Детерминированная финансовая математика. Учебное пособие

нений (2.3), которое легко осуществить, например, стандартной

Впервыхдвухстолбцахтаблицы2.1.приведеныданные(xi ,yi ),

вдвух остальных – xi2 и yi xi , и по суммам этих столбцов имеем уравнения для а0 и а1.

31

8a0 +148. a1 =282. 148. a0 +3242. a1 =458.

a0 = 5.863194, a1 = –1.263888.

В последнем столбце приведены yiT, вычисленные по a0, a1. Легко заметить, что система уравнений (2.3) («нормальные уравнения МНК») имеет тот же вид, если имеется не один, а мно-

го аргументов (т.е. xi – вектор x1i, x2i , ..., x2i ) – и ϕki имеет тот же смысл: значение «базовой» функции ϕk в i-й точке.

2.2.Типовые зависимости и приведение их к линейному виду относительно параметров

Пpи выводе уравнений (2.3) существенным было предположение о линейной зависимости от паpаметpов. Зачастую, однако, вид этой функции (выбираемой из каких-то пpедваpительных сообpажений – по известному поведению зависимости в целом или по ее значению в хаpактеpных точках, в пpеделе) этому усло-

Конкретные ситуации, когда возникает необходимость использования именно таких функций, будут pассмотpены ниже. Прямое применение МНК приводит к системе нелинейных уравнений, решение которых не всегда легко реализовать.

Для преодоления этого препятствия имеются некоторые пpиемы.

Во-пеpвых, можно попытаться сделать преобразование, приводящее зависимость к линейному виду. Для пеpвых двух примеров (из четыpех пpиведенных выше) это легко получается:

подробно разобранному выше случаю);

32

Для следующих двух пpимеpов такое преобразование невозможно, но есть второй путь: если зафиксировать один из параметров и перебирать его значения с некоторым шагом.

Так, фиксируя в третьем примере параметр α, получаем линейную зависимость от A, B, C (ϕ0 = 1, ϕ1 = 1/x, ϕ2 = x α), а фиксируя в четвертом примере b, получаем:

Диапазон изменения таких фиксируемых параметров или их приближенные значения обычно известны (для третьего примера 0 < α < 1 и ориентировочное значение α может быть получено из анализа второго примера; для четвертой зависимости, описывающей S-образную кривую, рост с насыщением, b является верхней границей y, его пределом при x → + ∞ и может быть приблизительнооцененовконкретныхзадачах).Поэтому,перебирая с заданной точностью значения этого параметра и для каждого варианта оценивая остальные параметры, можно выбрать такое его значение, которое отвечает минимуму суммы квадратов отклонений (эмпирических значений функций от теоретических).

Если и этот прием нереализуем, остается использовать общие процедуры минимизации функции S(a) или специальные методы, использующие известные свойства этой функции. Эти процедуры трудоемки, и пользоваться ими следует лишь тогда, когда другие подходы не приводят к желаемым результатам.

Если заранее неизвестен вид аппроксимирующей функции то необходимовыбратьсписок«кандидатов»f r (x,a),длякаждогоиз них оценить методом наименьших квадратов значение вектора параметров a(r), подсчитать по нему наименьшую сумму квадра-

тов отклонений S* и выбрать из них наименьшую minS* = S* .

r r r r*

Номер r* указывает функцию-рекордистку, дающую наилучшую

33

(по МНК) аппроксимацию эмпирической зависимости (с найденной ранее оценкой параметров a(r *)).

Общая схема такого исследования приведена на рис. 2.2.

2.3. Программа DAEZ и ее применение

Описанная схема реализована в виде программной системы DAEZ (диалоговой аппроксимации эмпирических зависимостей) для персональных компьютеров, содержащей основные расчетные процедуры (преобразование данных, формирование матриц Ф, B, b, p, решение систем линейных уравнений, специальные и общие методы минимизации функций), сервисные процедуры (хранение, корректировка и выдача данных и результатов, визуализация данных и результатов – выдача графиков) и управляющую систему (монитор), отвечающую за весь процесс.

