Детерминированная финансовая математика. Учебное пособие

Если вычисления ϕM(k ) трудоемко, то вычислительные затра-

ты сравнимы с полным перебором (или даже могут превзойти его), а грубая оценка «не срабатывает», не отсекает ни одной ветви и метод опять приводит к полному перебору.

Еслипредпочтениеопределяетсяминимумомf (x)(b* >b f (b*) < f (b)), то вместо верхней границы нужно вводить нижнюю границу (ϕ(x) ≤ f (x)) и отсекать ветви при f (x0)< ϕM(k ) .

Применим этот метод к задаче выбора портфеля заказов: имеется список заказов (i = 1, ..., N), каждый из которых требу-

ет ресурса ai (вложения средств) и дает прибыль ci.

Пусть xi = 0, если заказ отвергается, и xi = 1, если он берется. Тогда задача принимает вид:

ресурсам, «не помещается в ранец», что позволяет дополнительно отсекать ветви (кроме условия (11.3)).

Ветвление в этой задаче организуется естественным образом: все множество вариантов M разбивается на два подмножества:

M = M1 M1 ,

где M1 – множество вариантов, отвечающих x1 = 1 (т.е. выбору первого заказа), а M1 = M0 – множество вариантов, в которых первый заказ не участвует (x1 = 0). Дальнейшее ветвление ведет-

ся аналогично, по x2: M1 = M11 M10, M0 = M01 M00 и т.д.

В качестве мажорирующей функции ϕ(x) выберем решение той же задачи (11.4), но без ограничения xi = 0 1 (т.е. допускается выбор кратных и нецелых частей заказов или предметов).

131

Как легко проверить. решение этой вспомогательной задачи записывается в явном виде, если номера заказов упорядочены по удельным полезностям

ki = ci / ai, т.е. c1 / a1 ≥ c2 / a2 ≥ ... ≥ cN / aN.

Тогда нужно выбирать максимальное количество первого заказа (товара):

x1* = A | a1 , ϕmax = A c1 ≥ fmax . a1

Указанное предварительное упорядочение заказов дает эвристическое правило порядка ветвления и для построения оценки каждого следующего множества достаточно смещаться по списку заказов на следующую позицию (но добавлять к этой оценке уже имеющуюся часть f(x), отвечающую уже выбранным заказам) и заменять A на оставшийся объем ресурса.

Проиллюстрируем метод примером, данные для которого (уже упорядоченныепоубываниюki)приведенывтаблице11.2(A =13).

Решение задачи приведено на рис. 11.2, где нумерация множеств (т.е. значение координат «начала» двоичного числа x) приведено в кружке, отсечение по недопустимости – знаком ×, а отсечение по условию (11.3) – / (только после получения первого

Рис. 11.2

132

варианта х0) или // (при ветвлении множества после первого отсечения) – эти «вторичные» ветвления вынесены отдельно в правую часть рисунка. Хотя оптимум (x0) найден сразу, убеждаемся в этом лишь после дополнительного ветвления M0.

Упражнение 11.4. Решить задачу при других значениях a, c, A. Найти все оптимальные решения (проводя ветвление и отсечение и при ϕ = f (x0)).

Аналогично может быть решена и обобщенная задача о ранце [18], когда имеются ограничения по нескольким видам ресурсов:

Ветвление осуществляется при этом точно так же, но границы (ϕ) вычисляются решением непрерывных задач (линейного программирования) или иным методом (например, решением нескольких задач с одним ограничением).

Упражнение11.5. Проверьте ваши решения при помощи программы RNC, реализующей метод ветвей и границ для задачи о ранце. Изменяя значения параметров, проанализируйте влияние объема ресурсов (A, Qj) и списка заказов на значение fmax и выбор объектов (заказов).

Важной и интересной модификацией той же задачи является отбор перспективных проектных разработок (технического, экономического или финансового характера).

Каждаяпроектнаяразработканараннейстадиипроектирования может быть охарактеризована достигнутым уровнем основной характеристики проектируемого объекта W0 (обобщение на вектор характеристик не слишком сложно), необходимых затрат (илидругоговидаресурсов)назаданныйсрокразработкиT –c(T), прогнозного значения основной характеристики на конец разработки W(T) и вероятностных характеристик разброса этой величины.

Действительное значение этой характеристики проектируемого объекта является случайной величиной

Z(T) = W(T) + ξ,

где ξ – случайная величина, изменяющаяся в пределах (– 1, 2) с плотностью распределения p(u).

133

менение вероятности) и к тому же должно выполняться условие

134

обеспечить эти проекты необходимыми ресурсами и максимизировать вероятность достижения (превышения) заданного уровня и хоть в одном из проектов:

k

∑ci (T )xi ≤c ,

i=1

π(a,T )=1−∏(fi (a, T ))xi ,

i

эта задача приводится к уже рассмотренной булевой задаче о ранце:

Несложен и перенос предложенной модели на многоресурсные и многокритериальные задачи.

Упражнение 11.6. Решите эту задачу при других значениях параметров.

Проанализируйте влияние вида и размаха распределений, тренда W(T) и общего ресурса. При массовых расчетах (исследовании) воспользуйтесь программой RNC, содержащей и эту модификацию.

