Детерминированная финансовая математика. Учебное пособие

общие процедуры построения всех решений системы линейных неравенств, но они громоздки и требуют растущей и не прогнозируемо большой памяти для промежуточных вершин многогранника.

В данной задаче удобно использовать искусственный прием, ослабив условие нормировки (заменив его неравенством) и выбирая ту же сумму весов в качестве целевой функции, т.е. решать задачу линейного программирования:

мое решение (т.е. множество допустимых решений не пусто и ограничено), но нулевое решение – неприемлемо, а решение при λ ≥ 0, λ ≠ 0 может и не существовать, так как условия λD > 0 могут быть противоречивыми.

В этом случае мы получаем отрицательный ответ на первый поставленный вопрос: базовое ранжирование несовместимо со скалярным упорядочением базовых вариантов, т.е. не существует линейной функции полезности, согласованной с (8.10).

j

Когда задача разрешима «в узком смысле» (λ > 0), то нор-

мировка всегда возможна и, следовательно, максимум целевой

n

функции достигается на равенстве: ∑λ*j =1.

j=1

Поиск всех оптимальных решений реализуется простой модификацией симплексной процедуры.

Недостатком предложенного подхода является, прежде всего, возможность появления нестрогого предпочтения в ранжировании. Кроме того, неудобно, если значения функции полезности

111

для «смежных» вариантов отличаются слишком незначительно, т.е. функция полезности «слабо различает» варианты.

Для исправления этого недостатка можно наложить на функцию ценности дополнительное требование – порог α1 изменения функции полезности при переходе от варианта к варианту в базовом ранжировании.

Это требование может быть записано в виде:

Δϕik ≡ϕik −ϕik+1 ≥α1ϕik

или опять в виде линейных неравенств для λ:

(λ(f ik (1−α1)− f ik+1 )≡λBk ≥0, k = 0, 1, ..., r – 1.

Формируя из векторов Bk матрицу B, и учитывая условия нормировки весов, получаем аналогично предыдущему задачу линейного программирования:

n

∑λj →max,

j=1

множество всех оптимальных решений gk которой k = 1, ..., M позволяет описать все множество весов, порождающих функцию полезности, согласованную с базовым ранжированием и дополнительными условиями:

Очевидно, что Λ0 Λ0 и проблема строгого предпочтения базового ранжирования решается автоматически (из λB ≥ 0 вытекает λD > 0).

Рассмотрим простейший пример с двумя критериями, значения которых для семи альтернатив приведены в таблице 8.2.

Таблица 8.2

112

ности отвечает следующее упорядочение всех альтернатив множества Парето:

1 ; 5 ; 3 ; 4 ; 2

Проверим, при каких λ1, эти условия предпочтения сохраняются:

1 ; 5 ϕ1 > ϕ5, 3λ1 > λ2, λ1 > 14 (т.е. для всех λ Λ0),

5; 3 ϕ5 > ϕ3, λ1 > 2λ2, λ1 > 32

5; 4 ϕ5 > ϕ4, 5λ1 > 7λ2, λ1 > 127

5; 2 ϕ5 > ϕ2, 7λ1 > 9λ2, λ1 > 169

3 ; 4 ϕ3 > ϕ4, λ1 > λ2, (т.е. для всех λ1 Λ01),

Таким образом, множество Λ0 оказалось разбитом на четыре части, каждой из которых отвечают различные упорядочения

113

альтернатив из множества Парето (см. табл. 8.3). Границы исключены, так как на них строгое предпочтения переходит в безразличие.

Таблица 8.3

Если на базовое ранжирование 4 ; 2 наложено условие чувствительности с порогом α1 = 0.05, то ϕ4 ≥ (1.05)ϕ2, т.е. λ ≥ 2λ2,

λ1 ≥ 2/3, следовательно, Λ0 совпадает с замыканием Λ10 и во всех точках этого множества сохраняется одно и то же предпочте- ние всех альтернатив множества Парето (а значит, и всех альтернатив).

Отметим, что общее число всех возможных предпочтений, т.е. упорядочений пяти точек множества Парето равно 5! = 120; задание одного предпочтения сокращает это число до 60, учет значений критериев, как видим, сократил число вариантов до четырех, а при условии чувствительности с порогом 5 % – до одного!

Рассмотренная процедура позволяет решать и другие задачи, связанные с предпочтением в условиях многокритериальности, например, проверять совместимость мнений двух экспертов, ЛПР. Если в рассмотренном примере второй эксперт считает, что 5 ; 1, то эти эксперты – несовместимы (так как из 4 ; 2 вытекает 1 ; 5), а мнение 2 ; 5 (т.е. 4 ; 2 ; 5) выделяет в Λ0 одну область Λ04 и единственное упорядочение (1 ; 3 ; 4 ; 2 ; 5).

Упражнение 8.3. Проанализировать задачу, описываемую таблице 8.4 при базовом ранжировании 1 ; 3. Изменится ли вывод (упорядочение вариантов) при α1 = 0.1?

114

Таблица 8.4

Изменятся ли результаты при масштабировании критериев? Упражнение 8.4. Провести вычислительные эксперименты

снабором альтернатив и их показателей, самостоятельно сформированных (то есть когда учащийся выступает в роли ЛПР) и проанализировать результаты.