Диалоговый характер системы состоит в предоставлении пользователю возможностей широкого выбора вариантов и модификаций:

–ввода данных с клавиатуры или имеющихся файлов данных;

–корректировки данных, в том числе формирования подмножеств их (на каждом из которых наилучшей является своя аппроксимирующая функция);

–рекомендаций по выбору вида аппроксимирующей функции (из приведенного в меню списка), фиксации части оцениваемых параметров;

–выбора настроечных параметров (точности, диапазона и пр.);

–визуализации данных и результатов, выдачи графиков;

Все эти возможности реализуются иерархическим меню, описывающим возможные варианты работы, включаемые высвечиванием и реализацией соответствующей строки меню.

34

Список возможных вариантов аппроксимирующих функций может быть пополнен разработчиком указанием преобразований, приводящих новый вариант к одному из имеющихся, или включением в систему интерпретатора, позволяющего задавать аналитический вид новой зависимости. Он содержит наиболее часто употребляемые виды функций, дополненные рядом зависимостей, необходимых для анализа данной предметной области, экономико-производственных процессов.

Такими являются зависимости, дающие S-образные кривые («логистическая» зависимость подобного типа рассмотрена в четвертом примере п. 2.2), зависимости, описывающие сезонный пик спроса, специальные зависимости для описания «одноволновой» кривой (на которой можно выделить один локальный максимум и один локальный минимум) и т.п.

Система DAEZ разработана на кафедре «Исследования операций» Ростовского государственного университета. Она широко используется в научных исследованиях и учебном процессе РГУ, ДГТУ, РГАСХМ, КалГУ, БелГУ и др. и позволяет не только получить необходимые для моделирования экономические зависимости, но и выработать навыки формирования и выбора таких зависимостей, отбора и корректировки данных.

Важнейшие примеры построения таких зависимостей приведены в следующем пункте, но в качестве упражнений полезно использовать многочисленные публикации статистических данных и аппроксимировать их аналитическими зависимостями.

2.4.Идентификация зависимостей спроса от цены, затрат от тиража, производственной функции Кобба–Дугласа

В данном пункте рассмотрим формирование некоторых экономических зависимостей, необходимых для построения микро- и макроэкономических моделей, составляющих основу для принятия решений в маркетинге и в менеджменте.

1)В разделе 1 фигурировала зависимость спроса D от цены

Рприобретаемой продукции. Для выявления этой зависимости

35

можно было бы обратиться к статистическим данным и обработать их с помощью описанных выше методов или программы

DAEZ.

Но, во-первых, такие данные трудно получить, а, во-вторых необходимо предварительно найти вид функции D(P) (по возможности,наиболеепростой),аужепотомоценитьеепараметры. Таким, наиболее простым видом функции является степенная:

D = A P –E, (2.4)

Это связано, прежде всего, с рекомендациями, приведенными в [3] и основанными на опыте эконометрического анализа ряда американских фирм. Кроме того, такая форма зависимости является простейшей с точки зрения одного из самых важных для экономики показателей роста (или убывания) функций – коэф- фициента эластичности, формально определяемого следующим образом:

Поэтому для зависимости спроса от цены с постоянным коэффициентом эластичности имеем зависимость (2.4) и (–Е) как раз является этим коэффициентом эластичности (спроса по цене).

Если имеются данные о спросе при разных ценах, т.е. (Di ), (Pi ), i = 1,2,..., n, то для определения параметров А и Е имеем линейную задачу МНК для преобразованных данных:

(yi = ln Di ), (xi = lnPi ), y = a0 + a1 x, a0 = lnA, a1 = –E.

Однако такие данные зависят от ряда других, трудно учитываемых факторов (например, изменяющихся масштабов), поэтому надежнее оперировать с изменениями индексов изменения

спроса и цены: если цене P0 отвечает спрос D0, D0 = A P0−E , то (2.4) можно записать в виде:

и по данным (di), (pi) остается оценить один параметр Е.

36

Знак «–» не должен вводить нас в заблуждение, так как если Di > D0, то Pi < P0, поэтому yi > 0, xi < 0 и из (2.5) следует, что E>0.