135

12. Э

Можно говорить о рыночной эко- номике, но нельзя говорить о рыноч- ном обществе… Развитие глобального общества отстает от роста глобаль- ной экономики.

Дж. Сорос

Вданном пособии основное внимание уделяется экономическим проблемам на уровне отдельного предприятия или его частей – микроэкономике. Однако некоторые проблемы экономики страны в целом, макроэкономики затрагивались – при анализе влияния внешних факторов на стратегию фирмы и при оценке параметров производственной функции Кобба–Дугласа.

Вданной главе мы рассмотрим некоторые простейшие модели экономического развития, которые представляют интерес не только для познания основных экономических закономерностей, но и как примеры применения методов построения математических моделей и их анализа.

12.1. МодельСолоу – односекторная модель экономики (неоклассическая модель экономического роста)

Будем характеризовать экономику в целом для каждого момента времени t следующими величинами (в стоимостном или индексном выражении, чтобы их можно было сравнивать между собой):

–объемом производства Y;

–капиталом (производственными фондами) K;

–потребление (непроизводственным) C;

–инвестициями I;

–трудовыми ресурсами L.

Эти функции связаны между собой следующими соотношениями:

Y = I + C;

136

нее влево она возвращается вправо, при отклонении вправо она возвращается влево.

То есть мы получили, что развитие рассматриваемой односекторной экономики имеет единственную устойчивую стационарную точку k*, к которой она стремится при любых начальных данных (хотя переходный процесс может длиться достаточно долго).

Естественно, что именно состояние экономики при таком отношении капитала к труду нас интересует. Для этого состоя-

137

ния необходимо найти такую оптимальную долю s (которой мы можем распоряжаться, в отличие от других параметров А, μ, η, α, не подвластных нам), которая дает максимум удельного потребления

c(s) = C/L = (1 – s) ϕ(k* (s)) = B(1 – s) s α γ – max, B = A (A / (μ + η))α γ..

Дифференцируя c(s) по s, получаем:

– sα γ + (1 – s) αγ sα γ – 1 = 0, s* = αγ / (1 + αγ) = α.

То есть оптимальная доля инвестиций в рассматриваемой модели совпадает с эластичностью производственной функции по капиталу («золотое правило экономического роста»).

Упражнение 12.1. Решите уравнение (12.1) – это уравнение типа Бернулли и метод его решения известен. Подсчитайте время перехода в точку устойчивого равновесия, задавшись различ-

но положительны. Соответственно вместо уравнения (12.1) воз-

нарная точка лежит между предельными точками пересечения

138

крайних положений этой прямой – между точкой равновесия модели Солоу k* и «правой» предельной точкой k**:

sϕ (k**) = k** ( μ + η – η ) = k **μ.

Оказывается, она совпадает с последней (доказательство мы здесь не приводим), но самое интересное, что оптимальная доля инвестиций в этой уточненной модели определяется тем же «золотым правилом»!

Это легко понять, потому что зависимость k**(s) отличается от k*(s) лишь множителем, не зависящим от s, т.е. имеет место «устойчивость модели»: сравнительно небольшое изменение модели не меняет ни структуру решения, ни основного результата.

Упражнение 12.2. Задавшись значениями параметров (используя аппроксимацию функции Кобба–Дугласа), рассчитать параметры устойчивого положения экономики.

Упражнение 12.3. Составить программу расчетов, провести вычислительные эксперименты.

12.2.Двухсекторная модель экономики

иоптимальное управление

Рассмотрим теперь модель экономики, выделив в ней два подразделения:

А. Производство средств производства. Б. Производство предметов потребления.

В момент времени t эти подразделения производят продукцию стоимостью x(t) и y(t) соответственно. Продукция подразделения Б полностью реализуется («съедается»), а продукция подразделения А после реализации (внутри или вне страны) может быть использована для поддержания производства в обоих подразделениях и для их развития. В начальный момент объемы производства заданы, известны (x(0) = x0, y(0) = y0) и, как это, к сожалению, имеет место в действительности, не обеспечивает желательного уровня потребления Y. Если для поддержания производства в подразделениях требуются (для обновления парка оборудования, покупки сырья, оплаты работы производителей и

139

т. п.) ресурсы а1х и а2у (0 < а1, а2 < 1), то остающийся ресурс для обеспечения развития обоих подразделений равен

Z = x – (а1х + а2у).

Если этот ресурс – положителен, то его можно распределить между подразделениями, и привлечение этих инвестиций приведет к ускорению развития подразделений (лагом между моментами инвестиций и результатом, ускорением развития, в этой

x(0) = x0, y(0) = y0, y(t1) = Y, t1 – min.

Уравнения балансов являются основным инструментом анализа экономических систем (в предыдущем пункте уравнение для роста капитала также являлось балансовым уравнением, в котором был осуществлен предельный переход t → 0). Здесь можно заметить некоторую странность: имеется одно дифференциальное уравнение с двумя неизвестными функциями, на основании которого необходимо найти быстрейший переход из начальной точки в конечную, да еще не вполне определенную (известна только одна из двух ее координат)?!

Однако эти странности и противоречия легко преодолеть. В самом деле, чем мы на самом деле распоряжаемся, управляем?

140