Детерминированная финансовая математика. Учебное пособие

5.2.Максимизация общей равной нормы прибыли (ρ-задача)

Обозначим норму прибыли (отношение прибыли предприятия к его полным затратам) i-го участника договора ρi = πi /Si . Для обеспечения более или менее «справедливого» распределения прибыли между участниками согласованные действия между

i

Поскольку πi, Si – линейные функции P1, ..., Pn–1, имеем, вообще говоря, задачу дробно-линейного программирования (ρ-задачу):

¦Sˆ i

U α ¦i Si Ȃ max

Однако ее решение легко получить в явном виде. Учитывая

(5.9), получим:

Отсюда вытекает, что выравнивание норм прибыли ρ за счет дележа прибыли «дилера» всегда возможно для рентабельного

81

в целом объединения, т.е. при условии неотрицательности суммарной прибыли ∑πi ≥0 или Pn ≥ A.

i

Максимизация нормы прибыли ρ эквивалентна минимизации знаменателя, т.е. минимизации суммы внутренних цен

Pi (i =1,...,n – 1). Внутренние цены Pi (i = 1, ..., n – 1) при этом, со-

гласно ограничениям задачи (5.12), должны удовлетворять условиям,обеспечивающимнеотрицательностьприбылейπi (i =1,...,n) и дележей i (i = 1, ..., n – 1). Так как в (5.7) определены минимальное и максимальное значения для Pi, получаем значения цен, обеспечивающих минимум ∑Pi и нулевые прибыли для первых

и эта точка удовлетворяет всем условиям (5.12). Таким образом, можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 5.1. Для рентабельного в целом объединения (концерна) (∑πi = π≥0) существуют цены Pi (i = 1, ... n – 1) и пере-

i

распределение прибыли «дилера» i такие, что обеспечивается равенство норм прибыли ρ участников, и эта общая норма прибыли максимальна для всех участников, тогда и только тогда, когда внутренние цены определяются по себестоимости

π*i = ρmax Si*, i = 1, ..., n.

Отпускная цена Pn n-го «реализующего» предприятия, как уже описано ранее, предусмотрена в договоре, но если n-му предпри-

82

ятию удастся реализовать изделия (или часть их) по более вы-

сокой цене P , (P ≤ Pn ), то дополнительная прибыль P = P – Pn подлежит распределению между остальными участниками договора, что создает стимулирование увеличения выпуска продукции для всех предприятий объединения. Это распределение необходимо проводить пропорционально затратам каждого на

i=1

Это обстоятельство позволяет проводить расчеты для минимальной отпускной цены, а потом корректировать дележ.

В таблице 5.1 приведены результаты расчетов модельного примера для оптимального (π1,2 = 0), а в таблице 5.2 – неоптимального назначения цен. Значение реальной продажной цены

P = 8 000, значения договорных цен P3 равны 4 735 и 7 000 для первого и второго случая соответственно. Сравнение этих таблиц показывает, что при одинаковом значении продажной цены (P3 = 8 000) и одинаковой сумме общей прибыли (P3 – A = 5 350). Стремление увеличить P1, P2 не только уменьшает общую норму прибыли (0.578 вместо 0.77), но и уменьшает окончательную величину прибыли участника i = 1,2, то есть работает не в их интересах, а в интересах «дилера».

Таблица 5.1

83

Таблица 5.2

Но если для первого участника (предприятия) отступление от рекомендуемого теорией оптимума неизбежно приводит наряду с уменьшением нормы прибыли к уменьшению и абсолют-

ной величины прибыли (Sˆ = ρS1, S1 = C1 и при уменьшении ρ и

постоянстве C1 Sˆ < Sˆ * ), то для остальных участников договора, как показывает пример (табл. 5.3) это не всегда имеет место.

Таблица 5.3

Из этого примера видно, что возможно увеличение окончательной прибыли Sˆ ʹ. Однако больше всех от такого отступления от согласованного оптимума выигрывает третий участник, «дилер». Поэтому возникает задача исследования этого явления, выделения таких областей Ri , в которых

ку практического значения этот вопрос не имеет (отклонение от оптимума невыгодно всем), оставляем его решение в качестве упражнения.

84

5.3. Учет задержки платежей в ρ-задаче

При максимизации нормы прибыли ρ с учетом задержки платежей получаем следующие соотношения:

85

n

(Pn ≥ Pn–1 + Cn ≥ ... ≥ ∑Ci = A).

i=1

Поскольку целевая функция теперь линейна, оптимум достигается на границах, которые для каждого из zi дают два взаимоисключающих варианта – в зависимости от знака коэффициента

Цены, отвечающие такой «одноэтапной» процедуре (прибыль участников формируется по внутренним ценам без дополнитель-

86

n

Поскольку ϕ(1) = ∑Ci = A < Pn и ϕ'(x) > 0 x > 0, и функция эта

i=1

растет неограниченно, существует единственный корень уравнения (5.21), x* > 1 (легко вычисляемый итерационной процеду-

рой), по которому рассчитываются Pi* .

