Детерминированная финансовая математика. Учебное пособие

4. С

Единственный двигатель эконо- мики – это спрос.

Академик Л. Абалкин

Впредыдущих главах уже обсуждались вопросы, связанные с формированием спроса как функции от цены D = D(P), ее аналитический вид, ее идентификации по эмпирическим данным, а также взаимодействие спроса и предложения. Эти вопросы рассматривались либо с позиций эконометрики, либо исходя из интересов отдельной фирмы, с учетом ее ресурсов, затрат и прибыли.

Вданной главе эти вопросы исследуются с позиций потребителя.

4.1. Паутинная модель равенства спроса и предложения

Пустьизвестна(полученапоэмпирическимданнымилииным путем1) зависимость спроса от цены D(P). Предложение (объем выпуска продукции) также зависит от цены на предлагаемый товар и, вообще говоря, растет с ростом цены (хотя, строго говоря, зависит от величины прибыли, определяется не только ценой, но и затратами и, как показано в разделе 3, может и убывать с ростом цены). Если эта зависимость определяется функцией

математическую задачу и организовать итерационный процесс

дающий последовательные приближения P0, P1,...,Pk-1, Pk....

Если этот процесс сходится то

либо P0 < P2 < ... < P* < ... < P3 < P1, (4.3) либо P0 > P2 > ... > P* > ... > P3 > P1

1 Один из таких путей рассматривается в следующем пункте.

61

Y S P

но мы не останавливаемся на этом, так как во-первых, это подробно обсуждается в курсах приближенных вычислений, например [5] , а во-вторых, мы ниже обсудим, что делать, если процесс расходится.

Заметим, что для фактической реализации этого вычислительного процесса функция D(P) должна быть такой, чтобы уравнение D(P) = S было легко разрешимым (лучше всего – анали-

тически) относительно Р. При D = A/PE это так: P =(AS)1E , т.е.

1

Pk = A S (Pk−1) E .

На рис. 4.1 видно, что этот процесс дает спираль, паутину, наматывающуюся вокруг точки пересечения кривых спроса и предложения и приближающуюся к ней все ближе и ближе. Поэтому такой процесс отыскания равновесной цены получил название

«паутинной модели» – Cob-web model1.

1Во многих руководствах по экономике рассматривается упрощенная модель, когда D(P) и S(P) – линейны.

62

модействия спроса и предложения. Пусть на некоторый товар сложилась цена P0. Тогда, в соответствии с зависимостью S(P) предприниматель (или несколько их) организуют производство

вобъеме S(P0). Но если при этом D(P0) > S(P0), то возникает дефицит и потому данный объем предложения может быть реализо-

ван по более высокой цене P1, для которой S(P0) = D(P1). По цене P1, на следующем отрезке времени организуется производство

вобъеме S(P1), однако при этом возникает перепроизводство, цена падает до величины P2, являющейся корнем уравнения

S(P1) = D(P2) и т.д.

Суть такого процесса в том, что производство реагирует на «вчерашнюю» цену, а спрос – на «сегодняшнюю» («день» равен отрезку времени, необходимому для организации производства). Подобных примеров колебания производства от дефицита к перепроизводству и обратно можно наблюдать множество в окружающей нас действительности (швейные машины, утюги, телевизоры и др.). В гибкой, динамической экономике без бурной инфляции этот процесс стабилизации цен идет быстро и довольно гладко. При отсутствии гибких рыночных механизмов и при бурной ин-

63

фляции он приводит к длительным метаниям от перепроизводства к дефициту, осложняемым ажиотажным эффектом.

Однако при иных значениях параметров процесс (4.2) может расходиться.Например,еслиЕ=1,α=2(авсеостальныеданныете

шения уравнения (4.1) нужно направить в обратную сторону, т.е.

P * P0 = 1.2958, P* = 12.96.

При этом необходима аналитическая разрешимость уравнения S(P) = D, в данном случае это имеет место:

64

Упражнение4.1.Повычислениямтаблиц4.1–4.2построитьгра- фики D(Р), S(P) и «паутинный» процесс. Экономическая интерпретация процесса (4.4) означает, что предложение должно исходить изпрогностическихсоображений,предпринимательдолженориентироватьсянена«вчерашнюю»,а«завтрашнюю»цену.Этонеочень легко реализовать, так как информация о цене на предыдущем этапе реальна, доступна фирме, а прогноз нужно получить и степень доверия к нему невелика. Тем не менее этого можно достичь при наличии аналитических центров – повышением надежности прогноза и, может быть, государственным стимулированием в виде дотаций, ссуд, страховок риска. И это необходимо делать, так как при E/α < 1 (т.е. когда эластичность спроса по цене меньше эластичности предложения) традиционный процесс (4.2) – расходится.

Нетрудно самостоятельно рассмотреть вопросы, как изменяется равновесная цена при сдвиге кривых Y = D(P), Y = S(P) вверх или вниз (т.е. при увеличении или уменьшении спроса или предложения при тех же ценах).

