Детерминированная финансовая математика. Учебное пособие

Составить программу для расчета при различных входных параметрах.

Проверить результаты по тем же программе DISCONT.

Замечания.

1.При малых γ1 имеем γ ≈ γ1, и если γ1t – также мало, то γt ≈ γ1t.

2.Во избежание ошибок необходимо помнить, что во всех

формулах используются доли, а для наглядности удобно перево-

дить их в проценты.

3.Приведенные формулы дисконтирования любой системы платежей и затрат (потока платежей) составляют основу всех простейших финансовых расчетов.

4.Если в различные периоды меняются доли прибыли (роста капитала) и инфляции, то расчеты необходимо вести последовательно для каждого периода.

1.4. Простейшие задачи

Рассмотрим простые задачи, решение которых основано на приведeнных выше соотношениях.

1) Прогноз темпа инфляции представляет собой сложную задачу, требующую учeта многих экономических, социальных, психологических и политических факторов. Такие исследования ведутся аналитическими центрами крупных финансовых и инвестиционных фирм и являются основой формирования ставок дивидендов для вкладчиков. По этой информации, выдаваемой фирмами, можно восстановить их оценку темпа инфляции.

Предположим, фирма обещает вкладчикам долю прибыли в рублях pp и pд в долларах. Это означает, что начальный капитал в рублях aop через год превращается в:

(k1,k2 –курсдолларавначалеиконцегода)связанысоотношением: a1д = a0д (1 + pд).

21

Очевидно, что при pp = pд инфляции нет, γ1 = γ = 0. При pp = 5, pд = 0.5 (т.е. 500 % и 50 % соответственно),

γ1 = 1545.. =3 (т.е. 300 %);

2) В экономике важную роль играет оборачиваемость капитала, связанная с временем реализации продукции, произведенной (или купленной) за счет этого капитала. Подсчитаем размеры прибыли при различной величине торговой наценки α1 и α2 < α1, если увеличение наценки приводит к удвоению (для простоты расчетов) времени реализации (t1 = 2t2). Если годовой темп инфляции γ (eγ = 1 + γ1), а себестоимость товара С0, то прибыль в двух рассматриваемых вариантах равна:

22

т.е. получено условие, при котором увеличение наценки приводит к уменьшению прибыли.

−γt1

Пусть γ = 2.2, t1 = 1/12, тогда e 2 = 0.912 и при q < 1.91 стрем-

ление к увеличению прибыли за счет увеличения торговой наценки приводит к противоположному результату.

увеличение наценки в 1.5 раза, приводящие к удвоению срока реализации, дает проигрыш в прибыли (около 22 %).

3) Среди различных рекламных предложений нередко можно встретить объявления, обещающие при оплате некоторой покупки вернуть через год еe стоимость и оставить приобретенный товар у покупателя. Очевидно, что прибыльность такой операции для продавца связана с неэквивалентностью затрат в разные моменты времени. Проанализируем эффективность такой «продажи с возвратом платежа».

Пусть цена продаваемого товара, приобретаемого непосредственно у производителя или со скидкой за оптовую продажу равна Р0, а еe оплата в рамках указанной схемы P1 = P0(1 + α).

Полученные продавцом средства инвестируются им в некоторый прибыльный процесс (производство, банк, посреднические

23

Отсюда вытекает, что при р > 1 наценка α может быть даже отрицательной, т.е. является скидкой (!) с заводской цены и при такой продаже со скидкой посредник все равно имеет прибыль.

Во-вторых, запишем условие того, что эта операция оказывается выгоднее простой инвестиции средств P0 в используемом процессе с долей прибыли р:

β> p или (1 + α)p – 1 > p, т.е. a > 1p .

Если p = 3 (т.е. 300 %) и α = 0.4 > 1/3, то β = 1.4 × 3 – 1 = 3.2>p (320 % вместо 300 %).