Вобщем случае отыскание множеств весов, согласованных

сбазовым ранжированием и дополнительными условиями чувствительности, а также их разбиение на части, выбор весов в которых не меняет упорядочения всех альтернатив, осуществляется, как было отмечено, с помощью модифицированной процедуры симплекс-метода.

115

9. Д

Ничто не бывает настолько про- сто, что его невозможно неверно ис- толковать.

М. Фридмен

В последнее время средства массовой информации активно обсуждают и рекламируют деятельность различных инвестиционных фондов и акционерных обществ. Одни из этих организаций привлекают клиентов обещаниями больших дивидендных выплат (в 1994 г. – до 1 000% годовых), другие объясняют, что главная ценность держателей акций не дивиденды, которые могут быть очень небольшими, а растущая стоимость акций. В этих рекламных выступлениях выявляются две крайние стратегии распоряжения вкладами:

–максимизация выплат по дивидендам;

–максимизация стоимости акций (или суммарного капитала

фирмы).

Следовательно, возникает типичная двухкритериальная задача оптимизации,которуюимеетсмыслисследовать,темболеечтопри этом удается проиллюстрировать и основные методологические подходы к построению и анализу подобных экономических процессов, и показать опасность поверхностных решений (например, максимум дивидендов далеко не всегда отвечает минимуму стоимости акций, выплате всей прибыли), и подчеркнуть, что окончательное решение многокритериальной задачи связано с субъективным выбором ЛПР – лица, принимающего решение (но объективная информация для такого выбора выдается анализом модели).

Будем рассматривать детерминированную задачу выбора доли дивидендных платежей di на перспективу n «лет», i = 1, ..., n (разумеется, в качестве единицы планируемого периода можно брать месяц, квартал, полугодие). Исходной информацией является список долей прибыли на каждый период pi и долей инфля-

ции gi, i = 1, ..., n.

Если начальный основной капитал фирмы равен К0, а число выпущенных акций М, то номинальная начальная стоимость ак-

116

ции равна К0 / М, но ни эта величина, ни ее изменения в плановом периоде нас не интересует, так как достаточно рассматривать суммарный (приведенный к начальному моменту) капитал K и сумму дивидендных платежей D (разумеется, также приведенную к начальному моменту), а стоимость одной акции и сумма дивидендов на нее получается делением этих величин на число акций М (в данной модели выпуск дополнительных акций не рассматривается).

Изменение основного капитала за i-й «год» с учетом выплаты дивидендов и приведения к предыдущему периоду равно:

117

были, не должны затрагивать основной капитал). При этом qi = si отвечает di = pi, qi = hi отвечает di = 0.

Отображение (9.1)–(9.3) переводит n-мерный полиэдр Rqn в двумерное множество F(2):

F = (F1(q), F2(q)): Rqn → F(2) ПF

где ПF – граница Парето, т.е. множество образов эффективных (не доминируемых) точек, движение по которому приводит к возрастанию одного из критериев за счет уменьшения другого. Описание и построение этого множества является основной целью данной модели, а выбор точки на этом множестве определяется ЛПР и зависит от дополнительных требований и взаимной значимости для него критериев (целевых функций) F1, F2.

Прежде, чем рассматривать общую задачу (9.1)–(9.3), рассмотрим ее частный «стационарный» одномерный случай:

pi = p, gi = g, qi = q (di = d),

(т.е. доли прибыли, инфляции и дивидендов – одинаковы для

118

f2′(q) = (h – 1)(1 + 2q + ... + (n – 1)qn–2) – nqn–1 = 0

При h < 1 f2′(q) < 0 q > 0, то есть f2(q), а следовательно, y(x) монотонно убывает, ПF = F0, все точки F0 являются образами эффективных точек, точек Парето.

При h > 1 (т.е. прибыль растет быстрее инфляции, p > q)

ϕ’(q) < 0 q > 0, ϕ(–0) = +∞, ϕ(+ ∞) = 0.

Вычисление q* легко осуществляется итерационной процедурой:

Ужевэтомпростейшемчастномслучаевидно,чтомаксимальное значение приведенной суммы дивидендов отвечает отнюдь не q = 0.1 (т.е. d = p = 10), а q* ≈ 0.507 (т.е. d = (h – q)(1 + g) = 5.93

или почти 600 %) и превышает

119

на 5%

(f2max = f2(q*) = 1.162545), f1 = f1(q*) = 0.03355).

Еще раз подчеркнем, что окончательный выбор точки на ПF определяется значением f1 и f2 (K и D) для ЛПР или, например,

условием f2 ≥ f2 (тогда f1 opt f2 = f2).

Упражнение9.1.Проведитерасчетыдлядругихзначенийp иg. Аналогично может быть исследован нестационарный одномерный случай (различные pi, gi, но одинаковые di = d или qi = q).

Обратимся к исследованию общего случая. Преобразуем задачу к линейному виду, полагая

k =0

Ограничения (9.2) при этом сохраняют линейный вид:

si Xi–1 ≤ Xi ≤ hi Xi–1, i = 1, ..., n, (9.8)

и определяемое ими многогранное множество RXn уже не являет-

ся гиперпараллепипедом (как Rqn ), но погружено в

RXn = { X = (X1, ..., Xn) Si ≤ Xi ≤ Hi },

RXn :

F:RXn → F(2) ПF,

ипотому также является многогранником, а ПF – «северовосточной» частью его границы. Для его построения имеются два пути.

Первый из них основан на приведенной выше теореме (условия теоремы при линейности ограничений и критериев авто-

120