задание век- тор-функции ar(rr) означает, что точке M с радиусом-векто-

ром rr ставится в соответствие вектор a . Таким образом, воз- никает соответствие между точками пространства и векторами ar , определяющее векторную функцию точки: ar(M ) .

Определение. Говорят, что в области D пространства Rn задано векторное поле, если каждой точке области D поставлен в соответствие определенный вектор a .

Таким образом, при фиксированном начале отсчета радиу- сов-векторов задание вектор-функции точки совпадает с заданием векторного поля.

95

§ 1. Вектор-функция векторного аргумента. Векторное поле

линеарен вектору ar(rr). Условие коллинеарности векторов drr и ar(rr) имеет вид dr ×ar = 0. Записывая его в виде равенства отношений соответствующих компонент векторов dr и ar(rr), получим

Система дифференциальных уравнений (6.3) определяет векторные линии поля (6.1). Записывая эту систему в нормальном виде, получим

dy = Q(x, y, z), dz = R(x, y, z). dx P(x, y, z) dx P(x, y, z)

Общий интеграл этой системы имеет вид

С геометрической точки зрения система (6.3) определяет два семейства поверхностей, определяющих в совокупности искомые векторные линии. Если в некоторой области V для системы уравнений (6.3) выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши, то через каждую точку

M0 (x0 , y0 , z0 ) проходит единственная векторная линия.

Опишем гидродинамическую интерпретацию векторного по- ля. Рассмотрим поток идеальной несжимаемой жидкости, дви- жущейся в каждой точке со скоростью, зависящей только от по- ложения точки и не зависящей от времени. Такое движение жид-

кости называют стационарным. Вектор скорости ar = ar(rr) опре-

делен в каждой точке и зависит только от неё. Он определяет на- правление движения частицы жидкости и величину скорости. Линии тока жидкости (траектории отдельных частиц) совпадают с векторными линиямиполя скоростей.

97

§ 2. Линейные операторы

Таким образом, для линейного оператора во всём про-

оператором. Легко проверяется выполнение равенств (6.5) для

торы. Такойлинейныйоператорназываютдиадой.

Лемма. Линейный оператор однозначно определяется за-

Следовательно, значение ar(vr) для любого вектора v определя-

линейную функцию можно однозначно определить в заданных декартовых координатахr при помощи девяти чисел. Действи-

тельно, пусть ir, rj, k — базис декартовой системы координат,

99

Глава VI. Векторное поле

r

тогда линейная функция A = A(vv) однозначно определяется

каждый из которых, в свою очередь, определяется своими компонентами:

вых координат. Из равенства (6.9) следует непрерывность ли-

Числа apq , определяющие линейную функцию в данной системе координат, располагаются в виде матрицы

100