Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы теории функций в геометрии. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

989 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

§3. Сопровождающий трехгранник

Определение. Сопровождающим трехгранником, связан-

ным с текущей точкой М пространственной кривой, называется трехгранник, ребрами которого являются касательная, главная нормаль и бинормаль. Грань, проходящая через касательную и главную нормаль, называется соприкасающейся плоскостью. Грань, проходящая через главную нормаль и бинормаль, называется нормальной плоскостью. Грань, проходящая через касательную и бинормаль, называется спрямляю-

щей плоскостью.

Определение. Системой дифференциальных уравнений движения сопровождающего трехгранника называется сис-

тема уравнений, определяющих производные по дуге от ра- диуса-вектора rr текущей точки кривой и от ортов τr,νr, β осей сопровождающего трехгранника.

Производные от τr,νr, β определяются тремя основными урав-

нениями:

(2.7), (2.8),

(2.12).

Дифференцируя по

тождество

dνr

dβ

dτr

dνr

ν = β ×τ ,

получим

×τ

+ β

или

= −Tν ×τ + β × Kν ,

dνr

т.е.

= −Kτ +T β.

Получаем следующую систему диффе-

ренциальных уравнений движения сопровождающего трехгранника:

			drr		r		dτr			r
				=τ		,		= Kν ,
			ds	=τ		,	ds	= Kν ,
	r		ds				ds		r		(2.13)
	r						r		r		(2.13)
dν				r			r		d β		r
		= −Kτ			+T β,					= −Tν.
		= −Kτ			+T β,				ds	= −Tν.
ds									ds
Рассмотрим на кривой					rr = rr(t ) точку						M (s), в которой
K ≠ 0, T ≠ 0. Вектор			rr = rr(s +					s)− rr(s)			с началом в точке
											31

ГлаваII. Дифференциальнаягеометрияпространственныхкривых

M (s) и концом в точке M (s +

кривой разложим по фор-

муле Тейлора (1.19):

2 r

3 r

rr =

+ξ3

, где lim ξ3 = 0.

ds 1!

s→0

Из дифференциальных уравнений движения сопровождающего трехгранника (2.13) получим

drr r

d 2rr

dτr

d 3rr

d (Kνr)

2 r

dK r

=τ

= Kν

= −K

+ KT β.

ds2

ds3

В силу этого

r		s r	s2	r	s3
r	=	1! τ +	2!	Kν +	3!

Рассмотрим проекции вектора

2 r	dK r		r	r
−K τ +		ν	+ KT β	+ξ3 .
	ds

r на орты τr,νr, β :

прτr rr =τr rr =	s	+	s3 (−K 2	+ξr3τr).	(2.14)
	1!		3!
При достаточно малых	s	знак проекции (2.14) определя-
ется знаком главного члена, т. е. знаком				s . Это значит, что
				1!

кривая в достаточно малой окрестности рассматриваемой точки располагается по обе стороны от нормальной плоскости:

r r

прr r

K +

+ξν

(2.15)

При достаточно малых

s знак проекции (2.15) всегда бу-

дет положительным, так как главный член

положите-

лен независимо от знака s . Это значит, что в достаточно малой окрестности рассматриваемой точки M (s) кривая отгибается от спрямляющей плоскости в направлении орта ν :

§ 3. Сопровождающий трехгранник

r	=	s3	KT +	s3	r r	(2.16)
прβr r		3!		3!	ξ3β.

При достаточно малых			s проекция (2.16) меняет знак
одновременно с изменением знака					s . Это значит,	что в

достаточно малой окрестности рассматриваемой точки кри- вая располагается по разные стороны от соприкасающейся плоскости.

Кривизна прямой равна нулю, так как орт касательной к прямой направлен по этой прямой и угол между ортами касательных в двух точках равен нулю. Докажем обратное утверждение. Пусть кривизна кривой тождественно равна нулю:

dτr

drr

K =

≡ 0.

Тогда

= 0,

откуда τ

= C

а следова-

тельно,

= C1s +C2

т. е. конец радиуса-вектора r

описывает

прямую. Таким образом, кривая с нулевой кривизной является прямой линией.