Причина такой «сверхэффективности» очевидна: в процесс «наваривания» вовлекаются большие средства (P1 > P0). Возможны и некоторые модификации этой схемы, например, возврат покупателю не всего платежа P1, а лишь заводской, «безналичной» цены P0. При этом:

1 + β = (1 + α) (1 + p) – 1 = α + p + αp,

условие прибыльности принимает вид:

β> 0, т.е. α > 11+−pp ,

аусловие «сверхприбыльности»:

β> p, т.е. α > 1+1p ,

или «возврат платежа с индексацией (в соответствии с темпом инфляции)», т.е. величины P1 (1 + γ1).

4) Рассмотрим механизм традиционного разорения должника, широко применяемый в нелегальных структурах.

Пусть должник занимает ссуду в 6 000 долл. на год из расчета 10 % в месяц с помесячным погашением.

Внося каждый месяц 1/12 ссуды и 10 %, т.е. 500 + 50 долл. (9.17 % ссуды), к концу года он выплатит 6 600 долларов, т.е. 110 % ссуды.

Однако кредитор считает (и вполне законно, на основании формулы сложных процентов), что за это время исходная сумма превратилась в 6 000 (1.1)12 = 6 000 3.1382 = 18 830 долл., т.е.

24

долг возрос до 12 229, вырос вдвое (или больше, если кредитор не захочет включить проценты в погашение долга)!

Очевидно, что причиной такой катастрофы должника является незнание им закона сложных процентов и умышленное «занижение» кредитором сумм погашения.

«Правильное»погашениедолгатребуетежемесячныхвзносов

вразмере доли исходной ссуды а/А = 1.112 0.1/ (1.112 – 1) = 0.147, то есть почти 15 %. И в результате, даже если кредитополучателя не испугают такие взносы и удастся уговорит кредитора, он заплатит ему 176 % ссуды.

5)Регулярно публикуемая в средствах СМИ («Коммерсантъ», «Комсомольская правда» и др.) реклама предоставляемых кредитов имеет своей целью «соблазнить» потребителя легкими условиями предоставления кредита и сравнительно низкими ставками его погашения. Однако эти ставки, как правило, не публикуются, не сообщаются кредитором, и анализ условий кредитования чаще всего показывает, что на самом деле кредитор получает значительно бóльшую прибыль, чем кажется на первый взгляд. Об этом явлении уже неоднократно писалось

впрессе, но чаще всего отмечалась «непрозрачность» условий кредита, наличие дополнительных платежей, не оговоренных в рекламе.

Однако даже при указании всех платежей имеются неявные источники повышения прибыли кредитора. Связаны эти источники с необходимостью решения «обратной задачи» кредитования: по объявленным условиям вычисления действительной доли прибыли.

В качестве примера рассмотрим рекламу банка «Русфинанс», опубликованную в «Комсомольской правде» за 17–24 января

2008 г.

Кредит на год (12 месяцев) по телефону без поручителя и справки о доходах и без комиссии по схеме

25

Если не учитывать дисконтирование (связанное с неэквивалентностью разновременных выплат), то получается, в соответствии с формулами простых процентов, что кредитодатель при различных суммах кредита получает прибыль в размере 33.4 %, что выглядит вполне приемлемо (с учетом легкости получения кредита). Каждый месяц при этом выплачивается 11.2 % занятой суммы, т.е. ежемесячный платеж a связан с суммой кредита A

условием a = 0.112 A и (12a = 1.344A).

Несколько смущает, правда, что ставка кредита не зависит от его суммы – обычно такая зависимость предусматривается.

Видимо, схема организации условий кредита заключалась в том, что заимодавец назначал конечную сумму (после возвращения кредита) в соответствии с желаемой прибылью, а затем равномерно распределял возврат (ежемесячные платежи) по месяцам, т.е. использовал метод простых процентов. При этом месячная процентная ставка также равномерно распределяется по месяцам и составляет 34.4%/12 = 2.9 %. При этом совершается еще одна методическая ошибка: при месячной ставке 2.9 % годовая ставка (при правильном расчете по методу сложных процентов) составляет не 34,4 %, а 41 %!

