Детерминированная финансовая математика. Учебное пособие

Переход от точки А = (x1* , x2* ) к точке A =(x1* , x2* )может рассматриваться как двухэтапный процесс: сохраняя отношение из-

мененных цен и значение полезности C найти точку A =(x1* , x2* ) (и измененный доход K ), а затем – перейти от точки A к точке Â.

Первый переход называют «эффектом замещения», второй –

Уравнения (4.14) совершенно аналогичны (4.8) и решение их ведется в том же порядке и дает тот же результат (с заменой

P1 на P1 ), а в уравнениях (4.13) известно C и требуется найти K , поэтому порядок решения иной: по уравнению изокванты и

условию касания находятся xˆ ǡxˆ ʹ, а затем, по ним – измененный

(эквивалентный изменению цены) доход K .

В принципе возможна парадоксальная ситуация, когда с уменьшением цены (P1 < P1) cпрос на этот товар также умень-

шается (т.е. x1* < x1* ) (эта ситуация называется «парадоксом Гиффена», а такой товар – «товаром Гиффена»), но, как видим, при постоянной эластичности такая ситуация возникнуть не может, так как

Пример возникновения парадокса Гиффена приведен в [21].

71

Упражнение 4.2. P1 = 3, P2 = 2, U = x10.8x20.5 , K = 10. Найти объем

рационального выбора потребителя по каждому из товаров. Как изменится этот выбор, если цена первого товара уменьшится до P1 =2 и увеличится до P1 =4? Рассчитать отдельно эффект замещения и эффект дохода.

Для случая постоянной эластичности функции полезности по всем товарам также легко получить явные формулы для рационального выбора потребителя (т.е. решить в явном виде систему уравнений из условия предельной полезности и бюджетного ограничения):

а константа С, определяющая изокванту, касающуюся бюджетного ограничения, вычисляется по этим значениям xi* .

При n = 2 формулы (4.15) совпадают с (4.10) и парадокс Гиффена при этом невозможен.

Легко видеть также, что, хотя произвольная монотонно растущая функция U = f (V), f '(V ) > 0 не удовлетворяет условию постоянства коэффициентов эластичности функции полезности U по каждому аргументу xi, карта изоквант при этом остается той же, лишь изменяются значения констант на каждой изокванте.

4.3.Взаимодействие паутинной модели и модели рационального потребительского выбора

Совокупность паутинной модели и модели выбора потребителя позволяет провести анализ поведения потребителя при изменении условий. В качестве примера рассмотрим си-

72

туации, приведенные в [9] (с пояснениями и уточнениями расчетов).

Имеется два товара: i = 1 – чай, i = 2 – кофе;

а) при некотором выборе единиц веса и цены начальные данные таковы: P10 = 6, x10 = 3, P20 = 10, x20 = 2 и зависимость спроса от цены для этих двух товаров имеет один и тот же вид

эта точка, максимизирующая функцию полезности, определяет-

73

в) Для каждого из товаров (i = 1,2) начальная точка (Pi0, xi0) и

новая точка (Pi, xi* ) лежат на пересечении кривой спроса Xi =Di(Pi) кривой предложения Xi = Si(Pi). Считая зависимость Si(Pi) – линейной, по двум точкам однозначно восстанавливаем эту зависимость:

6 (X2 – a2) = P2 + 2 или P2 = 6x2 – 11.3 2 (x1 – a1) = P1, P1 = 2x1 + 5.

Пересечение этих кривых предложения с кривыми спроса (в упрощенном варианте) дает:

x2 = 4.5, P2 = 15.7; x1 = 3, P1 = 11.

Появление второго положительного корня в уравнении для X2 (X2 ≈ 0.4) является следствием упрощенного подхода к определению изменений кривой спроса и представляет еще один аргумент против этого.

Если уравнения спроса взять в более обоснованном виде:

(и никаких проблем с посторонними решениями).

74

г) Долгосрочное изменение цен приводит к изменению функций предложения (за счет инвестиций в более прибыльное, в силу повышения цен или оттока их при понижении цены). В упрощенном предположении, что функции предложения остаются линейными и лишь сдвигаются параллельно на величину предложения на каждую единицу цены (a1 = –25, a2 = + 2.22). Эти данные – внешние, получаются вне рассматриваемых моделей. Соответственно, уравнения новых функций предложения имеют вид:

6(x2 – a2) = P2 + 2 или P2 = 6x2 – 11.3 2(x1 – a1) = P1 P1 = 2x1 + 5

Пересечение этих кривых предложения с кривыми спроса (в упрощенном варианте) дает:

Появление второго положительного корня в уравнении для x2 (x2 ≈ 0.4) является следствием упрощенного подхода к определению изменений кривой спроса и представляет еще один аргумент против этого.