Кручение плоской кривой равно нулю, так как соприкасающаяся плоскость в любой точке кривой совпадает с плоскостью, в которой лежит кривая, поэтому бинормаль не изменяет своего направления в пространстве. Пусть, наоборот,

кручение				кривой тождественно			равно нулю: T ≡ 0.	Тогда
	d βr	−Tνr = 0, откуда β = Cr				Умножая это равенство скалярно
		−Tνr = 0, откуда β = Cr				Умножая это равенство скалярно
	ds				0.
	ds		r					и βr ,
на τr =			dr	и учитывая перпендикулярность векторов τ
на τr =			ds	и учитывая перпендикулярность векторов τ
				d (Cr0rr)		r
получим					= 0, откуда	C r	= D , т. е. конец радиуса-ве-
получим					= 0, откуда	C r	= D , т. е. конец радиуса-ве-
				ds		0
				ds

кора r описывает rкривую, лежащую в плоскости, перпенди- кулярной вектору C0 и удаленной от начала О на расстояние D . Следовательно, кривая с нулевым кручением является плоской.

ГлаваII. Дифференциальнаягеометрияпространственныхкривых

§ 4. Инвариантные формулы

Величины τr, K,νr, β,T легко выражаются через производные от радиуса-вектора r текущей точки кривой по ее дуге:

drr

dτr

1 dτr

d β

, K =

, ν

, β =τ

×ν ,

T = −ν

Однако применение этих формул, когда кривая отнесена к произвольному параметру t , приводит к громоздким выкладкам. Поэтому обычно выражают эти величины через производные от радиуса-вектора r по произвольному параметру t , к которому отнесена кривая. Это можно сделать путем непосредственного преобразования формул. Однако можно поступить и иначе — применить новый метод, при помощи кото-

рого снова автоматически придем к величинам τr, K,νr, β,T и при этом получим необходимые общие формулы для их вычисления. Величины τr, K,νr, β,T имеют геометрический ха-

рактер и не зависят от выбора параметра t , к которому от- несена кривая. Поэтому их выражения через производные от радиуса-вектора r текущей точки линии по произволь- ному параметру t не изменяются при преобразованиях это- го параметра.

Рассмотрим кривую, отнесённую к произвольному параметру t : rr = rr(t ). Перейдём к новому параметру u , положив

t =ϕ(u). Причем будем предполагать, что				dt	≠ 0 и при воз-

				du
растании			параметра t параметр u также возрастает, т. е.
	dt	> 0.	Последовательным дифференцированием вектор-

	du

функции по параметру и получаем следующие формулы пре- образования производных:

§ 4. Инвариантные формулы

drr

;

dt du

d 2rr

dt 2

drr d 2t

;

dt du

d 3rr

dt 3

d 2rr dt d 2t

drr d 3t

du du

dt du

(2.17)

(2.18)

(2.18′)

Используя эти формулы, получим выражения, не меняющиеся при преобразованиях параметра. Из уравнения (2.17) следует

drr

(2.19)

Разделив уравнение (2.17) на уравнение (2.19), находим

drr

Откуда следует, что вектор

drr

является инвариантным

вектором. Он не изменяется при преобразованиях парамет-

ра. Его называют инвариантным вектором первого порядка,

так как он выражается только через производную первого порядка.

Для определения его геометрического смысла выберем ду- гу s в качестве параметра. Тогда полученный инвариантный

	drr		drr	r

вектор выразится следующим образом:		:		=τ.	Следо-
	ds		ds

вательно, он является ортом касательной. Приходим к инвари- r r

антной формуле для орта касательной: τr = drdt : drdt .

Инварианты второго порядка получаются из формул (2.17) и (2.18) преобразования производных первого и второго порядков. Перемножив векторно эти формулы, находим

ГлаваII. Дифференциальнаягеометрияпространственныхкривых

drr		d 2rr			drr		d 2rr			dt 3
	×			=		×					.
du		du	2		dt		dt	2
									du

Откуда следует, что

drr

d 2rr

drr

d 2rr

dt 3

(2.20)

(2.21)

Разделив скаляр (2.21) на куб скаляра (2.19), получим инвариантный скаляр

drr

d 2rr

drr

d 2rr

du2

называемый инвариантным скаляром второго порядка. Для определения его геометрического смысла выберем за новый параметр дугу s данной кривой. Тогда этот скаляр примет вид

drr

d 2rr

dτ

× Kν

= K.