Однако учет дисконтирования (расчет по методу сложных процентов) – обязателен, его игнорирование приводит к тому, что накопленный (кредитодателем) капитал зависит от того, звонил или заходил заемщик в банк в промежуточные сроки. К сожалению, во многих экономических руководствах совершенно напрасно излагаются методы расчета по простым процентам (по причинам неграмотности, инерции и традиции, связанной с тем, что при малых ставках эти методы практически эквивалентны).

Если годовая ставка прибыли кредитодателя равна p, месячная p1 и коэффициент приведения q = 1 + p1, то должно быть:

A (1 + p) = a(1 + q + q2 + … + q11) = a (q12 – 1)/(q – 1)

Учитывая, что q12 = 1 + p = (1 + p1)12, получаем уравнение для определения p1 по r = A/a:

r = f (p1) = ( 1 – 1/(1 + p1)12 )/ p1 (1.13)

Легко показать, что f (p1) – монотонно убывающая функция (от n = 12 при p1 = 0 до 0 при p1 = + ∞ ). Поскольку r < n всегда, отсюда следует, что уравнение (1) всегда имеет положительное

26

решение, которое легко найти «динамическим табулированием» функции f (p1), т.е. изменяя шаг и диапазон изменения аргумента в окрестности корня. Приведем фрагмент этой таблицы (вообще говоря, эта таблица может быть построена с мелким шагом и использование ее сводится к вычислению r и сравнению с данными таблицы):

Посколькувнашемслучаеr =A/a =8.928,p1=0.045(т.е.4.5%),

а годовая норма прибыли кредитора равна отнюдь не 34.4 %, а

69.59 %!

Эффект этот объясняется тем, что промежуточные суммы, выплачиваемые заемщиком используются кредитодателем и приносят свой доход, не сводимый к арифметическому сложению выплачиваемых сумм.

Очевидно, что на таких условиях «легкость получения кредита» не искупается огромной долей прибыли, приносимой заемщиком кредитодателю. Предложенный метод и реализованная простейшая программа позволяют решать аналогичные задачи для любых условий займа и оценивать их приемлемость.

6) Приведем анализ простейших финансовых расчетов, основанных на теории вероятности и также грозящих разорением1 (более сложные вероятностные модели приведены в работах Г.И. Белявского, его сотрудников и учеников). Здесь эта задача рассматривается, во-первых, потому, что интересно ее экономическое содержание, во-вторых, потому, что в ней еще раз иллюстрируется возможность использования аппарата решения разностных уравнений (линейных, с постоянными коэффициентами).

Итак, пусть «игрок» обладает капиталом z и на каждом этапе игры (заход на биржу, в Интернет, другие действия) он может

1Модель приведена в монографии: Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М., 1984, Т. 1. С. 358.

27

нить продолжительность игры и составить таблицы изменения основных параметров.

1Разумеется, вместо доллара может быть выбрана любая другая единица одношагового выигрыша.

28

2. Э

Цельэконометрики– эмпирический вывод экономических законов. Экономе- трика дополняет теорию, используя реальные данные для проверки и уточ- нения постулируемых отношений.

Э. Маленво

Для того чтобы строить и анализировать модели экономических процессов, как правило, требуется иметь аналитические зависимости экономических показателей от основных управляемых (моделеобразующих) факторов, в то время как на практике мы чаще всего имеем лишь набор статистических данных – значения аргумента (xi ) и функции (yi ) в различных экспериментальных точках (i = 1, ..., n). В принципе, можно использовать и непосредственно эти эмпирические данные, но тогда исключено применение методов математического анализа, приходится ограничиться только вычислительными процедурами.

Построение аналитических зависимостей y(x) для экономических показателей является предметом эконометрии.

2.1. Метод наименьших квадратов

29