В общем случае какие-то βi могут быть положительными, какие-то отрицательными и, соответственно, для положительных выполняется как равенство правое ограничение:

Pi = (ρ + 1)(Pi–1 + Ci) (βI > 0),

а для отрицательных – левое:

Pi = Pi-1 + Ci (βi < 0),

По этим соотношениям формируются коэффициенты уравнения для x = ρ + 1, а по его решению – рассчитываются оптимальные цены.

Поскольку эти процедуры для «ручного счета» затруднительны, примеры для этого случая здесь не приводятся, но все рассмотренные в данной главе задачи легко решаются с помощью программы COSTn.

Если связи между участниками производства не являются линейными, предприятия связаны более сложно, принципиальный подход к решению тех же задач (или иных модификаций) переносится и на этот случай, но при этом возникают некоторые дополнительные трудности: необходимость оперирования уже не ценами, а выручкой, неоднозначность получаемых решений (так как вместо рекуррентных расчетов цен приходится решать задачи линейного или нелинейного программирования и возможно появление нескольких оптимальных решений) и т.п.

87

6. З

Люди настолько изобретательны в своих ошибках, что предусмотреть их невозможно.

Э. Теллер

Этазадачавозникаеткрайнечастопритехнико-экономическом проектировании как «плата» за то, что при рассмотрении вопросов применения различных типов изделий, предназначенных для одной и той же цели (но в различных условиях, при разных значениях «внешних» параметров) игнорируются условия производства этих изделий. Если при таком подходе найдено, что требуется количество ai изделий i-го типа (i = 1, ..., n), а производство их требует затрат fi (x), то возникает вопрос: а нельзя ли уменьшить количество типов производимых изделий («унифицировать» их), заменяя некоторые типы – другими изделиями?

Еслисчитать,чтотипыизделийупорядоченыповозрастанию мощности (прочности, производительности и т. п.), то, в простейшей постановке, каждое изделие i-го типа может быть заменено любым изделием типа с большим, чем i, номером (при этом ухудшаются показатели, оптимизируемые при первоначальном выборе, но уменьшаются суммарные затраты на производство всех требуемых изделий). Задача состоит, следовательно, в том, что требуется найти x = (x1, ..., xn) ≥ 0 (и, вообще говоря, целые), минимизирующие суммарные затраты:

(всего, очевидно, требуется столько изделий, сколько рассчитано вначале). Множество вариантов изображено на рис. 6.1.

88

вкаждой строке (6.2) может быть выбрано одно и только одно (либо «левое», либо «правое»), так как выбор одновременно двух

из них – невозможен, противоречив (x1 = 0 и x1 =a1> 0). Если не выбрать ни одного из них, то общее число равенств будет меньше n. Поэтому общее число вариантов (вершин) равно 2n–1 и описывается двоичным деревом ветвлений, состоящим из (n–1)-го уровня. На последнем, n-м этапе, все ветвления ведут к одному последнему равенству, т.е. дерево «замыкается» в одну конечную вершину и дерево превращается в сеть, «гамак», где каждый путь из начальной вершины М в конечную Е отвечает некоторой вершине (рис. 6.2).

Поскольку на каждой дуге i-го уровня фиксировано значение

xi,этойдугеотвечаетопределенноезначениеfi (xi ),котороеможно считать «длиной» этой дуги. Следовательно, каждому пути из М

вЕ (каждой вершине многогранника допустимых значений вектора х) отвечает определенное значение суммы «длин» дуг, т.е. «длина» пути, равная значению целевой функции Fn(x). Следова-

89

n , n

Рис. 6.2

тельно, задача свелась к отысканию кратчайшего из этих путей

(minFn(x)), но число этих путей – очень велико (n =10 29 =512),

x

запоминание и перебор их – труден.

Однако ситуация облегчается тем, что, если в каких-то узлах

все такие узлы могут быть «склеены», сведены в один (в кото-

рый ведут несколько путей). Для расчета кратчайшего пути всей сети достаточно найти кратчайший путь, ведущий в этот «склеенный» узел, и далее исходить из этого кратчайшего участка пути. В результате сеть вариантов представляется в виде, где на каждом этапе число узлов не удваивается, а увеличивается на единицу (рис. 6.2, с соответствующей двойной нумерацией узлов, где первая цифра дает номер этапа, а вторая – номер вершины на

Fn,n = min F(x)

x

(при этом на каждом этапе i приходится сравнивать лишь n вариантов путей в (i, i) и отмечать путь, дающий этот минимум). На

90