Если уравнения спроса взять в более обоснованном виде:

(и опять никаких проблем с посторонними решениями).

75

Любая гипотеза хороша лишь тог- да, когда получит подтверждение с помощью математики.

Леонардо да Винчи

В современных условиях широкой кооперации, когда конечная продукция, продаваемая потребителю, является результатом действия многих отдельных предприятий (или подразделений), возникают проблемы организации системы расчетов между этими предприятиями, которая адекватно учитывала бы вклад каждого участника и стимулировала бы их заинтересованность в производстве компонент, необходимых для производства конечной продукции. Эти проблемы осложняются необходимостью реагировать на нестабильные, растущие цены покупных изделий, рост (индексацию) собственных затрат и запаздывание (лаг) взаимных расчетов (особенно важен учет такого запаздывания при значительной инфляции).

Ниже рассматриваются модели взаиморасчетов, обеспечивающие более или менее «справедливое» распределение прибыли между участниками. Управляемыми факторами являются цены Pi , назначаемые i-м участником на свою продукцию, передаваемую для использования другому предприятию, и дополнительные вознаграждения i , получаемые этим участником после реализации конечной продукции. Идеология такого подхода близка к теории дележа в кооперативных играх.

5.1. Основные соотношения

Рассмотрим n предприятий, связанных между собой (для простоты анализа) линейной технологией производства конечной продукции. Пусть собственные затраты i-го участника на одно изделие равны Ci, а стоимость покупаемых на стороне компонент Ci0 , причем объем производства считаем фиксированным, и

76

потому зависимость этих величин от него не учитывается – при необходимости достаточно провести расчет при различных объемах производства и, соответственно, различных значениях Ci0 , Ci. Схема взаимодействия участников приведена на рис. 5.1.

Как отмечено в главе 1, НДС (или налог с оборота) можно при этом не учитывать.

Естественное требование собственной безубыточности (чтобы не приходилось пользоваться банковским кредитом с высокой учетной ставкой – почему эти цены естественно назвать «хозрасчетными», при всей неприязненности к этому «социали-

а цена готовой продукции ограничена сверху либо директивно (антимонопольным законодательством), либо рынком (ценой,

прибыли -м участником при передаче продукции следующему предприятию, либо получение основной прибыли будет осу-

77

ществляться путем перераспределения дохода «дилера» (n-го предприятия), т.е. цены формируются по себестоимости или пре-

вышают ее. Скорректированная прибыль каждого участника Sˆ i равна его собственной прибыли πi плюс «дележ» i, получаемый после реализации конечного продукта:

n

причем ∑ i = 0, так как «добавки» участникам возникают за

i=1

счет изъятия части прибыли у n-го предприятия (в соответствии с оговоренными заранее правилами, почему эти цены и дележ естественно назвать договорными):

Но с ростом прибыли одного из участников договора уменьшаются прибыли остальных участников, т.е. индивидуальные

78

интересы i-го предприятия противоречат интересам остальных подразделений объединения, поэтому необходимо принятие согласованных, кооперативных решений. Назначение по договору равных прибылей вряд ли обеспечит в достаточной мере соблюдение интересов каждого предприятия участника, так как равные прибыли отвечают разным затратам, разной их рентабельности.

Графически можно представить область R возможных изменений внутренних цен Pi и соответствующие изменения прибылей πi для частного случая модели, описывающей объединение, включающее в себя три предприятия (цеха, завода) (рис. 5.2). Их, например, можно интерпретировать как производство комплектующих изделий и узлов (i =1), сборку и отладку готовой продукции (i =2), упаковку, рекламу и сбыт товара (i =3). Выбор внутренних цен P1, P2 определяется треугольником с вершинами:

A(1): P1 = C1, P2 = C1 + C2; (π1 = π2 = 0, π3 = P3 – A)

A(2): P1 = C1, P2 = P3 – C3; (π1 = π3 = 0, π2 = P3 – A) (5.8)

A(3): P1 = P3 – A + C1, P2 = P3 – C3; (π2 = π3 = 0, π1 = P3 – A)

Pʹ

AȋʹȌ S͵ α

Aȋ͵Ȍ

Sʹ α

Aʹ Aȋ Ȍ

Sl α

P

ʠ αA

Рис. 5.2

Очевидно, что прямая, соединяющая точки A(1) и A(3) (π2 =0), проходит через точку с координатами (0, C2) и составляет с осью P1 угол в 45o.

При n > 3 геометрический анализ области R изменения внутренних цен затруднителен, однако алгебраический анализ этих

79

условий позволяет выяснить структуру множества допустимых