Следовательно, он является кривизной K . Таким образом, получаем следующую инвариантную формулу для вычисления кривизны:

	drr	×	d 2rr
	drr		d 2rr
	dt		dt		2
K =	dt		dt		2	.
K =		drr		3		.
		drr		3
		dt

Разделив почленно вектор (2.20) на скаляр (2.21), получим инвариантный вектор

§ 4. Инвариантные формулы

drr

d 2rr

drr

d 2rr

d 2r

dt2

Выбирая в качестве параметра дугу s рассматриваемой кривой, находим

drr	d 2rr		r	dτr			× Kνr
ds	× ds2		τ	× ds		τr	× Kνr	r
r	r	=	r	r	=	r	r	= β,
dr d 2r			r	dτ		τ	× Kν
ds	× ds2		τ	× ds
ds	× ds2		τ	× ds

т. е. рассматриваемый инвариантный вектор является ортом бинормали. Получаем инвариантную формулу для орта β :

r	drr	×	d 2rr
r	dt	×		2
β =	dt		dt		.
	r		r
	r		r
	dr	×	d 2r
	dt	×	dt	2
	dt		dt	2

Перемножив векторно β и τ , получим инвариантную формулу для орта главной нормали:

× d

2 r

× dr

= β

×τ

d 2 r

dt2

Перемножая скалярно векторы (2.20) и (2.18′) и учитывая, что смешанное произведение с двумя одинаковыми сомножителями равно нулю получим

drr

d 2 rr

d 3rr drr

d 2rr

dt 6

d 3rr

ГлаваII. Дифференциальнаягеометрияпространственныхкривых

Разделив полученный скаляр на скалярный квадрат вектора (2.20), получим скаляр

× d

2 r

3 r

× d

2 r

3 r

× d

называемый инвариантным скаляром третьего порядка.

Для определения его геометрического смысла выберем в качестве параметра дугу s рассматриваемой кривой. Тогда

2 r

3 r

2 r

dτ

d τ

(τr× Kνr)

d (Kν )

τ ×

2 r

)

× d r2

dτ

× Kν

(

dνr

+ K

= β

= β (−Kτ

+T β )=T.

Следовательно, рассматриваемый инвариант является кручением. Получаем следующую инвариантную формулу для вычисления кручения:

× d

2 r

3 r

T =

× d

Глава III

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПЛОСКИХ КРИВЫХ

§ 1. Дифференциальные уравнения плоской кривой

Рассмотрим плоскую кривую rr = rr(t ). Плоскость, в ко-

торой расположена кривая, примем за координатную плос- кость Oxy . Тогда радиус-вектор r текущей точки М кривой

разложится по двум ортам i и j осей Ox и Oy : rr = xi + yjr.

Третья проекция z при этом будет тождественно равна ну- лю. У плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпада- ет с плоскостью, в которой лежит линия, т. е. с плоскостью Oxy . Главная нормаль лежит в этой плоскости, а бинормаль

ей перпендикулярна. Орт бинормали β плоской линии по-

стоянен, и кручение T тождественно равно нулю: T ≡ 0. Таким образом, основные формулы (2.7), (2.8), (2.10) для плоской линии примут вид

drr r

dτr

d β

=τ ,

= Kν ,

= 0.

Дифференцируя тождества νr = β ×τr

с учетом постоян-

dνr

dτr

При-

ства вектора β , получим

= β ×

= β × Kν = −Kτ.

Глава III. Дифференциальная геометрия плоских кривых

ходим к следующей системе дифференциальных уравнений плоской кривой:

drr r		dτr	r	dνr	r	d β
	=τ ,		= Kν ,		= −Kτ ,		= 0.	(3.1)
ds	=τ ,	ds	= Kν ,	ds	= −Kτ ,	ds	= 0.	(3.1)

§ 2. Кривизна плоской кривой

Обозначим через α угол, составленный ортом касательной τr с первым координатным ортом i , отсчитываемый от век-

тора ir против хода часовой стрелки. Тогда

τr = i cosα + rj sinα.

Получаем следующее выражение для кривизны:

K = ddsτr = (−sinαir + cosα rj )ddsα = ddsα .

Обычно для плоской кривой рассматривают кривизну со знаком K% , полагая K% = ddsα . Таким образом, кривизна со

знаком плоской кривой равна производной по дуге от угла касательной с осью Ox . Она будет положительной, если α увеличивается с ростом s , а в противоположном случае — отрицательной.

Найдем координатную формулу для вычисления кривизны со знаком K% плоской линии, заданной параметрической сис- темой уравнений x = x(t ), y = y (t ). Производная от радиуса-

вектора			r	r	r		есть вектор
вектора			r	= xi	+ yj	текущей точки кривой	есть вектор
r	r		r
&	&		&	направленный по касательной к кривой. Тангенс
r	= xi	+ yj,		направленный по касательной к кривой. Тангенс
угла α,			образованного касательной с осью Ox,				равен отноше-
40

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]