В качестве примера рассмотрим данные, сведенные в таблицу 2.2, где приведены и остальные расчеты (di , pi , xi , yi ) и резуль-

тат: E ≈ 1.435.

Таблица 2.2

После расчета коэффициента эластичности E параметр А легко находится по начальным (базовым) данным:

A = D0 P0E .

Такой способ построения зависимости D(P) удобен еще и тем, что, определив Е для некоторого класса товаров, можно использовать его для близкого по характеру другого класса (например, рассчитав для автомобилей, считать, что он будет примерно таким и для комбайнов), а параметр А подсчитать по данным (базовым) этого другого класса, для конкретной фирмы.

37

2) Также упомянутая в разделе 1 зависимость удельных собственных затрат от объема выпуска, тиража С(R) может быть построена аналогичным образом.

Поскольку эти затраты убывают с ростом тиража, С(R)↓, и достигают некоторого наименьшего, предельного значения С∞ при массовом производстве, естественно представить С(R) в виде:

C(R) = С∞ (1 + q(R)),

где q(R) – монотонно убывающая функция, которую, по приведенным выше соображениям, также естественно искать в виде степенной функции:

q(R) = b0 R−g1 .

Величины С∞ – существенно различны для разных производств, q(R) – практически инвариантны, мало отличаются для всех машиностроительных производств. Поэтому, вводя коэффициент изменения собственных удельных затрат:

38

Значение С∞, опять-таки вычисляется по начальным данным для конкретного производства С0, R0:

3) В качестве третьего примера рассмотрим оценку параметров производственной функции Кобба–Дугласа, используемой в макроэкономических моделях и дающей зависимость выхода продукции Y в зависимости от вложенных затрат труда L и капитала К:

Y = A Lβ K 1–β. (2.6)

Можнобылобыпростопрологарифмироватьэтузависимость и получить линейную зависимость относительно параметров, но имеется осложняющее обстоятельство: показатели степеней (коэффициенты эластичности Y по L и К соответственно) не являются независимыми, а обычно дают в сумме 1.

Поэтому представим зависимость (2.6) в виде:

Если имеются эмпирические данные Yi, Li, Кi, то по ним легко подсчитать

yi = ln (Yi /Ki ), xi = ln(Li /Ki )

ипо этим данным найти наилучшие оценки параметров α = ln A

иβ зависимости y = α + βx, но эта задача уже неоднократно обсуждалась выше.

Заметим, что во избежание ряда методологических и вычислительных трудностей, связанных с размерностью Y, L, К и выбором единиц измерения, соотношения (2.6) целесообразно понимать и записывать не в натуральных единицах, а в индексах, в безразмерном виде. Если в натуральных единицах

получим Y = A Lβ K1–β, т.е снова зависимость вида (2.6).

39

Несмотря на то что выражение «темп роста» чрезвычайно часто встречается в СМИ и научных публикациях, точные определения этого важного понятия редки и противоречивы, что приводит к непониманию и (или) искаженному пониманию высказываний. Примером может служить статья в «АиФ на Дону», специальный выпуск (2008-22), где утверждается, что в Морозовском районе Ростовской области «Темпы роста производства составили 140 %».

Неточность, а скорее, нелепость этого утверждения будет проанализирована ниже, а пока отметим, что в словарях [22–28] это понятие вообще отсутствует, в [29] оно заменяется словами «относительная скорость роста» (с. 76), в [30 ] оно упоминается (без определения) лишь в одной статье, в [31] иллюстрируется примером, при том в ином смысле, чем в [29].

Понятие это возникло на основе поиска адекватных средств

скольку в экономике редко можно изменять аргумент меньше,

У этой оценки есть существенный недостаток: четко отображая, растет или нет функция с ростом аргумента, он фактически не дает никакой информации о скорости роста (или убывания). Для устранения этого недостатка в числитель оценки нужно

Эта оценка лучше предыдущей (доля или процент изменения показывает, быстро или медленно изменяется функция), но она несимметрична: изменение функции измеряется в долях (или

40