Детерминированная финансовая математика. Учебное пособие

струмент, приучает к обязательной количественной оценке рассматриваемых производственных и технологических процессов с экономической точки зрения.

Для контроля работы студентов прилагаются также примеры индивидуальных заданий выполнения расчетов.

11

1. О

Если, следя за каким-то явлением, наблюдатели увидят одно и то же, тогда это наука. Если увидят разное – не наука, а поэзия, еще что-нибудь, что угодно.

Б.В. Раушенбах

Основным объектом изучения экономических процессов является предприятие («фирма»), деятельность которого определяется объемом выпускаемой продукции R (штук, тысяч штук или комплектов изделий) и отпускной ценой Р. Взаимодействие между отдельными предприятиями, государством и рынком, а также многообразие выпускаемой продукции опираются на модели деятельности отдельной фирмы, представляют собой следующие «этажи» моделирования и анализа.

По этим параметрам P и R (которые пока считаются независимыми) рассчитываются экономические показатели фирмы: выручка, издержки (затраты) Z, прибыль П, норма прибыли ρ и т.д.

1.1. Затраты, выручка, прибыль

При расчете экономических показателей необходимо иметь в виду, что кроме цены производителя Р существуют цены потребителя:

торговая наценка не участвует, но спрос потребителя определяется ценой P2, которую ему приходится платить за товар.

Затраты Z на производство продукции являются монотонно возрастающей функцией объема производства:

12

где Z0 – постоянная часть издержек – аренда или плата за амортизацию помещения и т.п. Однако если ввести удельные затраты C(R) = Z1(R)/R, то они являются убывающей функцией объема R – иначе не было бы известного эффекта выгодности массового производства.

Если выделить постоянное слагаемое C(R), то получим:

новременных затрат (строительство новых цехов и складов, покупка дополнительных станков и автоматических линий и т.п.), могут иметься точки нарушения гладкости, «излома» (рис. 1.1). Соответственно, в этих точках разрыва непрерывности и излома имеет разрывы функция С1(R) (рис. 1.2). Поэтому строже было бы применять анализ в отдельности на каждом отрезке непрерывности, но для упрощения расчетов целесообразно считать зависимости гладкими (пунктирные кривые на том же рисунке), а после получения рекомендаций по выбору оптимальных значений – провести уточненный поверочный расчет.

Имеется также и верхний предел объема R, превышение которого дает рост удельных затрат, но и это обстоятельство удобнее учитывать на втором этапе, при поверочных расчетах.

а при R = 50 и R = 150 требуются дополнительные затраты в 10 и 15 млн долл. соответственно.

Выручка (доход) В подсчитывается как произведение объема продаж S на цену проданной продукции, однако при этом необходимо учесть изымаемую государством сумму налога на прибыль и возвращаемую сумму налога на добавленную стоимость, выплаченную фирмой (как потребителем) при покупке комплектующих изделий Cп (на единицу или тысячу изделий):

B = SP1 −SPq1 +SCnq1 ,

где q1, q1 – ставки налога, причем q1 может быть отлично от q1. Величина затрат описана в (1.2), поэтому выражение для при-

были (разности между доходом и затратами) имеет вид:

Объем продаж определяется спросом D и предложением R:

S = min (D, R),

поэтому рассмотрим два возникающих здесь случая: D ≥ R (дефицит) и D ≤ R (перепроизводство).

В первом случае S = R и выражение для прибыли принимает вид:

т.е. в расчете фактически не участвует налог на добавленную

14

(q1 не участвует в расчете, но q1 учитывается, так как слагаемые D Cn q1 и –R Cn q1 не равны между собой и взаимно не уничто-

жаются).

Если формирование затрат связано с использованием банковского кредита (с учетной ставкой r для периода обращения капитала – от момента кредитования до момента продажи), то затраты Z (квадратная скобка в (1.3) и (1.32)) должны быть умножены на (1 + r):

D ≥R: Π =R P −(1+r)[(a01 +Cn +C1(R))R +a]−R Cnq1 r

веденным формулам.

Целесообразно привести еще формулы для расчета чистой прибыли Пч с учетом доли q0 (налога на прибыль) и сбора W государства, включая в него суммы налога на прибыль, налога на добавленную стоимость и банковского сбора (считая банк государственным):

П1 = П (1 – q0 ),

Впрочем, если учитывать, что «возвращаемая» фирме часть налога на добавленную стоимость все равно остается у государства, третье слагаемое может быть опущено.

Упражнение 1.3. Рассчитать П1, W в условиях упражнения 1.2.

15

1.2.Равенство спроса и предложения – необходимое условие максимизации прибыли

Поскольку основная цель деятельности фирмы – получение максимальнойприбыли,рассмотримусловиявозрастанияприбыли(1.4) за счет изменения P и R. При этом необходимо учесть, что спрос D зависит от цены Р и, вообще говоря, является убывающей функцией от Р (случай парадоксальных ситуаций, когда спрос растет с ростом цены–«парадоксГиффена»,будетисследованвглаве4).

При D ≥ R прибыль имеет вид П = P R – Z(R), т.е. линейно растетсростомP ( ∂∂ПR =R >0),следовательно,ростценыувеличивает

прибыль до тех пор, пока верно это выражение для прибыли, до

равенства спроса и предложения: P ≤ P , D(P ) = R (см. рис. 1.2). При D ≤ R имеет место второе выражение (1.4), т.е.

П = D(P) (P + Cп q1 ) – Z(R),

и уточненные (за счет банковского кредита и складских расходов) затраты Z растут с ростом R.

Поскольку первое слагаемое от R не зависит, ∂∂ПR = −Z′(R)<0,

следовательно, при постоянстве цены и уменьшении объема производства выручка остается той же, затраты убывают и прибыль растет (рис. 1.2).