Отметим, что к «паутинной» модели сводится и ряд других задач: формирование зарплаты ([6], гл. 28), рынок конечных продуктов ([7], гл. 2) и т.п.

4.2.Функция полезности.

Рациональный потребительский спрос

итеорема о предельной полезности

Впредыдущем пункте считалось, что функция спроса D(Р) – задана. Здесь мы рассмотрим процесс формирования этой функции, исходя из интересов потребителя и учитывая, что ему требуется не один вид товара, а многие (i = 1, 2, ..., n), которые он

может приобрести в количествах (x1, x2, ..., xn), обусловленных имеющимися у него средствами К (доходом, бюджетом). Если це-

ны этих товаров (P1, ..., Pn), то все возможные варианты покупок потребителя описываются условием:

65

называемым «бюджетным ограничением». В двумерном случае (n = 2) это множество вариантов R(P) изображенного на рис 4.2 в виде заштрихованного треугольника. В общем, n-мерном случае онопредставляетсобой«гипер-тетраэдр»,симплекс–многогран- ник с (n + 1)-й вершиной, получаемый отсечением от n-мерного положительного ортанта Rn+ гиперплоскостью (4.5) области, примыкаемой к началу координат.

xn

Вершины этого множества (кроме начала координат) представляют собой возможные «однопродуктовые» покупки в коли-

бителя, обладают разной полезностью (вообще говоря, никак не

66

связаннойсценамиPi).Например,2утюгаи10бифштексовменее полезны, чем 1 утюг и 20 бифштексов, хотя суммарная стоимость этих вариантов может быть одинаковой. Предположим, что эту полезность для потребителя можно оценить количественно (в баллах,единицахудовлетворения,наЗападеговорят«вутилях»– от utility – полезность), т.е. имеется функция полезности

u(X) = u(x0, x1, ..., xn): R(P) → R1.

Тогда, очевидно, выбор потребителя («рациональный выбор») определяется стремлением максимизировать функцию по-

Хотя практически вряд ли возможно построение таких функций полезности (к тому же различных для каждого потребителя), анализ задачи потребительского выбора представляет несомненный теоретический интерес, так как позволяет установить некоторые законы поведения потребителя. Отметим основные свойства функции полезности.

10. Она должна быть определена и неотрицательна для всех неотрицательных наборов товаров, т.е. при X≥0 u(X)≥0.

20. Она должна быть монотонно неубывающей по каждому

аргументу, т.е. ∂u =ui ≥0, i = 0, 1, ..., n (в экономике используется

∂xi

обозначение ∂u = Mui и терминология – «предельная» или «мар-

∂xi

жинальная» полезность по i-му виду товара).

НаборыX1 иX2,которымотвечаетодноитожезначениефункции полезности: u(X1) = u(X2) = C, – равноценны для потребителя, ему безразлично, какой из них выбрать. Поэтому линии (поверхности при n > 2) уровня функции полезности u(X) = C называются кривыми (поверхностями) безразличия, или изоквантами. Если менять константу С (с некоторым шагом C), то получим семейство кривых безразличия, или «карту изоквант» (рис. 4.2). Очевидно, что эти кривые не могут пересекаться, так как в точке пересечения одному и тому же набору X отвечало бы два различных значения полезности. На рис. 4.2. видно, что решение задачи (4.6), т.е. выбор потребителя, достигается в точке, где линия

67

бюджетного ограничения касается кривой безразличия, т.е. векторы нормалей к изокванте и к прямой (при n = 2) (4.5) – пропорциональны:

n(u) ≡ u = λ P

и вспомним, что необходимым условием максимизации u(X) при условии (4.5′) является равенство нулю всех частных производных функции Лагранжа:

Соотношения (4.7′) или эквивалентные им (4.7′′) составляют содержание теоремы о предельной полезности: при потреби-

тельском выборе отношение предельной полезности всех товаров к их цене есть величина постоянная, равная множителю Лагранжа (или коэффициенту пропорциональности градиентов изокванты и бюджетного ограничения, или «предельной полезности денег»).

Заметим, что если функция полезности зависит только от товаров, а не от денег, то ∂u ∂x0 =0, ∂L ∂x0 = −λx0 , в силу условий Куна–Таккера x0 = 0 и форма условий (4.7”) – неприменима.

68

С учетом полученного «условия касания» задача (4.6) сводится к решению системы уравнений:

тонно возрастающей функцией от χ: u = f(χ), f′(χ)>0, χ = x1E x2 и можно считать, что u = χ = C. При этом задача (4.8) (n = 2) легко решается аналитически:

1

P x = P1 x1 + P2 x2 = x1 P1 (1 + E ) = K,

69

Рис. 4.3

Ценам P1, P2 при фиксированном доходе (бюджете) K отвечает точка x1* , x2* , уменьшение цены P1 на величину P1 при сохранении цены P2 приводит к изменению бюджетного ограничения:

70