Детерминированная финансовая математика. Учебное пособие

8. Э

Модели должны быть « настоль- ко простыми, насколько возможно, но не проще.

А. Эйнштейн

Впредыдущих главах рассматривались модели принятия решений, обеспечивающих максимально возможную прибыль.

Внекоторых из них (например, при планировании производства) уже возникала проблема согласования решений при нескольких целях, критериях – как получить максимальную прибыль или (и) максимальное количество ассортиментных наборов. Чаще всего одновременная максимизация двух (и более) критериев (показателей, целевых функций) невозможна. Стремление к увеличению одного из них приводит к уменьшению других («за двумя зайцами погонишься...»), поэтому необходимо рассмотреть методы согласования критериев, методы принятия решений в условиях многокритериальности.

Вданной главе излагаются общие подходы к решению таких задач, их применение, некоторая общая схема интерактивного формирования функций ценности в диалоге с пользователем (лицом, принимающим решение – ЛПР) и принятие решений на ее основе.

8.1.Основные понятия и подходы к решению многокритериальных задач

Формальное описание таких задач может быть представлено в виде:

f (x) – max , x RX, (8.1)

x

где x – совокупность управляемых параметров (например, век-

тор x = (x1, ..., xn));

RX – множество их допустимых вариантов, согласованных с уравнениями и ограничениями, связывающими их;

f (x) = (f 1(x), ..., f m(x)) – вектор критериев (показателей).

101

Поскольку одновременная максимизация всех критериев, как правило, невозможна, эта формальная запись не может быть основой для решения, необходимо ввести некоторые принципы взаимодействия, сравнения, взаимной компенсации критериев.

Но предварительно необходимо обсудить вопрос о приведении произвольной многокритериальной задачи к стандартному виду (8.1), если в исходной постановке критерии f j имеют различную размерность, различный порядок величин и различную направленность, т.е. если f j , j J1 должны максимизироваться (т.ею вариант тем лучше, чем больше f j ), f j , j J2 – должны ми-

нимизироваться (т.е. чем меньше f j , тем лучше).

Поскольку для всех показателей практически могут быть установлены границы их изменения:

f ji ≤ f j ≤ f jв ,

f j (x)= f jfвj−в −f jf(jix), j J2

нетолькоосуществляютприведениеквиду(8.1),–таккактеперь все fj (x) должны максимизироваться, – но и приводят все критерии к безразмерному виду (каковы бы ни были значения f j – в долларах, тысячах штук, тоннах, процентах и т.д., все fj – числа не зависящие от единиц измерения), а также «выравнивают» порядок величин, определяющих значение критериев, ибо в (8.2) все критерии принимают значения между 0 и 1 ( 0 ≤ fj (x) ≤ 1).

Если порядок величин критериев не слишком различен и все они – «однонаправлены», то масштабирование, приведение к единичному отрезку можно и не производить.

Множество допустимых вариантов RX является областью n-мерного пространства Rn (RX Rn), а отвечающие точкам x RX значения вектора f(x) образуют множество F Rm из m-мерного пространства (рис. 8.1):

f(x): Rn → Rm.

102

Для принятия решения нужно рассматривать только те точки (альтернативы), для которых нет доминирующих альтернатив, и

103

а соответствующее этим точкам множество ПF – образом множества Парето в критериальном пространстве:

образа.

Существенно, что переход от одной точки множества Парето (или его образа в критериальном пространстве) к другой связано с тем, что при улучшении (увеличении) одного критерия неизбежно ухудшается значение какого-то другого!

Теперь возникают две основные задачи многокритериального анализа:

–научиться строить множество Парето (или его образ);

–предложить способы выбора точки на этом множестве. Первая задача сравнительно легко решается, если ограни-

чения, определяющие множество Rx и критерии fi(x) – линейны. При этом множество Rx является многогранным и, при его ограниченности, однозначно определяется своими вершинами {xk}, k =1, ..., K, а F – также многогранник. Поэтому достаточно рассмотреть образы этих вершин f k = f (xk), найти их выпуклую оболочку (часть вершин xK при отображении f(x) может попасть внутрь F и перестать быть вершинами), и выделить те вершины, которые определяют ПF,а по ним найти П.

В общем виде для этого линейного случая имеем:

104

F = { f f = C x, x RX } = {f f = CXα} = {f f = Fα} =

Вершины xk легко находятся Жордановыми преобразованиями. В качестве примера рассмотрим задачу производственного планирования, которая имеет вид:

x = (x0, x1, x2), c1 = (0, 20, 15), c2 = (1, 0, 0),

Перебирая все допустимые Жордановы преобразования исходной таблицы, сохраняющие неотрицательность последнего столбца, получим x0 = (0, 0, 0); x1 = (0, 0, 5); x2 = (9/10, 24/5, 9/5); x3 = (0, 6, 0); x4 = (15/17, 15/14, 30/7);

соответствующие значения f:

f 0 = (0, 0), f 1 = (75, 0), f 2 = (123, 9/10), f 3 = (120, 0), f 4 = (600/7, 15/7).

Упражнение 8.1. Записать матрицы С,X и подсчитать матрицу F, столбцы которой дают f k.

Если не вводить x0, то допустимое множество RX – двумерно,

x = (x1, x2):

3

RX = {x1, x2 x = ∑αk xk , αk ≥0, ∑αk =1} =

k=0

={x1,x2 x1=6α1+24/5α3, x2=5α2+9/5α3,α0+α1+α2+α3=1,αk≥0},

но вторая целевая функция – нелинейная, точнее – кусочно-

105