Мы получили важный результат: оптимум (максимум прибыли) отвечает равенству спроса и предложения, т.е. оптимальные значения цены и объема производства необходимо искать на кривой равновесия R = D(P), где R и P уже не являются независимыми.

Дальнейший анализ требует конкретизации зависимостей C1(R) и D(P), что будет выполнено в главе 3.

Отметим, что все полученные выводы относятся к стабильной экономике. При спекулятивных операциях, биржевой игре ситуации равновесия вовсе не являются определяющими о чем, в частности, свидетельствуют и многократные высказывания крупнейшего специалиста в этой области, Дж. Сороса.

16

1.3.Прибыль, инфляция и дисконтирование (соизмерение разновременных затрат)

Если капитал размером K0 вкладывается в некую надежную фирму, гарантирующую ежемесячную прибыль p1 100 %, начисляемую на счет вкладчика и участвующую в дальнейшем финансовом процессе (инвестициях, кредитном финансировании и т.п.), то через месяц вкладчик будет обладать капиталом:

K1 = K0(1 + p1),

через два:

K2 = K1(1 + p1) = K0(1 + p1)2

17

Легко видеть различие между результатами расчета по этим формулам и нередко применяемым формулам простых про-

центов:

1 + pn = 1 + p1n

(для тех же примеров p12 = 12 p1 = 1.2, то есть 120 %, pмес = p1/12 = 1/3,

т.е. 33.3 %).

Обозначив ϕ(t) – коэффициент увеличения капитала за время t, получим:

K(t) = K0 ϕ(t), K(t + τ) = K0 ϕ(t + τ).

С другой стороны, K(t + τ) = K(t) ϕ(τ) = K0 ϕ(t) ϕ(τ). Сопоставляя эти два выражения, получаем функциональное уравнение,

ϕ(1/12) = ep12 =(1+ p1 )112 = 1 + pмес.

Экспоненциальнаяформаростаприбылиболееудобнадлярасчетов, позволяет вести их в любом направлении и для любого t.

Очевидно, что нередко применяемая «формула простых процентов» некорректна, так как не удовлетворяет условию одинаковости результатов при разбиении временного интервала на части.

Упражнение1.5. Еслифирмаобещает(гарантирует)ежедневную прибыль 5 рублей на тысячу, скольким процентам годовой прибыли это отвечает? Повторить расчет, если фирма увеличила прибыль до 6 рублей на тысячу в день.

18

Упражнение 1.6. При годовой прибыли в 1000 % сколько процентов может получить вкладчик по истечении одного квартала?

Упражнение 1.7. Составить программу универсального расчета прибыли за любой отрезок времени (ввести p1, рассчитать p выдать pt , t – больше или меньше 1). Проверить расчеты по про-

граммам DISCONT.

Те же самые рассуждения и формулы отвечают анализу эффекта инфляции – только здесь растет не прибыль, а эквивалентные цены (затраты) для различных моментов времени: если C0 – стоимость некоторого товара при t = 0, то при t = 1

С1 = С0 (1 + γ1), C(t) = C0 ϕ(t) = C0 eγt = C0 (1 + γt), γ = ln (1 + γ1).

Упражнение1.8. Ценадолларавдекабре1992г.была417.5руб. в декабре 1993 – 1247 р., в декабре 1994 – 3400. Какова годовая доля (%) инфляции и темп инфляции за 1993 и 1994 гг.?

Для сравнения затрат, капиталов или цен в различные моменты времени применяется процедура приведения (дискон- тирования) этих затрат к одному и тому же, начальному или конечному, моменту времени, в основе которой лежит рассуждение: капитал К0 эквивалентен капиталу K(t) = K0ept, (который мог бы быть получен с темпом прибыли р) или затраты С(t) эквивалентные затратам С0 = С(t) e–pt, (которые могли бы быть сделаны при t = 0 с учетом темпа инфляции γ1). Эта процедура приведения затрат называется дисконтированием, и используемый в ней множитель (1 + p1, /1 + γ1 = 1 + r), или темп дисконтирования γ, является директивным. Он служит для сравнительных расчетов

исоответствует средним темпам роста прибыли или инфляции. Поскольку фактически эти капиталы никуда не вкладываются

изатраты, определяемые инфляцией, фактически не производятся.

Поэтому для сопоставления двух систем платежей Ci (ti) и Вj (τj) достаточно подсчитать и сравнить эквивалентные им при-

(можно приводить не к t = 0, а к любому другому времени Т:

C(T )=C(0) eγT = ∑Cieγ(T −ti ) ,

i

19

ирезультатсравненияотэтогонеизменится),т.е.если C(0)> B(0) , то первая система отвечает большим платежам, чем вторая. Процедуры приведения затрат совершенно необходимо применять при заключении договоров о будущих (фьючерсных) ценах.

При одновременном учете прибыли и инфляции коэффициент дисконтирования имеет, как уже отмечено выше, вид:

1 + r = ( 1 + p1)/(1 + γ1 ).

В качестве примера рассмотрим договор об оплате некоторой покупки C0 с задержкой первого платежа на год и затем – n раз равными долями B0 каждая полгода. Если принять в качестве единичного отрезка времени – полугодие, то конечный срок оплаты отвечает T = 2 + (n – 1) = n + 1. Считая, что средняя, расчетная инфляция за полгода составляет долю γ1, получаем:

на составлять 135 % исходной («полной») суммы, а отнюдь не

1/5 ее (т.е. 20 %)!

Упражнение 1.9. Рассчитать, какую долю исходной ссуды, выделенной из расчeта 20 % годовых, должны составлять равные доли еe погашения каждый месяц при рассрочке платежа на пять лет, с первым взносом через год:

20